专题02 直线与圆的位置关系（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题02 直线与圆的位置关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的内心 【解惑】如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，点O是的内心，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的内心及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内心及三角形内角和是解题的关键；由题意易得分别是的角平分线，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵点O是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心的概念，圆周角定理，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 连接，根据点是内心得到，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接，    ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是的外接圆的圆心， ∴， ∵，   故答案为： ． 3．【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 (1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 (2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）连接，由，可知，得到，从而推出平分，然后由，可知，通过三角形的外角可推出平分，得证． （2）①作的延长线交于点，连接，，根据三角形内心的性质和同弧所对的圆周角相等，可推出，再由三角形外角的可推出，结合，从而推出，即，可得点为所求； ②由①可知，从而推出当为的直径时，取得最大值，设交于点，连接，根据三角形内心的性质和垂径定理推论可得，，然后利用勾股定理先求得，即可得到，从而求得的最大值． 【详解】（1）证明：连接，如图 平分 是的一个外角 ， 平分 为的内心 （2）解：①作的延长线交于点，连接，，如图 是的内心 ， ，点为中点 又和为所对的圆周角 是的一个外角 是一个定值 故延长交于点，点即为所求，如图： ②如①图，， 当取最大值时，取得最大值 当为的直径时，取得最大值，如下图所示， 设交于点，连接 是的内心 是的直径 ， 的半径长为5， ，， 的最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内心的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并构造出合适的辅助线是解题的关键． 类型二、三角形内切圆与外接圆 【解惑】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心．利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据垂径定理则可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断． 【详解】解：∵E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵E是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴G一定在上， ∴，故③正确； 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若，则，显然不可能，故④错误． 故选：D． 【融会贯通】 1．已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形外心的性质，三角形内角和定理，利用三角形内心的性质得分别是的角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案，牢记以上知识点得出各角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵是的内心，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点又是的外心， ∴， 故选：． 2．在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与外接圆，切线长定理．设分别为与内切圆的切点，则，根据勾股定理可求出的长，从而得到R的值，再证明四边形是矩形，根据切线长定理可得，可求出r，即可求解． 【详解】解：如图，设分别为与内切圆的切点，则，    在中，， 由勾股定理得， ∴外接圆半径． ∵分别为与内切圆的切点， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： 3．直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据勾股定理求出，可求出R，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，，根据三角形内切圆的性质可得四边形是正方形，从而得到，可求出r，即可； （2）作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，，可得的最小值为的长，当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长，再根据直角三角形的性质可得，设，则，可得，在中，，可求出x的值，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴的外接圆半径； 如图，设的内切圆圆心为O，过点O作，垂足分别为E，F，则，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：如图，作点H关于的对称点，连接，过点D作于点E，交于点F，过点E作于点G，则，， ∴， ∴的最小值为的长， 当时，最小，此时当点M与点E重合，即的最小值为的长， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握三角形外接圆与内切圆的性质，解直角三角形等知识是解题的关键． 类型三、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【解惑】若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比． 由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1． 故选D． 【融会贯通】 1．如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）    A．1 B． C．1.5 D．2 【答案】A 【分析】作辅助线如解析图，根据，代入数据求解即可. 【详解】解：如图，设与的各边分别相切于点E、F、G，连接，设的半径为r， 则，， ∵ ， 又的周长为18，面积为9， ∴， ∴， 故选：A.    【点睛】本题考查了利用三角形的面积求三角形的内切圆半径，掌握求解的方法是解题的关键. 2．已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 cm． 【答案】3 【分析】根据三角形内切圆的性质可得，即可根据三角形的面积和周长即可计算出半径． 【详解】解：设圆的半径为， ∵， ∴， ∴cm， 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内切圆的相关知识． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 【答案】（1）；（2）公式和等价；推导过程见解析；（3）见解析． 【分析】分别将5,7,8代入两个公式计算验证即可； 求出，把①中根号内的式子可化为： ，即可得出结论； 连接，，由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：由得：， 由得：， ； 公式和等价；推导过程如下： ， ， 中根号内的式子可化为： ， ； 连接，如图所示： ． 【点睛】本题考查三角形的内切圆、数学常识以及三角形面积公式；熟练掌握三角形面积的计算方法是解题的关键． 类型四、切线长定理求证 【解惑】已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证； （2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线是的切线； （2）解：连接，如图所示， ∵直线、都与相切， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 即的半径为． 【融会贯通】 1．如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线； （2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，过点A作射线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作，垂足为点， 设， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵、、为的切线， ∴，， ∴， ∵射线，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义； （1）由三角形内角和角的计算问题； （2）连接，则，根据切线长定理得到，则，得到，即可求解； （3）根据，设，，则，再依据，求出，，再求出，即可计算，，最后求值即可． 【详解】（1）由题意知，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）连接， ∵为的直径， ∴， ∵为过C点的切线，过点作的切线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）连接， 由（1）（2）可得，，， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 3．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 类型五、相似与圆 【解惑】如图，已知为的直径，弦于点，连接，点为直径上一点，过点作弦交圆于，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，过点作交延长线于，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)2 【分析】（1）首先根据垂径定理可得，，进而可得，根据等腰三角形的性质可得，再证明，可知，即可证明结论； （2）连接，首先证明，再结合易知，结合平行线的性质证明，即可证明结论； （3）过点作于，并交于，交于点，连接，设交于点，连接，，首先证明，易得，，，再证明，可得，，，进一步可得的值，设，，则，证明，易得，利用勾股定理解可得的值，即可求得，，，利用圆内接四边形的性质证明，结合相似三角形的性质解得，可知，即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵为的直径，弦于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如下图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图，过点作于，并交于，交于点，连接，设交于点，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，可有， ∴， 在中，可有， ∵为的直径， ∴， ∴在中，可有， 即，整理可得， 将代入， 可得，解得或（舍去）， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、圆周角、圆内接四边形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 【融会贯通】 1．在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例． （1）由三角形中位线定理以及平行线分线段成比例，证明，根据圆周角定理求得，推出是线段的垂直平分线，据此即可证明平分； （2）先求得，求得，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由题意得是的直径， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，，即平分； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 蝴蝶定理（），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．蝴蝶定理是．霍纳年提出并证明的． 蝴蝶定理：如图（1），在中，点为弦的中点，过点作弦．连接，分别与交于点，则点是的中点． 下面是该定理的证明过程（部分）： 如图（2），过点作于点，于点，连接，则， 点在以为直径的圆上，点在以为直径的圆上， 点四点共圆，点四点共圆， ，． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)请根据蝴蝶定理填空：如图（1），若，则________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义、相似三角形和全等三角形． （1）根据题意得到，通过比例关系和角相等得到，最后证明全等即可得出； （2）根据新定义即可证明． 