14.2.1 平方差公式 课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册 14.2.1 平方差公式 教学目标 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简便运算； 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法； 3.通过探索规律，在数学活动中建立平方差公式模型，从而归纳出利用平方差公式解决数学简便运算问题的方法，体会符号运算对解决问题的作用，培养学生观察、归纳等能力； 4.培养良好的推理能力，体会“化归”与“整体”的思想方法，形成灵活的应用能力。 新知导入 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 新知讲解 如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 (1)请表示图中阴影部分的面积。 任务一：平方差公式的几何验证 S阴影=a2-b2 新知讲解 如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 (2)小颖将图中的阴影部分拼成了如图所示的长方形，如何表示这个长方形的面积? S长方形=（a+b）（a-b） 新知讲解 如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 (3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗? S长方形=（a+b）（a-b） S阴影=a2-b2 a2-b2=（a+b）（a-b） 新知讲解 如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 (4)对于图中阴影部分的面积，你还有其他计算方法吗? S阴影=a·（a-b）+（a-b）·b =a2-ab+ab-b2 =a2-b2 例3 利用平方差公式计算： (1)103×97； (2)118×122. 新知讲解 解：(1) 103×97=(100+3) (100－3) =1002－32 =9 991 ； (2)118×122=(120－2) (100+2) =1202－22 =14 396 . 任务二：平方差公式的应用 例4 计算： (1) a2(a+b)(a-b) +a2b2； (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3). 新知讲解 解：(1) a2(a+b)(a-b) +a2b2=a2(a2-b2) +a2b2 =a4-a2b2 +a2b2 =a4 (2) (2x-5)(2x+5)-2x (2x-3)= (2x)2-25-(4x2 -6x) = 4x2-25-4x2 +6x = 6x-25 观察·思考： 新知讲解 （1）计算下列各组算式。 7×9= 11×13= 79×81= 8×8= 12×12= 80×80= (2)观察上述算式及其结果，你发现了什么规律? (3)请用字母表示你发现的规律。 一个数减1的差与这个数加1的和的乘积等于这个数的平方减1. 63 64 143 144 6399 6400 （a+1）(a-1)=a2-1 新知讲解 运用平方差公式应注意以下几个问题： 1.必须符合平方差公式的结构特征. 2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算. 3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化. 4.在运算过程中，有时可以反复应用公式. 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 1.计算a2-(a+1)(a-1)的结果是( ) A.1 B.-1 C.2a2+1 D.2a2-1 A 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 2.等式(-x2-y2)( )=y4-x4 成立,括号内应填入下式中的( ) A.x2-y2 B.y2-x2 C.-x2-y2 D.x2+y2 A 课堂练习 3.已知a=7202,b=721×719；则（ ） A.a=b B.a>b C.a<b D.a≤b B 【知识技能类作业】必做题： 4．利用平方差公式计算： (1)51×49；(2)13.2×12.8；(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 解： (1) 原式=(50+1)(50-1)=502－12 =2500-1=2499； (2) 原式=(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96. (3)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6)=3x2－5x－10. 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 5.如图是将一个正方形放入一个大正方形中形成的图形,两个正方形的边长相差3,阴影部分的面积为51,则较小正方形的面积是（ ） A.47 B.49 C.51 D.53 B 6. 某游乐中心决定建一个长方体游泳池,已知游泳池的长为(4a2+9b2)m,宽为(2a+3b)m,深为(2a-3b)m,请你计算一下这个游泳池的容积是多少. 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 解:(2a+3b)(2a- 3b)(4a2+9b2) =(4a2-9b2)(4a2+9b2) =(16a4- 81b4 )m3. 答:这个游泳池的容积是(16a4- 81b4 )m3.　 7.张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律. 请观察以下算式： ①32－12＝8×1；②52－32＝8×2；③72－52＝8×3. 请你结合这些算式，解答下列问题： （1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式； 【综合拓展类作业】 课堂练习 解：（1）92－72＝8×4，112－92＝8×5. 18 【综合拓展类作业】 课堂练习 （2）【验证规律】设两个连续奇数分别为2n＋1，2n－1（其中n为正整数），则它们的平方差是8的倍数； 解：（2）验证如下： （2n＋1）2－（2n－1）2 ＝（2n＋1－2n＋1）（2n＋1＋2n－1） ＝2×4n ＝8n. 因为n是正整数，故两个连续奇数的平方差是8的倍数. 19 【综合拓展类作业】 课堂练习 （3）【拓展延伸】两个连续偶数的平方差是8的倍数吗？说明理由. 解：（3）不是. 理由：设两个连续偶数分别为2n和2n＋2， 则（2n＋2）2－（2n）2 ＝（2n＋2－2n）（2n＋2＋2n） ＝8n＋4. 因为8n＋4不是8的倍数， 故两个连续偶数的平方差不是8的倍数. 20 课堂总结 运用平方差公式应注意以下几个问题： 1.必须符合平方差公式的结构特征. 2.有些式子虽然不能直接应用公式，但经过适当变形或变换符号后可以运用公式进行化简、计算. 3.计算结果一定要注意字母的系数，指数的变化. 4.在运算过程中，有时可以反复应用公式. 板书设计 1.平方差公式的几何验证： 2.平方差公式的应用： 课题：平方差公式 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1．用简便方法计算40×39，变形正确的是（　B　） A. B. C. D. B 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 2．计算852-152等于（ ） A.70 B.700 C.4 900 D.7000 D 3.计算：(1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2); (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) = 9x2-16-6x2-5x+6 = 3x2-5x-10. （2）原式= y2-22-(y2+4y-5) = y2-4-y2-4y+5 = - 4y + 1. 25 4.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是 ． 28－1 【知识技能类作业】选做题： 作业布置 5．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是（　 　） A.205 B.250 C.502 D.520 【知识技能类作业】选做题： 作业布置 D 6.对于任意一个正整数n，整式A=(4n+1)·(4n-1)-(n+1)·(n-1)能被15整除吗？请说明理由. 【综合拓展类作业】 作业布置 解：能.理由如下： A=(4n)2-1-(n2-1)=16n2-1-n2+1=15n2. 因为n是正整数，所以15n2一定能被15整除. $$