上海市浦东新区多校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年上海市浦东新区多校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．（3分）的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列二次根式中，与不是同类二次根式的为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+2x＝0 B． C．x2+x+2＝0 D． 5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 6．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．两直线平行，内错角相等 二、填空题（每题2分，共24分） 7．（2分）如果有意义，那么a的取值范围是 　 　． 8．（2分）化简：＝ 　 　． 9．（2分）分母有理化：＝ 　 　． 10．（2分）不等式x﹣＞x的解集是 　 　． 11．（2分）如果与是同类二次根式，那么x＝ 　 　． 12．（2分）方程的根是 　 　． 13．（2分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0有一根为0，则m的值是 　 　． 14．（2分）在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1＝　 　． 15．（2分）当k＝　 　时，关于x的方程4x2﹣（k+3）x+k＝1有两个相等的实数根． 16．（2分）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 　 　． 17．（2分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，D是边BC上一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，垂足为点D，DF交边AC于点F，当∠A＝40°，则∠DFA＝ 　 　度． 18．（2分）如图，已知在△ABC中，点D在△ABC内部，且AD＝DB＝DC，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠BAC＝α，则∠BDC+∠BEC＝ 　 　．（用含α的式子表示） 三、解答题（19题12分；20题12分；21题至24题每题6分；25题10分；共58分） 19．（12分）计算： （1）； （2）x÷． 20．（12分）解方程： （1）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）； （2）x2+4x﹣2＝0． 21．（6分）已知，，求出的值． 22．（6分）在长为40米，宽为30米的矩形景观水池的外围四周铺设一个宽均等的绿化带，且绿化带和景观水池的面积之比为2：3，求绿化带的宽． 23．（6分）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥AD，交CA延长线交于点E，F是BE的中点，求证：AF⊥BE． 24．（6分）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相于点F．求证：FB＝FC． 25．（10分）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AB＝14，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长AD到E，使得DE＝AD； ②再联结BE，可得△DBE≌　 　，从而把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得 　 　＜AE＜　 　，则AD的取值范围是：　 　（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AF，AC＝AE，∠BAF＝∠CAE＝90°（点F和点E在BC同侧），试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明． 2024-2025学年上海市浦东新区多校联考八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共18分） 1．（3分）的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【分析】有理化因式是指两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个二次根式互为有理化因式，由此解答即可． 【解答】解：∵， ∴的一个有理化因式是， 故选：D． 【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的概念是解题的关键． 2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：A、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、＝|x|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、＝|x﹣y|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3．（3分）下列二次根式中，与不是同类二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同类二次根式的概念进行分析排除，即几个最简二次根式的被开方数相同，则它们是同类二次根式． 【解答】解：A、＝2，与是同类二次根式； B、＝，与是同类二次根式； C、＝＝，与不是同类二次根式； D、＝，与是同类二次根式． 故选：C． 【点评】此题考查了同类二次根式的概念，关键是能够正确把二次根式化成最简二次根式． 4．（3分）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+2x＝0 B． C．x2+x+2＝0 D． 【分析】含有一个未知数，且未知数是最高次数是2的整式方程是一元二次方程，据此逐项判断即可． 【解答】解：A、ax2+2x＝0（a≠0）是一元二次方程，故A不符合题意； B、2x2++3＝0中含有分式，不是整式，不是一元二次方程，故B不符合题意； C、x2+x+2＝0是一元二次方程，故C符合题意； D、x2++2＝0不是一元二次方程，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2 【分析】根据题意得Δ＝16﹣4a＝0，进行计算即可得． 【解答】解：∵方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝16﹣4a＝0， ∴a＝4， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系． 6．（3分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．两直线平行，内错角相等 【分析】分别写出原命题的逆命题，再判断真假即可． 【解答】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； B、全等三角形对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； C、两个全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的三角形是全等三角形，逆命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，正确写出一个命题的逆命题是解题的关键． 二、填空题（每题2分，共24分） 7．（2分）如果有意义，那么a的取值范围是 　a＞﹣1　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：a+1＞0， 解得：a＞﹣1， 故答案为：a＞﹣1． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 8．（2分）化简：＝ 　﹣3ab　． 【分析】先根据二次根式的性质判断b的取值范围，再进行化简即可． 【解答】解：∵18a2b3≥0，a＜0， ∴b≥0， ∴＝3|a|b＝﹣3ab． 故答案为：﹣3ab． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9．（2分）分母有理化：＝ 　﹣﹣　． 【分析】将分数的分母和分子同时乘2+3，再利用平方差公式计算即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝﹣﹣． 故答案为：﹣﹣． 【点评】本题考查分母有理化、二次根式的乘除法，掌握分数的性质和平方差公式是解题的关键． 10．（2分）不等式x﹣＞x的解集是 　　． 【分析】先移项，合并同类项，系数化为1，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【解答】解：， ， 解得， 即． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式，二次根式的应用，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 11．（2分）如果与是同类二次根式，那么x＝ 　1　． 【分析】根据同类项的定义得出x+5＝x2+6x﹣1，然后求解即可得出答案． 【解答】解：由已知，得x+5＝x2+6x﹣1， 解得x＝﹣6或1， 当x＝﹣6时，x+5＝﹣1＜0，不合题意， ∴x＝1． 故答案为：1． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 12．（2分）方程的根是 　x1＝0，x2＝　． 【分析】先移项得到x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0， x（x﹣）＝0， x＝0或x﹣＝0， 所以x1＝0，x2＝． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 13．（2分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3＝0有一根为0，则m的值是 　﹣3　． 【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值． 【解答】解：根据题意得：m2+2m﹣3＝0且m﹣1≠0 解得：m＝﹣3 故答案是：﹣3． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．（2分）在实数范围内因式分解：2x2﹣2x﹣1＝　　． 【分析】解2x2﹣2x﹣1＝0可得，x＝，根据求根公式的分解方法和特点可知：2x2﹣2x﹣1＝． 【解答】解：方法一、∵2x2﹣2x﹣1＝0时，x＝， ∴2x2﹣2x﹣1＝； 方法二、2x2﹣2x﹣1＝2（x2﹣x）﹣1＝2[（x﹣）2﹣]＝． 故答案为． 【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． 15．（2分）当k＝　5　时，关于x的方程4x2﹣（k+3）x+k＝1有两个相等的实数根． 【分析】将原方程变形为一般式，由方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝k2﹣10k+25＝0，解之即可得出结论． 【解答】解：原方程可变形为4x2﹣（k+3）x+k﹣1＝0． ∵方程4x2﹣（k+3）x+k＝1有两个相等的实数根， ∴Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×4×（k﹣1）＝k2﹣10k+25＝0， 解得：k＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 16．（2分）为加快上海家电以旧换新速度，某商场对一台原价4000元的电视进行调价，经过两次降价后，价格调整为2560元，如果每次降低的百分率相同，则这个百分率为 　20%　． 【分析】设这个百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降低的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设这个百分率为x， 根据题意得：4000（1﹣x）2＝2560， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴这个百分率为20%． 故答案为：20%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17．（2分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，D是边BC上一点，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥BC，垂足为点D，DF交边AC于点F，当∠A＝40°，则∠DFA＝ 　160　度． 【分析】由三角形的内角和求得∠B＝∠D＝70°，由垂直可得∠CDF＝90°，再次利用三角形的内角和可求∠CFD的度数，由平角的定义即可求∠DFA的度数． 【解答】解：∵∠B＝∠C，∠A＝40°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°， ∵DF⊥BC， ∴∠CDF＝90°， ∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝20°， ∴∠DFA＝180°﹣∠CFD＝160°． 故答案为：160． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°． 18．（2分）如图，已知在△ABC中，点D在△ABC内部，且AD＝DB＝DC，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠BAC＝α，则∠BDC+∠BEC＝ 　90°+α　．（用含α的式子表示） 【分析】分别求出∠BDC，∠BEC可得结论． 【解答】解：如图，延长AD到J． ∵DA＝DB＝DC， ∴∠DAB＝∠DBA，∠DAC＝∠DCA， ∵∠BDJ＝∠DAB+∠DBA，∠CDJ﹣∠DAC+∠DCA， ∴∠BDC＝∠BDJ+∠CDJ＝2∠DAB+2∠DAC＝2（∠DAB+∠DAC）＝2α， ∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点， ∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180（180°﹣α）＝90°+α， ∴∠BDC+∠BEC＝2α+90°+α＝90°+α． 故答案为：90°+α． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 三、解答题（19题12分；20题12分；21题至24题每题6分；25题10分；共58分） 19．（12分）计算： （1）； （2）x÷． 【分析】（1）先把除法运算化为乘法运算，再进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先把除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝﹣（﹣），再进行二次根式的乘法运算，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）原式＝3﹣+3×（+） ＝3﹣+6+3 ＝3+6+； （2）原式＝﹣• ＝﹣• ＝﹣（﹣） ＝﹣+y ＝y． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 20．（12分）解方程： （1）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）； （2）x2+4x﹣2＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝2（1﹣x）， 3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x+2）＝0， x﹣1＝0或3x+2＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣； （2）x2+4x﹣2＝0， x2+4x＝2， x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， ∴x+2＝±， ∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 【点评】本题考查解一元二次方程＝因式分解法，配方法等知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 21．（6分）已知，，求出的值． 【分析】先化简a和b，求出a+b＝2，ab＝1，代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2， ∴a+b＝2，ab＝5﹣4＝1， ∴原式＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 22．（6分）在长为40米，宽为30米的矩形景观水池的外围四周铺设一个宽均等的绿化带，且绿化带和景观水池的面积之比为2：3，求绿化带的宽． 【分析】设绿花带的宽为x米，首先求出矩形景观水池的面积，根据面积之比得到绿花带的面积，再据此列出方程，解之即可． 【解答】解：设绿花带的宽为x米． 矩形景观水池的面积：40×30＝1200（平方米）， 绿化带的面：1200×＝800（平方米）， ∴（40+2x）（30+2x）﹣1200＝800， 解得：x＝5或x＝﹣40（舍去）， ∴绿花带的宽为5米． 【点评】本题考查了比的应用，解题的关键是读懂题意，正确表示图形的面积，列出方程． 23．（6分）如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，BE∥AD，交CA延长线交于点E，F是BE的中点，求证：AF⊥BE． 【分析】由AD平分∠BAC，得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠E＝∠DAC，∠ABE＝∠BAD，等量代换得到∠E＝∠ABE，于是得到AE＝AB，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵BE∥AD， ∴∠E＝∠DAC，∠ABE＝∠BAD， ∴∠E＝∠ABE， ∴AE＝AB， ∵F是BE的中点， ∴AF⊥BE． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 24．（6分）已知：如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相于点F．求证：FB＝FC． 【分析】连接BC，由∠BAD＝∠CAE推导出∠BAE＝∠CAD，而AB＝AC，AE＝AD，即可根据“SAS”证明△BAE≌△CAD，得∠ABE＝∠ACD，因为∠ABC＝∠ACB，所以∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD，则∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC． 【解答】证明：连接BC， ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ACB﹣∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴FB＝FC． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出∠BAE＝∠CAD，进而证明△BAE≌△CAD是解题的关键． 25．（10分）（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AB＝14，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）． ①延长AD到E，使得DE＝AD； ②再联结BE，可得△DBE≌　△DCA　，从而把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用全等三角形性质和三角形三边关系可得 　AB﹣AC　＜AE＜　AB+AC　，则AD的取值范围是：　3＜AD＜11　（在横线上填空）． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． （2）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AF，AC＝AE，∠BAF＝∠CAE＝90°（点F和点E在BC同侧），试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系即可得到结论； （2）延长AD至H，使DH＝AD，连接CH，由（1）得：△ABD≌△HCD，由全等三角形的性质得出∠BAD＝∠H，AB＝CH，证出∠ACH＝∠EAF，证明△ACH≌△EAF（SAS），得AH＝EF，则2AD＝EF． 延长DA交EF于G，证出∠AGE＝90°，得出AD⊥EF即可． 【解答】解：（1）延长AD到E，使得DE＝AD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△DBE和△DCA中， ， ∴△DBE≌△DCA（SAS）， ∴BE＝AC＝8， ∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴AB﹣AC＜AE＜AB+AC， 14﹣8＜AE＜14+8， ∴3＜AD＜11， 故答案为：△DCA，AB﹣AC，AB+AC，3＜AD＜11； （2）2AD＝EF，AD⊥EF，理由如下： 延长AD至H，使DH＝AD，连接CH，如图2所示： 由（1）得：△ABD≌△HCD， ∴∠BAD＝∠H，AB＝CH， ∵∠BAF＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， 即∠BAD+∠CAD+∠EAF＝180°， ∵∠H+∠CAD+∠ACH＝180°， ∴∠ACH＝∠EAF， ∵△ABF和△ACE是等腰直角三角形， ∴AB＝AF，AC＝AE， ∴CH＝AF， 在△ACH和△AEF中， ， ∴△ACH≌△EAF（SAS）， ∴AH＝EF，∠HAC＝∠AEF， ∴2AD＝EF． 延长DA交EF于G， ∵∠EAC＝90°， ∴∠HAC+∠EAG＝90°， ∴∠AEF+∠EAG＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AD⊥EF． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$