【详解】（1），， ， ， 点分别是的中点， 又， ， ， 又，， ，即点是的中点． （2）由蝴蝶定理可知， 又， 又， ． 3．如图，点是上的一个动点，点是圆外任意两点，连接，作的外接圆，恰好为外接圆的直径，且外接圆过点，点是的中点，共线． (1)作的边上的高，垂足为点，证明：①；②； (2)若的半径为，，，求线段的长度的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）由直径所对的圆周角为90度可得，通过证明可证①，证明可证②； （2）取中点N，连接，则是的中位线，，可得点M在以N为圆心，为半径的圆上，再根据圆外一点到圆上点的距离求最小值． 【详解】（1）证明：①如图，作的边上的高，垂足为点， 恰好为外接圆的直径， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：，，， ， 取中点N，连接，则， 点是的中点， 是的中位线， ， N为定点， 点M在以N为圆心，为半径的圆上， 连接交于点，此时线段的长度最小， 最小值为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，圆外一点到圆上点的距离等，综合性较强，有一定难度，找到点M的运动轨迹是解题的关键． 类型六、三角函数与圆 【解惑】综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论； （2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论； （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点B平分， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点B平分， ∴，则， ∴． ∵平分， ∴，则， 设，，则，， ∴ ∴，则， ∴． ∵ ， ∴． （3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则． ∴． ∵点平分， ∴，则， ∴． ∴， 在和中， ∴． ∴． ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【融会贯通】 1．【问题原型】 如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 【答案】[问题原型]直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等 [逆向思考] [模型应用] 【分析】本题考查了圆周角定理，特殊角的三角函数值，圆内接四边形的性质，熟练掌握这些性质，并掌握题中给出的方法是解题的关键． [问题原型]根据题中推理写出根据即可； [逆向思考]连结并延长交于点，连结，利用题中方法求解即可； [模型应用]设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，利用题中方法得出和直径的关系，再求出的最小值即可求解． 【详解】[问题原型] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（直径所对的圆周角是直角） ， ，（同弧所对的圆周角相等） 在中，， ， ， ， ， ， 即的半径长为2； 故答案为：直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等； [逆向思考] 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ∵， ， 即； [模型应用] 解：设圆的圆心为，连结，，连结并延长交于点，连结，如图， ∵，， ∴， ∴， 为直径，点在圆上， ， ， ， 在中，， ， ∴当最小时，最小， ∵为边上一点， ∴当时，最小， 此时，由， ∴， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，过的延长线上的点D作的垂线，与过A，C，D三点的圆O交于点E，连结，． (1)求的值； (2)设，， ①求y关于x的函数关系式； ②若是等腰三角形，求y的值； (3)若点B关于的对称点F为弧的中点，求圆O的半径． 【答案】(1) (2)①；②或或 (3) 【分析】（1）作，交点为H，根据等腰三角形的性质可得，再利用勾股定理求得，由圆内接四边形的性质可得，进而可得，即可求解； （2）①过点A作，交点为G，证明四边形是矩形，可得，进而可得，由（1）可得，，即，在中，利用锐角三角函数求解即可； ②先利用y的代数式表示的三条边，再利用分类讨论思想分三种情况：、、，即可求解； （3）利用对称轴的性质和等腰三角形的性质点A、F为半圆的三等分点，再利用圆周角定理和直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：作，交点为H， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：过点A作，交点为G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， 在中，， 则，即． ②由（2）①得，，， ∴，， 由题意得，， 当时，， 解得（负值舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 由得，， 解得， 综上所述，若是等腰三角形，y的为或或； （3）解：连接， ∵， ∴， ∴是的直径， ∴， ∵点B关于的对称点F为弧的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即点A、F为半圆的三等分点， ∴， ∴， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、圆周角定理，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 3．如图1，为圆O的内接三角形，的三条角平分线交于点I，延长交圆O于点D，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，设与交于点P，若，求的值； (3)如图3，四边形内接于圆O，连接对角线，交于点E，且平分，过B作交于点F，平分交于点G，若，，求的最大值，并求此时圆O的面积与周长之比k． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的最大值为，圆O的面积与周长之比k为 【分析】（1）根据角平分线的定义，通过外角性质及圆周角定理，即可证明，从而证得结论； （2）首先由垂径定理，可得，根据圆周角定理及（1）可得，再根据角平分线的定义及圆周角定理，即可证得，根据相似三角形的性质即可求解； （3）过C作于点H，连接，根据角平分线的定义及（1），可证得：，可得：，设，则，，再根据平行线的性质及圆周角定理，可证得可证得：，根据相似三角形的性质可得，，根据二次函数的性质可得，当时，取到最大值为，此时作直径，连接，则，即可求，据此即可得半径，从而求最后结果． 