渐近线二次式应用定比点差推出两个离心率结论　讲义——2025届高三数学一轮复习

渐近线二次式应用定比点差推出两个离心率结论 渐近线的二次形式 1.双曲线的渐近线方程亦为，即，就是. 2.双曲线的渐近线方程亦为， 综上可知： 【双曲线渐近线的二次式】双曲线的渐近线方程为. 给渐近线二次式用上定比点差 既然可以将双曲线的渐近线方程看做二次式，那么就可以对它使用定比点差法，特别是当我们遇到直线与双曲线的两只渐近线都相交的时候。以下便利用定比点差推出两条结论： 已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点， 【结论1】若，则 【结论2】若，则 【证明】 【结论1】如下图.若. 设，则坐标均满足①，②. 又. 则由，可得：. 给②式乘再相减得： 故. 由 【结论2】如下图.若. 设，则 故得： 由于 （关注微信公众号：Hi数学派） 由 【典例1】过双曲线的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为________ 【解析】满足【结论1】，且，故，则 【典例2】已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【解析】满足【结论2】，且，. 利用该结论还可以解决2022新高考2卷解析几何试题，其过程如下： 【典例3】（2022新高考2卷）．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． （1）求C的方程； （2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ① M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】（1）C的方程为：； （2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零. 设直线的斜率为，直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为, 联立消去y并化简整理得： 设,线段中点为,则, 设，则条件③等价于, 移项并利用平方差公式整理得：（关注微信公众号：Hi数学派） ， ,即，即； 由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为， ∴由，∴, 所以直线的斜率，直线,即，代入双曲线的方程,即中， 得：，解得的横坐标：， 同理：，∴∴, ∴条件②等价于，综上所述：（关注微信公众号：Hi数学派） 条件①在上，等价于；条件②等价于； 条件③等价于；选①②推③: 由①②解得：,∴③成立；选①③推②： 由①③解得：，，∴，∴②成立； 选②③推①：由②③解得：，，∴， ∴，∴①成立. 【典例4】已知F是双曲线的右焦点，过点F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【典例5】已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（      ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【典例6】已知双曲线：的右焦点，过点作一条渐近线的垂线，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足，则该双曲线的离心率为______. 【答案】 （关注微信公众号：Hi数学派） 【典例7】已知是双曲线的右焦点,点A,B分别在其两条渐近线上,且满足(为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______． 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $$