专题03 投影与三视图（基础+中等类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题03 投影与三视图思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行投影、中心投影、正投影 【解惑】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行投影特点，熟练掌握平行投影的特点是解题的关键；平行投影特点是在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例． 根据平行投影特点结合选项判断即可． 【详解】解：A、影子的方向不相同，故本选项错误； B、影子的方向不相同，故本选项错误； C、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误； D、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影，根据中心投影的性质，找到光源是灯光即可得． 【详解】解：A. 阳光下沙滩上人的影子，是平行投影； B. 晚上人走在路灯下的影子，是中心投影； C. 中午用来乘凉的树影，是平行投影； D. 阳光下旗杆的影子，是平行投影； 故选：B． 2．宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于 （填“中心”或“平行 ”投影） 【答案】中心投影 【分析】本题考查中心投影和平行投影的识别，解题的关键是掌握两者的定义：中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影．根据中心投影和平行投影的定义即可判断． 【详解】解：由图可知，“手影戏”中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影， 故答案为：中心投影． 3．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 【答案】 【分析】依据点在x轴上的正投影为点，即可得到，，进而得出的值． 【详解】点在x轴上的正投影为点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行投影以及平面直角坐标系，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 类型二、视点、视角、盲区 【解惑】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 【融会贯通】 1．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案． 【详解】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 【点睛】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大． 2．如图表示一个正五棱柱形状的建筑物，如图是它的俯视图，小明站在地面上观察该建筑物，当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 个． 【答案】 【分析】根据正五棱柱形状的建筑物，它的俯视图，可知当只能看到建筑物的一个侧面时，正好是以正五边形其中一条边的正三角形，即可得出符合要求的活动区域． 【详解】根据正五棱柱形状的建筑物，它的俯视图，可知， 当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域是以每一条正五边形的边长为以其中一条边的正三角形， ∴当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 5个，是以每一条边构成的等边三角形． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了视点、视角与盲区，根据题意得出当只能看到建筑物的一个侧面时的盲区是以正五边形其中一条边的正三角形是解决问题的关键． 3．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【答案】 【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可． 【详解】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P， 作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G， 根据题意可得出： ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40， ∴NC=， =40米， 设EO=x米， ∴DH=x米， ∵ME=DE=60米， ∴∠MDE=45∘， ∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米， ∵FC∥PO， ∴， ∴x， 解得：x=60−20， ∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米， CD⋅HP=DP⋅CG， ×40×(120−20−60)= × [20+40−(40−20)]⋅CG， CG=20米， ∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米． 故答案为40+20 【点睛】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键． 类型三、判断几何体的三视图 【解惑】如图，工件的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了物体的三视图，熟悉掌握三视图的观察方法是解题的关键． 根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线，观察即可． 【详解】解：根据主视图为对物体正面看，看到部分为实线，看不到部分为虚线， ∴主视图为：， 故选：C． 【融会贯通】 1．2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图的画法，掌握左视图是从物体的左边观察得到的图形是解题关键．注意实际存在又没有被其它棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 【详解】解：从左边看到的图形如图， ， 故选D． 2．如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 【答案】 ③ ⑤ ② 【解析】略 3．如图是用7块相同的小长方体搭成的几何体，若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变，则这块长方体的序号是 ． 【答案】⑤ 【分析】根据题意把分别使主视图或左视图不变的情况找到，再选择共同都有的即可． 【详解】解：由图可知，拿走一块长方体后，要使得主视图没改变，可以是：③、⑤， 拿走一块长方体后，要使得左视图没改变，可以是：④、⑤， 故若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变只有：⑤， 故答案为：⑤． 【点睛】本题考查了三视图，解题的关键是掌握画一个几何体的三视图． 类型四、由三视图还原几何体 【解惑】用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，进而解答即可． 