【详解】（1）证明：的三条角平分线交于点I， ， ，即， ； （2）解：， ， 由（1）知， ， 的三条角平分线交于点I， ， 又， ， ； （3）解：如图：过C作于点H，连接， 平分，平分， ， 同（1）可证得， ， 设，则，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 时，取到最大值为， 如图：作直径，连接， 则， ， 此时圆O的半径为， 圆O的面积与周长之比． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正弦的定义，作出辅助线是解决本题的关键． 类型七、动圆相切求t 【解惑】如图，在边长为6的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，以为直径在右侧作半圆． (1)当P在A处时，半圆O落在三角形内部的弧长为________； (2)当半圆O与除点外，另有交点时，若，求的度数； (3)直接写出：当t为何值时，半圆O正好与等边三角形的一边相切． 【答案】(1) (2) (3)当或或或时，半圆O正好与等边三角形的一边相切 【分析】（1）连接，，求得的度数，进而根据弧长公式得出结果； （2）先求出的度数，进而根据三角形的外角与内角的关系得出结果； （3）分为与，，分别相切三种情形．当与相切时，此时，根据求得结果；当与相切时，此时，根据求得结果；当与相切时，连接，作，交于，作于，作于，连接，解，表示出，，，，进而求出，进而得出，从而得出，进而列出方程求得结果． 【详解】（1）解：如图1， 连接，， 当P在A处时，圆的半径为， 是等边三角形， ， ，， 和是等边三角形， ，， ， 弧长为， 故答案为：； （2）解：如图2， ，， ， ； （3）解：由题意可得，， 当直径时，如图3，切于，此时，， ， ， ， 当直径于时，如图4，此时，， ， ， ； 当切于时，连接，作交于，作于，作于，连接，如图5， ∴四边形为矩形， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ， ∵为直径， ∴， ∴， ，， ，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∵切于时， ∴， ∴， ，， 即圆的半径为， ， ， ， 解得， 综上所述：或4或． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，圆的切线的性质，弧长公式，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟记直角三角形的三边关系． 【融会贯通】 1．【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，．    (1)求证：． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)当时，与相切 (3)当或 时，为等腰三角形 【分析】（1）由四边形是菱形，，得，而，可得，即得，故即可得； （2）连接，当与相切时，，结合，得到 ，继而得到，结合，得到，结合，列式计算即可． （3）连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，则，证明，得四边形为菱形，可求出，，求出；分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）证明：由四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，当与相切时， 则， ∵， ∴， ∴，    ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． （3））解：连接交于点M，连接交于点H，过点G作于点N，连接，如图：    设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴于点H， ∴； ∴，， ∴， ∴， 在菱形中， AC＝2AM＝2ABcos∠MAB＝2×6， ∴； 又， ①若，则， 解得； ②若，则， 解得（舍去）或（舍去）； ③若，则t， 解得； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，切线的性质，圆周角定理，三角函数的应用，等腰三角形的分离计算，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，切线性质，分类思想是解题的关键． 2．如图，已知．动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动；动直线从位置出发，以每秒个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当点运动到时，它们都停止运动． (1)若为线段中点，以为圆心，为半径的圆与直线相切时，求的值； (2)若是以为圆心，为半径的圆，在点运动过程时，当直线与相交时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)当，时，直线与相交． 【分析】（1）以为圆心，为半径的圆与直线相切时，可得，根据勾股定理可得，，根据题意可证，且，由此即可求解； （2）根据题意，分类讨论，①点在上，如图1，当直线在右侧与圆相切时； 如图2，当直线在左侧与圆相切时；②点运动到上，如图3，当直线与左侧与圆相切时，则，延长交于点，根据路程与速度的关系，相似三角形的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：以为圆心，为半径的圆与直线相切时，，如图所示， ∴点在线段上，， ∵点，点， ∴，， ∵为中点， ， ∴且， ∴， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动，运动的时间为秒， ∴， ∴， ∴； （2）解：已知点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动，动直线从位置出发，以每秒个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动，运动的时间为秒， ∴，动直线的路程为, ①点在上，如图1，当直线在右侧与圆相切时， ∴， 解得； 如图2，当直线在左侧与圆相切时， ∴， 解得； 当时，直线与相交； ②点运动到上，如图3，当直线与左侧与圆相切时，则，延长交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得； 当时，直线与相交． 综上所述：当，时，直线与相交． 【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，一元一次方程与行程问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，理解动点的行程问题，掌握相似三角形的判定和性质，运用一元一次方程解行程问题的方法是解题的关键． 3．在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)当t为2秒或4秒时，的面积等于． (2)①当或或或或时，与四边形的一边相切．②当时，与四边形有四个交点． 【分析】（1）根据题意得，，由此根据三角形面积公式建立方程求解即可； （2）①由题意可知圆Q与不相切．如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合．此时与相切；如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接，结论方程即可，当正好与四边形的边相切时，如图3所示．建立方程即可．如图4，当重合，重合，同理可得：此时，与相切，②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点；如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点．由①可得，此时，如图，当过时，连接，可得，（舍去）．可得当时，与四边形有四个交点． 【详解】（1）解：∵当运动时间为t秒时，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵的面积等于， ∴． ∴． 解得：，． 答：当t为2秒或4秒时，的面积等于． （2）解：①由题意可知圆Q与不相切． 如图1所示：当时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵， ∴． ∴． ∴为圆Q的切线． 此时与相切； 如图2，当与相切的第2个位置时，切点为，连接， 此时四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：（舍去），， 当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：． 在中，由勾股定理可知：，即． 解得：，（舍去）； 如图4，当重合，重合， 同理可得：此时，与相切， 综上所述可知当或或或时，与四边形的一边相切． ②当时，如图1所示：与四边形有两个公共点； 如图3所示：当圆Q与相切时，与四边形有三个公共点． 由①可得，此时， 如图，当过时，连接， 由题意可知：． 由勾股定理可知：，． ∵， ∴，即． 整理得：． 解得：，（舍去）． ∴当时，与四边形有四个交点． 【点睛】本题主要考查的是矩形的性质，切线的性质，三角形的面积公式、勾股定理，一元二次方程的解法，根据题意画出图形是解题的关键． 类型八、古拉美古塔定理 【解惑】阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． （1）由等量代换作答即可； （2）根据等边对等角可得，由，可得，则，进而结论得证． 【详解】（1）解：由题意知，材料中横线部分缺少的条件为， 故答案为：； （2）证明：，， ，， ， 又，， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”． 定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”． 按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：________________________________________________________________________________， 求证：________________________________________________________________________________， 证明：________________________________________________________________________________． 【答案】见解析 【分析】由AC⊥BD，EF⊥AB，即可得出∠BMF＝∠MAF，进而证得∠EDM＝∠EMD，得出DE＝ME，同理可证ME＝CE，即可证得结论． 【详解】解：已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点M，过点M作AB的垂线分别交AB、DC于点F，E． 求证：点E是DC的中点． 证明：∵AC⊥BD，EF⊥AB， ∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°， ∴∠BMF＝∠MAF， ∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF， ∴∠EDM＝∠EMD， ∴DE＝ME， 同理可证ME＝CE， ∴DE＝CE， ∴点E是DC的中点． 点E是DC的中点． ∵AC⊥BD，EF⊥AB， ∴∠BMF＋∠AMF＝90°，∠MAF＋∠AMF＝90°， ∴∠BMF＝∠MAF， ∵∠EDM＝∠MAF，∠EMD＝∠BMF， ∴∠EDM＝∠EMD， ∴DE＝ME， 同理可证ME＝CE， ∴DE＝CE； 【点睛】本题考查圆的综合问题，同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，等角的余角相等，掌握以上知识是解题的关键． 2．阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 【答案】（1）见解析；（2）菱形 【分析】（1）先写出已知、求证，先证明，再证明，即可证明 （2）先证明，再证明,由布拉美古塔定理证明即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 证明： ， ， ， ， ， 同理可证， ， ∴点E是的中点 故答案为：已知：如图，在圆内接四边形中，对角线于点M，过点M作的垂线分别交于点． 求证：点E是的中点 （2）四边形是菱形 理由：由布拉美古塔定理可知，分别是的中点， 是中点 ∴四边形是菱形 故答案为：四边形是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 3．阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∴． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据垂直的定义和三角形内角和定理证明，再由对顶角相等和圆周角定理证明，得到，同理可证，即可证明； （2）根据圆内接四边形对角互补得到，即，再由平行线的性质得到，即可利用题中定理得到，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴； （2）解：∵四边形 为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴，即点N为的中点， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，证明题中所给定理是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查切线长定理、正方形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据切线长定理得：，，，先证明四边形是正方形，再利用勾股定理列方程可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，设在内切圆圆心为点，连接， 的内切圆分别与、、相切于点、、， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， 解得：（负值舍去， ， 圆的半径为3， 故选：D． 2．如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查切线的性质、切线长定理和全等三角形的性质，根据切线性质，，可知，再根据为切线可知． 【详解】解：由题意得，连接、、， 由切线性质得，，，，，， ∴ 又， ，， ，， ， ， ， ． 故选：A． 3．如图，，是的切线，若，， ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 4．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 由圆周角定理可得： ， ． 故答案为: 5．如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为2． 【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明与相切； （2）先求得，得到，求得，再利用含30度角的直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴与相切； （2）解：延长到点，使，连接，，设的半径为， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为2． 6．“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答； （2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出． ②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答； （3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上， ∵直径， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①． ∵半圆与相切于点， ， ∵半圆的中点为点， ， ∵， ， ∵为等边三角形， ， ， ， ． ②过点作于点于点，如图， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∴点到桌面的距离为， 故答案为：． （3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为． ∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动， ∴滚动过程中始终与桌面相切， ∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径， ∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍， 由（2）①知：， ∴圆心移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内． (1)如图1，，若是以为直角边的直角三角形，且．求出点C的坐标； (2)如图2，在（1）的前提下，的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点，写出r的取值范围______． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点，分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，交于第一象限内点，在射线上截取，连接，点即为所求作的点；设，过点作轴于点，由，得，即，得出，即，由勾股定理得，建立方程求解，当，先证明四边形是矩形，则，列式，得，即可作答 ； （2）运用待定系数法解出的解析式为，因为以点为圆心，所以，则在的上方，作图，运用勾股定理分别算出，，，，同理，解出，对于与以点为圆心、半径为r的圆有公共点的处理过程与上述解法类似，最后运用数形结合思想，即可作答． 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作的点． 设，过点作轴于点， 则，， ， 点， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ，即， ， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ， 点的坐标为， 当的直角顶角在点A处， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：依题意，设的解析式为， 把和分别代入， 得， 解得， ∴的解析式为， ∵以点为圆心， ∴， 则在的上方， 如图：过点P分别作，，连接，， ∵，，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即， 则， ， 解得， ∴， ∵的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点， ∴为圆心，此时圆与边相切于点，或，圆与有一个交点， ∴； 同理，由（1）得出四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，， 即， 则， ， 解得， ∴， ∵的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点， ∴为圆心，此时圆与边相切于点，或，圆与有一个交点， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，图形与坐标，勾股定理，矩形的性质与判定，待定系数法解一次函数，解直角三角形，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 【答案】(1)，； (2) (3)或或5 【分析】（1）连接，求出，可得的直径，根据M为中点，可得点M坐标； （2）连接，在证设，即，求出坐标；然后用待定系数法得直线所对应的函数表达式； （3）设，由，， 可得， ；分三种情况：①当时，②当时，③当时分类讨论即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴为的直径， ∵点A、点B的坐标分别为、， ∴， ∴的直径为， ∵M为中点， ∴ 故答案为：，； （2）连接， ， ， ， 设， ， ， 解得：， ， 设直线所对应的函数表达式为，将，代入，得 ， 解得， 直线所对应的函数表达式 （3）解：设， ，， 解得：，， ， ①当时，连接 ，， ， ， ， ， ， ， 点E和点P横坐标相同, ， ， ， ②当时，如图： ， ， ， ，， ， ， ， ③当时，如图： ， 即， ， ， 综上所述：得长度为或或5． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，圆的性质及应用，待定系数法，一元二次方程，相似三角形判定与性质，解题的关键是分类讨论思想的应用； 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线与圆的位置关系思维导图 【类型覆盖】 类型一、三角形的内心 【解惑】如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【融会贯通】 1．如图，点O是的内心，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为    3．【习题再现】 （教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点．和相等吗？为什么？ （不需解答，请看下面的问题） 【逆向思考】 (1)如图（1），为内一点，的延长线交的外接圆于点．若，求证：为的内心； 【拓展提高】 (2)如图（2），的半径长为5，弦，动点在优弧上（不与、重合），是的内心． ①点到上某点的距离始终不变，请用无刻度的直尺找出该点； ②的最大值为______． 类型二、三角形内切圆与外接圆 【解惑】如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G．则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【融会贯通】 1．已知是的内心，，为平面上一点，点恰好又是的外心，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．在中，，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差 ． 3．直角的两直角边． (1)分别求的外接圆半径R与内切圆半径r； (2)斜边上的动点M作，垂足为H，求的最小值． 类型三、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【解惑】若正三角形的外接圆半径为2，则它的内切圆半径为（    ） A． B． C．2 D．1 【融会贯通】 1．如图，是的内切圆，若的周长为18，面积为9，则的半径是（　　）    A．1 B． C．1.5 D．2 2．已知△ABC的面积是54cm2，周长是36cm，则△ABC的内切圆半径是 cm． 3．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一半），则 （1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值； （2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从或者）； （3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记，为三角形面积，则． 类型四、切线长定理求证 【解惑】已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F． (1)求证：直线是的切线； (2)当直线与相切时，求：的半径． 【融会贯通】 1．如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 2．在中，为的直径，为过C点的切线． (1)如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求的大小； (2)如图②，过点作的切线交于点，求证：； (3)如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值． 3．如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 类型五、相似与圆 【解惑】如图，已知为的直径，弦于点，连接，点为直径上一点，过点作弦交圆于，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，过点作交延长线于，连接，若，，求的长． 【融会贯通】 1．在中，点是的中点，以为圆心以为半径作圆．是的中点，连接，交圆于点．连接，连接并延长，交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 2．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 蝴蝶定理（），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一．蝴蝶定理是．霍纳年提出并证明的． 蝴蝶定理：如图（1），在中，点为弦的中点，过点作弦．连接，分别与交于点，则点是的中点． 下面是该定理的证明过程（部分）： 如图（2），过点作于点，于点，连接，则， 点在以为直径的圆上，点在以为直径的圆上， 点四点共圆，点四点共圆， ，． 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； (2)请根据蝴蝶定理填空：如图（1），若，则________． 3．如图，点是上的一个动点，点是圆外任意两点，连接，作的外接圆，恰好为外接圆的直径，且外接圆过点，点是的中点，共线． (1)作的边上的高，垂足为点，证明：①；②； (2)若的半径为，，，求线段的长度的最小值． 类型六、三角函数与圆 【解惑】综合运用 如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分． (1)求证：． (2)若，求证：． (3)求证：． 【融会贯通】 1．【问题原型】 如图1，线段是一条弦，，点在上，，求的半径长．小元的解法如下，请你帮他补全适当的理由： 解：连结并延长交于点，连结， 为直径，点在圆上， ，（______） ， ，（______） 在中，， ， ． ． ， ． 即的半径长为2． 【逆向思考】 如图2，线段是一条弦，若、在的异侧，，的半径为1，求弦的长． 【模型应用】 如图3，为边上一点，以为直径作圆，交直线于点，交直线于点，连结．，，，则线段的最小值为______（有含的代数式表示）． 2．如图，在中，，，过的延长线上的点D作的垂线，与过A，C，D三点的圆O交于点E，连结，． (1)求的值； (2)设，， ①求y关于x的函数关系式； ②若是等腰三角形，求y的值； (3)若点B关于的对称点F为弧的中点，求圆O的半径． 3．如图1，为圆O的内接三角形，的三条角平分线交于点I，延长交圆O于点D，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，设与交于点P，若，求的值； (3)如图3，四边形内接于圆O，连接对角线，交于点E，且平分，过B作交于点F，平分交于点G，若，，求的最大值，并求此时圆O的面积与周长之比k． 类型七、动圆相切求t 【解惑】如图，在边长为6的等边三角形中，动点从点出发，沿边向终点运动，同时，动点从点出发，沿边向终点运动，两者速度均为每秒1个单位长度，运动时间为，以为直径在右侧作半圆． (1)当P在A处时，半圆O落在三角形内部的弧长为________； (2)当半圆O与除点外，另有交点时，若，求的度数； (3)直接写出：当t为何值时，半圆O正好与等边三角形的一边相切． 【融会贯通】 1．【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，，点P从点A向点D运动，速度为，运动时间为t秒（）．过点P作的垂线交直线于点Q，为的外接圆，交菱形对角线于点G，连接，．    (1)求证：． (2)当t为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 2．如图，已知．动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿的边做匀速运动；动直线从位置出发，以每秒个单位的速度向轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为秒，当点运动到时，它们都停止运动． (1)若为线段中点，以为圆心，为半径的圆与直线相切时，求的值； (2)若是以为圆心，为半径的圆，在点运动过程时，当直线与相交时，求的取值范围． 3．在矩形中，，点从点出发，沿边向点以每秒的速度移动，同时点从点出发沿边向点以每秒的速度移动两点在分别到达两点后就停止移动，设两点移动的时间为秒，回答下列问题： (1)如图1，当为几秒时，的面积等于？ (2)如图2，以为圆心，为半径作． ①在运动过程中，是否存在这样的，使正好与四边形的一边（或者边所在的直线）相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②若与四边形的边有4个公共点，请直接写出的取值范围______． 类型八、古拉美古塔定理 【解惑】阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名的数学家、天文学家，他在三角形、四边形、零和负数的算数运算法则、二次方程等方面均有建树，特别在研究一阶和二阶不定方程方面作出了巨大贡献，他曾提出了“婆罗摩笈多定理”，该定理也称为“布拉美古塔定理”，该定理的内容及部分证明过程如下． 婆罗摩笈多定理：如图，已知四边形内接于，对角线，，相交于点M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：， ，． ． 又_______，， ． … 任务： (1)材料中横线部分缺少的条件为_______________． (2)补全后面的证明过程． 【融会贯通】 1．阅读下列相关材料，并完成相应的任务． 婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”． 定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边”． 按图写出这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：________________________________________________________________________________， 求证：________________________________________________________________________________， 证明：________________________________________________________________________________． 2．阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”． 任务： （1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程； 已知：__________________ 求证：_________________ 证明： （2）如图（2），在中，弦于M，连接分别是上的点，于于H，当M是中点时，直接写出四边形是怎样的特殊四边形：__________． 3．阅读材料并完成相应任务： 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）． 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边． 下面对该定理进行证明． 已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点P，于点M，延长交于点N． 求证：． 证明：∵，， ∴， ∴． …… 任务： (1)请完成该证明的剩余部分； (2)请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【一览众山小】 1．如图，在中，，其内切圆分别与、、相切于点D、E、F，若，，则圆的半径为（   ） A．2 B．4 C．5 D．3 2．如图，、、是的切线，点、、是切点，分别交、于、两点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 3．如图，，是的切线，若，， ． 4．如图，已知与相切于点A，点B为上一点，，过点B作于点C，交于点D，连接．已知，则图中阴影部分的面积是 ． 5．如图，是的直径，是的切线，，在圆上取一点C，使得，延长、，交点为D． (1)求证：与相切； (2)若，求的半径． 6．“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动． (1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）； (2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使， ①猜想与的位置关系并证明； ②点C到的距离为________（结果保留根号）； (3)当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离． 7．在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内． (1)如图1，，若是以为直角边的直角三角形，且．求出点C的坐标； (2)如图2，在（1）的前提下，的三边与以点为圆心、半径为r的圆有公共点，写出r的取值范围______． 8．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B的坐标分别为、，过点M的直线与的公共点是D、E，与x轴交于点F，连接、、．已知． (1)的直径为 ，点M的坐标为 ； (2)求直线所对应的函数表达式； (3)若P是线段上的动点，与的一个内角相等，求的长度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$