精品解析：上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期 高二数学期中试卷 （本试卷共6页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 命题：侯磊 审核：杨逸峰 考试说明：试卷最后的附加题为非必答题，分值10分 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据并集的定义运算即得． 【详解】因为，， 所以， 故答案为：． 2. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】由可得，即，解得， 故解集为， 故答案为： 3. 函数的定义域是 ▲ ． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由得，则函数的定义域为：. 考点：函数的定义域. 4. 直线的倾斜角的大小是______（用表示）. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程求得斜率，利用直线斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【详解】由直线可得斜率， 设直线的倾斜角为， 则，解得. 故答案为：. 5 若直线与圆相切.则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】由圆心到直线距离等于半径即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 故答案为： 6. 设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比中项可得，结合椭圆中，即可根据齐次式求解. 【详解】由，，依次成等比数列，故， 又，所以， 解得，或（舍去）， 故答案为： 7. 已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式代入即可求解. 【详解】因为向量与夹角为，所以， 所以 所以 故答案为： 8. 若关于的方程有负根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质，当 时， ，由此求解不等式即可. 【详解】要使得方程 有负根，根据指数函数的性质得 ， 解得 ； 故答案为： . 9. 设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】利用不等式恒成立，分离变量，构造函数，利用二次函数性质求解最值即可． 【详解】由可得在上恒成立， 整理得在上恒成立， 所以， 令， 因为，所以， 所以当时，函数得最大值，所以，解得或. 故答案为：或. 10. 平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解. 【详解】表示直线上的点构成的集合， 故原点到直线的距离为，其中为锐角且， 故的最小值为，故集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为， 故答案为： 11. 某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变方位）建造一幢公寓（、、分别在线段、、上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为______平方米.（结果精确到1平方米） 【答案】6017 【解析】 【分析】以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系，通过坐标运算得，进而可得最值. 【详解】在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系， 则AB的方程为，设P， 则长方形的面积． 化简得． 当时，最大，其最大值为． 故答案为：6017. 12. 若是以为首项，为公差的等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是______ ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 【答案】②③④ 【解析】 【分析】取即可说明①②，假设，根据三角函数的性质，即可说明③④. 【详解】对于①②，取，则， 所以对任意实数，数列都是常数列，故①错误②正确； 对于③④， 对于④，令，假设数列是常数列，则， 由可得或， 则或，无法满足， 故假设不成立，即存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列，故③正确； 且实数， 此时，满足数列是常数列，故④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】关键点睛：本题关键是根据常数列的定义得到，，对于只需举例说明，而对于则需举例加计算出加以说明. 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】将复数化简，即可判断对应点所在的象限. 【详解】因为，所以对应点在第二象限. 故选：B. 14. 若：（），：，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的性质，结合充分必要条件的定义，可得答案. 【详解】当，即时，，故充分性成立； 由可得，则，故必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：C. 15. 下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中点和线的位置关系，即可求解. 【详解】对于（1），四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故（1）错误， 对于（2），若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（2）正确， 对于（3）,若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，（3）错误， 对于（4），若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外 ，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，（4）正确 故选：B 16. 若动点P（x，y）以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点的运动方程是（ ）． A. 以角速度在单位圆上顺时针运动 B. 以角速度在单位圆上逆时针运动 C. 以角速度2在单位圆上顺时针运动 D. 以角速度2在单位圆上逆时针运动 【答案】C 【解析】 【详解】将动点P（x，y）坐标表为参数形式： 则 于是，点Q运动轨迹的参数方程为 显然，与-2的旋转方向是相反的，P（x,y）在单位圆上逆时针运动， 所以Q以角速度2单位圆上顺时针运动. 选C. 三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. （1）若，且经过点，求实数，的值； （2）若且，求实数，的值. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【小问1详解】 因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； 【小问2详解】 若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 18. 已知数列的各项均为正实数，，且（）. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 【答案】（1）证明见解析 （2）最大项为；最小项为 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合题目中的等式，可得答案； （2）由（1）可得数列的通项公式，结合对数运算可得数列的通项公式，利用幂函数单调性，可得答案. 【小问1详解】 证明：由，则，， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，，则数列的最小项为， 由函数在上单调递减，则数列的最大项为. 19. 某菜农有两段总长度为米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）已知（米），，，设，四边形的面积为. （1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围； （2）求出的最大值，并指出此时所对应的值. 【答案】（1），其中； （2）当时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理将、用表示，然后利用三角形的面积公式可求出关于的表达式，结合实际问题求出的取值范围； （2）利用（1）中的关于的表达式得出的最大值，并求出对应的的值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， ， 则的面积为， 因此，，其中； （2）由（1）知，. ，， 当时，即当时，四边形的面积取得最大值. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点． （1）求 的周长； （2）设点为椭圆的上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标； （3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值． 【答案】（1）8（2）（3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得结果； （2）设，利用及点在椭圆上，即可解得点的横坐标； （3）设，直线的方程为，联立方程利用韦达定理可得结果. 【详解】解:（1） 椭圆的长轴长为 由椭圆定义知，的周长为； （2）由椭圆方程得， 设， 由，得， ① 点线段上，所以满足方程为② 将①式代入②，得， 代入椭圆方程，得， 因为，所以 （3）设，直线的方程为， 则点的坐标为，直线的方程为， ， 将直线方程代入椭圆方程得： ， 则， 所以， ， 所以面积的最大值为 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查了转化思想与计算能力，是中档题． 【附加题】（共10分） 21. 世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子. （1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形，其初始位置为，，，. ①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止： ②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止； ③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止； ④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止. 我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周. 为使点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为______个单位长度； （2）如果制造一个正边形的“轮子”，该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正边形的“轮子”滚动一周，求点经过的路径总长度； （3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由） 【答案】（1）25； （2）； （3）8. 【解析】 【分析】（1）根据正方形的滚动路径，建立模型，即可得到答案； （2）建立模型，找出每次滚动的半径，即可写出式子，利用三角函数的积化和差公式 ，即可得到答案； （3）圆是正多边形时的情形，所以对第（2）问的答案取极限即可. 【小问1详解】 因为“滚动”1周，移动4个单位长度，所以移动100个单位长度，需要“滚动”25周； 如图，正方形“滚动”一周时，点经过的路径为：以点为圆心，长为半径的四分之一圆弧、以点为圆心，长为半径的四分之一圆弧，以及点为圆心，长为半径的四分之一圆弧，即， 所以整个活动中，点经过的路径总长为：； 【小问2详解】 如图，正多边形中心到顶点的距离为1，每条边对应的中心角为， 则由余弦定理可知，正多边形的边长为， .同理：， 以此类推，相隔 条边的对角线长就是. 点在滚动时经过的路径是个分别以为半径的个圆弧， 所以总路径为， 因为由三角函数的积化和差公式可知： ，所以 【小问3详解】 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期 高二数学期中试卷 （本试卷共6页，满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上） 命题：侯磊 审核：杨逸峰 考试说明：试卷最后的附加题为非必答题，分值10分 一、填空题.（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分.请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 已知集合，，则______． 2. 不等式的解集为______. 3. 函数的定义域是 ▲ ． 4. 直线的倾斜角的大小是______（用表示）. 5. 若直线与圆相切.则实数______. 6. 设椭圆的焦距为.若，，依次成等比数列，则该椭圆的离心率______. 7. 已知单位向量与的夹角为，向量与的夹角为，则______. 8. 若关于的方程有负根，则实数的取值范围是__________. 9. 设，对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 10. 平面直角坐标系中点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为______. 11. 某房地产公司要在荒地（如图）上划出一块矩形地块（不改变方位）建造一幢公寓（、、分别在线段、、上），若米，米，米，米，且，则该矩形地块的面积最大值为______平方米.（结果精确到1平方米） 12. 若是以为首项，为公差等差数列；是以为首项，为公比的等比数列.则下列说法正确的是______ ①存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列； ②存在实数，使得对任意实数，满足数列都是常数列： ③存在实数，使得不存在实数，满足数列是常数列： ④存在实数，使得有无穷多个实数，满足数列是常数列； 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 若：（），：，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 下列命题 （1）若空间四点共面，则其中必有三点共线； （2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； （3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； （4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线； 其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 若动点P（x，y）以等角速度在单位圆上逆时针运动，则点的运动方程是（ ）． A. 以角速度在单位圆上顺时针运动 B. 以角速度在单位圆上逆时针运动 C. 以角速度2在单位圆上顺时针运动 D. 以角速度2在单位圆上逆时针运动 三、解答题.（本大题共5小题，满分78分.请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. （1）若，且经过点，求实数，的值； （2）若且，求实数，的值. 18. 已知数列的各项均为正实数，，且（）. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列中的最大项与最小项. 19. 某菜农有两段总长度为米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）已知（米），，，设，四边形的面积为. （1）将表示为函数，并写出自变量的取值范围； （2）求出的最大值，并指出此时所对应的值. 20. 已知椭圆：左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点． （1）求 的周长； （2）设点为椭圆上顶点，点在第一象限，点在线段上．若，求点的横坐标； （3）设直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点．求面积的最大值． 【附加题】（共10分） 21. 世界上除了圆形的轮子之外，还有一些好事之徒制作了不少形状的多边形轮子. （1）如图，平面直角坐标系内有一个边长为1的正方形，其初始位置为，，，. ①将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次旋转到轴正半轴上停止： ②再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止； ③再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止； ④再将整个正方形绕点顺时针旋转，使点首次选择到轴正半轴上停止. 我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形“滚动”一周. 为使点向轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形“滚动”______周，在这个过程中，点经过的路径总长度为______个单位长度； （2）如果制造一个正边形的“轮子”，该正边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正边形的“轮子”滚动一周，求点经过的路径总长度； （3）根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$