【详解】 解：由三视图可得：这个立体图形可能是， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据前两个视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据第三个视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案． 【详解】解：∵前两个视图都是长方形， ∴该几何体是一个柱体， 又第三个视图是一个三角形， 故该几何体是一个三棱柱． 故选：C． 2．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了由三视图还原实物图形，熟练掌握三视图确定各层小正方体数，是解题的关键． 根据几何体的三视图，可以知道这个几何体有3行2列2层，得出底层和第二层的个数相加即可． 【详解】解：综合三视图得出，这个几何体有3行2列2层， 从上面看底层有4个小正方体； 从正面看和从左面看第二层有1个小正方体； 因此搭成这个几何体的小正方体的个数是：． 故答案为：5． 3．如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是 ． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可求解． 【详解】解：由于俯视图为圆形可推测几何体是球、圆柱或圆锥，根据主视图和左视图为矩形可得此几何体为圆柱． 故答案为：圆柱． 类型五、求圆锥侧面积、底面半径、高、圆心角 【解惑】如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 【融会贯通】 1．用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查的是圆锥的性质，掌握圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长是解题关键． 利用扇形求出对应弧长，即可求出所围成的圆锥的底面半径． 【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为：， ∴底面周长为：， 解得：， 即：底面半径等于， 故选：C． 2．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的高跟底面圆半径以及母线构成直角三角形，即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得 ， 解得， 圆锥的母线长为， 圆锥的高为． 故答案为：． 3．有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的弧长和圆锥的底面周长，根据扇形的弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可． 【详解】解：设该扇形的圆心角的度数为， 由题意可得：， 解得， 故答案为：． 类型六、已知三视图求边长、侧面积、表面积、体积 【解惑】如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）    A． B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】由主视图和左视图可得：，，，连接，则有，可求，即可求解． 【详解】解：如图，    由主视图和左视图可得： ，，， ，， ，， 连接，则有， 为等边三角形， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正六边形的性质，特殊角的三角函数值，掌握三视图长宽高与原几何体之间的关系及正六边形的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的三视图，圆柱体的表面积，由三视图，其表面积外侧面积内侧面积上下底面积，据此计算即可求解，由三视图得出圆柱体的直径和高是解题的关键． 【详解】解：由三视图可知该几何体是空心圆柱体，底面外圆直径是，内圆直径是，高是， ∴空心圆柱体的表面积为， 故选：． 2．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求几何体的侧面积以及几何体的三视图，先由三视图得出这个几何体是正三棱柱，结合侧面积等于三个长方形的面积之和，即，据此作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是正三棱柱 ∴ ∴这个几何体的侧面积是 故答案为： 3．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】此题考查由三视图判断几何体，掌握柱体的侧面都是长方形是解决问题的关键．根据主视图和左视图是长方形，俯视图是半圆，可得到此几何体为半圆柱；再用半圆的面积乘高，即为体积． 【详解】解：由形状图可知这个立体图形为半个圆柱， 所以该几何体的体积． 故答案为： 类型七、已知一种或两种视图、判断其他视图 【解惑】如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 【融会贯通】 1．如图是从上面看到的由个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查简单几何体的三视图的画法，根据俯视图推测出左视图的情况，再根据左视图的画法画出相应的图形即可． 【详解】由俯视图可知知，几何体横向有三排，最高层有三个小方块 即从左面看，是三列三层，其中第一列高为，第二列高为，第三列高为 故选：C． 2．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 3．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝ ． 【答案】16 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看所得到的图形． 【详解】易得第一层有4个正方体，第二层最多有3个正方体，最少有2个正方体，第三层最多有2个正方体，最少有1个正方体， m＝4＋3＋2＝9，n＝4＋2＋1＝7， 所以m＋n＝9＋7＝16． 故答案为：16． 【点睛】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查． 类型八、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【解惑】如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查从三个方向看几何体． （1）根据从三个方向看到的图形的画法画出相应的图形即可； （2）在从左面看的图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】（1）解：如图： （2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 故答案为：1． 【融会贯通】 1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． 1 1 3 2 3 3 (1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (2)若将该几何体添加一些相同的小立方块，并保持这个几何体从正面和左面看到的形状图不变，则最多可添加___________个小立方块． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）由已知条件可知，正面看有列，每列小正方形数目分别是，从左面看，有列，每列小正方形数目分别是画出图形即可； （2）根据左视图与主视图定义可知，要保持从正面和左面看到的形状不变，则可以在第一行的第一列加1个，第一行的第二列加2个，即可得答案． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：要保持从正面和左面看到的形状不变，则可以在第一行的第一列加1个，第一行的第二列加2个，即最多可以添加个小正方体， 故答案为：3． 2．（1）如图是由个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出从这个几何体的正面和上面看到的形状图． （2）在从这个几何体的正面和上面看到的形状图不变的情况下，你认为最多还可以添加______个小正方体． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，解题的关键是画图时注意“长对正，宽相等，高平齐”． （1）根据从正面看和上面的画法进行画图即可； （2）把视图还原几何体，再确定能够添加的位置和数量． 【详解】（1）解：如图： （2）解：根据正面、上面观察该几何体所得到的图形的关系，左列第一行添加个，左列第二行添加个，共个后，几何体从正面看和从上面看到的形状图不变． 故答案为：． 3．由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示． (1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体； (3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个． 【答案】(1)见解析 (2)9，14 (3)2 【分析】考查了作图-三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；俯视图决定底层立方块的个数，易错点是由主视图得到其余层数里最少的立方块个数和最多的立方块个数． （1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，2，1，依此画出图形即可； （2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可； （3）根据题意可得其中两面涂色的小立方体有2个． 【详解】（1）解：如图所示： （2）由俯视图易得最底层有6个小立方块，第二层最少有2个小立方块，第三层最少有1个小立方块，所以最少有个小立方块； 最底层有6个小立方块，第二层最多有5个小立方块，第三层最多有3个小立方块，所以最多有个小立方块． 故答案为：9，14； （3）将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有2个． 故答案为：2． 类型九、画几何体的三视图 【解惑】在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．    【答案】见解析 【分析】本题考查了画三视图；用到的知识点为：主视图、俯视图、左视图；它们分别是从正面看，从上面看，从左面看得到的平面图形．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等；注意看不见的轮廓线要画虚线．分别从正面、左面、上面看得到的图形即可．看到的棱用实线表示，实际存在但是被挡住看不见的棱用虚线表示． 【详解】解：如图，    【融会贯通】 1．如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．在下面的正方形网格中，画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图三视图，根据三视图的定义画出图形即可； 【详解】解：如图，三视图即为所求． 2．如图，用若干个完全相同的小正方体搭一个几何体．请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 【答案】见解析 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握立体图形和平面图形的关系是解题的关键，根据几何体的三视图求解． 【详解】解：如图所示： 3．如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为．请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形：（在图1所提供的方格内涂上相应的阴影即可）    【答案】见解析 【分析】本题考查作图一三视图，由已知条件可知，主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2；俯视图有4列，每列小正方形数目分别为1，2，1，2，据此可画出图形． 【详解】解：画图如下： 类型十、圆锥侧面积的最短路径 【解惑】如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为9cm，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】15cm 【分析】将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， ， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是cm． 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 2．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ 【答案】 【分析】结合题意进行曲面展开，通过在平面扇形图中计算最短路路径问题． 【详解】如图，沿过母线AB的轴截面展开得扇形， 此时弧的长为底面圆周长的一半，故， 由，，则， 作，此时即为蚂蚁爬行的最短路径， 在中，． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，来解决． 3．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． （1）如图1，正方体的棱长为一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处； （2）如图2，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点沿着棱柱表面爬到处； （3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点． 【答案】（1）cm（2）cm（3） 【分析】（1）根据侧面展开图可知蚂蚁爬的路线是，，构成的直角三角形，而斜边就是最短路线，根据勾股定理可求解； （2）根据侧面展开图可知蚂蚁爬的路线是，，构成的直角三角形，或由，，构成的直角三角形，而斜边就是最短路线，根据勾股定理可求解，然后比较找到最短； （3）根据圆锥的侧面展开图，最短距离是扇形展开图的弦，因此求出弦长即可. 【详解】解： （1）； （2）画图分两种情况： ①当横向剪开时：， ②当竖向剪开时：， ∵，∴最短路程为． （3）如图所示： 连接，过点作于点， 在和中， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴所求的最短的路程为． 【点睛】本题主要考查了空间想象能力，同时要求能将立体图形侧面展开，有一定难度。 考点：立体图形的侧面展开图的应用 【一览众山小】 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的意义，根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项C中的图形符合题意， 故选：C． 2．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，即可得出答案． 【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下： ． 故选：D． 3．由相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，组成这个几何体需要小正方体（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查简单几何体三视图，掌握由三视图判断几何体的方法是解决本题的关键．根据三视图可知，主视图以及俯视图都有4个小正方体，而左视图可以确定该几何体由两列小正方体组成． 【详解】根据三视图可知，底面有4个正方体， 第二层有1个正方体， 搭成这个几何体所用的小立方块的个数是5． 故选：B． 4．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．皮影戏是利用 投影的一种表演艺术．（填写“平行或”中心”） 【答案】中心 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 【详解】解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影， “皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案为：中心投影 ． 5．在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握从正面看得到的图形是主视图是解决本题的关键，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：①球的主视图是圆，不符合题意； ②圆柱的主视图是长方形，符合题意； ③四棱柱的主视图是中间有两条虚线的长方形，符合题意； ④三棱柱的主视图是三角形，不符合题意． 所以主视图是长方形的是②③． 故答案为：②③． 6．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面积，勾股定理求得母线，进而根据侧面积公式，即可求解． 【详解】解：图知圆锥的高为，圆锥的底面直径为，即底面半径为， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥模型的侧面积为， 故答案为：． 7．由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图．    【答案】见解析 【分析】此题考查了作图-三视图，从不同方向观察问题和几何体，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力． 根据主视图、俯视图以及左视图观察的角度分别得出图形即可． 【详解】解：根据题意画图如下：    8．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 【答案】(1)见详解 (2)2 (3) 【分析】本题考查了画三视图、求几何体的表面积、根据三视图求添加小正方体个数，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义画出图形即可； （2）要保持主视图和左视图不变，可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加块小正方体； （3）将主视图、左视图、俯视图面积相加，再乘2即可得出这堆几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：∵要保持主视图和左视图不变， ∴可在原图最底层、离视线最近的单独的小正方体的左右两侧各添加1块小正方体，即最多可以再添加2块小正方体， 故答案为：2． （3）解：∵小正方体的棱长都为， ∴块小正方形的面积， ∴这堆几何体的表面积； 答：添加最多的小正方体后该几何体的表面积为． 9．为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查投影问题，矩形的性质，延长交于点F，为段的影长，据此求出的长度，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点F， 由题意可得四边形为矩形， ，， ， 即的影长为， 竖立于地面长的木杆的影长为， ， ， ， 即旗杆的高度为． 10．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，，，是三个标杆，，分别为标杆，在路灯下的影子． (1)请画出路灯O的位置； (2)画出标杆在路灯下的影子． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中心投影，解题的关键是掌握相关概念． （1）根据中心投影的定义，延长和，它们的交点即为投影中心，即路灯O的位置； （2）连接并延长交马路的一侧于H，则即为在路灯下的影子． 【详解】（1）解：路灯O的位置如图所示． （2）解：如图，即为标杆在路灯下的影子． ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 投影与三视图思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行投影、中心投影、正投影 【解惑】在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各种现象属于中心投影的是（   ） A．阳光下沙滩上人的影子 B．晚上人走在路灯下的影子 C．中午用来乘凉的树影 D．阳光下旗杆的影子 2．宋代诗人释惠明所作《手影戏》中写道：“三尺生绡作戏台，全凭十指逞诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来．”如图“手影戏”中的手影属于 （填“中心”或“平行 ”投影） 3．在平面直角坐标系中，位于第二象限的点在轴上的正投影为点，则 ． 类型二、视点、视角、盲区 【解惑】如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 2．如图表示一个正五棱柱形状的建筑物，如图是它的俯视图，小明站在地面上观察该建筑物，当只能看到建筑物的一个侧面时，他的活动区域有 个． 3．如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 类型三、判断几何体的三视图 【解惑】如图，工件的主视图是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．2024年巴黎奥运会，中国体育健儿勇夺91枚奖牌，如图是本届奥运会的领奖台，其左视图是（　　） A． B． C． D． 2．如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 3．如图是用7块相同的小长方体搭成的几何体，若拿走一块长方体后，该几何体的主视图和左视图都没改变，则这块长方体的序号是 ． 类型四、由三视图还原几何体 【解惑】用若干大小相同的小正方体搭一个立体图形，使得立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱锥 C．三棱柱 D．正方体 2．由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是 ． 3．如图是一个简单几何体的三视图，则这个几何体是 ． 类型五、求圆锥侧面积、底面半径、高、圆心角 【解惑】如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．用圆心角为，半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径为（   ） A． B． C． D．3 2．用半径为，圆心角为的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 3．有一个半径为的扇形，将扇形围成一个底面半径为的圆锥，则该扇形的圆心角的度数为 ． 类型六、已知三视图求边长、侧面积、表面积、体积 【解惑】如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中a的值为（　　）    A． B．4 C．2 D． 【融会贯通】 1．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 3．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据，该几何体的体积为 ． 类型七、已知一种或两种视图、判断其他视图 【解惑】如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是从上面看到的由个小立方块所搭成的几何体的形状图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，从左面看该几何体的形状图是（    ） A． B． C． D． 2．几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 3．一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有m个小正方体组成，最少有n个小正方体组成，m+n＝ ． 类型八、已知三视图求最多或最少的小立方块的个数 【解惑】如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块． 【融会贯通】 1．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． 1 1 3 2 3 3 (1)请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． (2)若将该几何体添加一些相同的小立方块，并保持这个几何体从正面和左面看到的形状图不变，则最多可添加___________个小立方块． 2．（1）如图是由个同样大小的小正方体搭成的几何体，请分别画出从这个几何体的正面和上面看到的形状图． （2）在从这个几何体的正面和上面看到的形状图不变的情况下，你认为最多还可以添加______个小正方体． 3．由大小相同的小立方体搭成的几何体如图①所示． (1)请在图②的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)用小立方体搭一个几何体，使得它的俯视图和左视图与（1）中所画的一致，则这样的几何体最少有_____________个小立方体，最多有_____________个小立方体； (3)将此几何体露在外面的部分涂上油漆（不包含底面），其中两面涂色的小立方体有_____________个． 类型九、画几何体的三视图 【解惑】在如图的方格图中画出如图所示（图中单位：）的几何体的主视图、左视图和俯视图，每个小方格的边长代表．    【融会贯通】 1．如图是由9个大小相同的小正方体组成的简单几何体．在下面的正方形网格中，画出该几何体的主视图、左视图、俯视图． 2．如图，用若干个完全相同的小正方体搭一个几何体．请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 3．如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为．请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形：（在图1所提供的方格内涂上相应的阴影即可）    类型十、圆锥侧面积的最短路径 【解惑】如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为9cm，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【融会贯通】 1．如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 2．如图，圆锥的底面半径为1，母线长为3，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上，问它爬行的最短路线是多少？ 3．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长． （1）如图1，正方体的棱长为一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处； （2）如图2，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点沿着棱柱表面爬到处； （3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点． 【一览众山小】 1．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（） A． B． C． D． 2．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩，奥运会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 3．由相同的小正方体组成的几何体的三视图如图所示，组成这个几何体需要小正方体（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．皮影戏是一种以兽皮或纸板做成的人物剪影，表演者在幕后操纵剪影、演唱，或配以音乐，具有浓厚的乡土气息．皮影戏是利用 投影的一种表演艺术．（填写“平行或”中心”） 5．在下面的四个立体图形中，主视图是长方形的有 ．（填序号） 6．小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为，圆锥的高为，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 ． 7．由大小相同的小立方块搭成的几何体，请在方格中画出该几何体的三视图．    8．如图是由棱长都为的6块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体的三个视图． (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体， (3)直接写出添加最多的小正方体后该几何体的表面积（包含底面）． 9．为测量清江浦中学旗杆的高度，初三活动小组进行如下实验：如图，在阳光下，某一时刻，旗杆的影子一部分在地面上，一部分在旗杆旁的演讲台上测得旗杆在地面上的影长为，演讲台墙面上的影长为，演讲台上的影长为；同一时刻，竖立于地面长的木杆的影长为，求旗杆的高度． 10．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，，，是三个标杆，，分别为标杆，在路灯下的影子． (1)请画出路灯O的位置； (2)画出标杆在路灯下的影子． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$