专题01 解直角三角形（优质类型）-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、比较三角函数值 【解惑】若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．比较大小： ． 3．已知，则锐角的取值范围是 ． 类型二、同角三角函数 【解惑】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．已知，如果，那么 ． 3．已知，则的值为 ． 类型三、解不规则的三角形 【解惑】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 2．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 3．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 类型四、12345+胡不归模型 【解惑】在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作，连接并延长，交于点P，过点O作分别交，于点N，H，交的延长线于点Q，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 3．如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，则下列结论正确的有 （填序号）． ①；②若是的中点，则；③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形． 类型五、解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 【解惑】某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【融会贯通】 1．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 2．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 3．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点D处，将含角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上（即此时的仰角是）．沿教学楼向前走8米到达点F处，将含角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上（即此时的仰角是）．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果精确到0.1，参考数据：，） 类型六、解直角三角形的应用——方位角问题 【解惑】打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【融会贯通】 1．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点在点的正南方，点在点的东南方向，点在点的正西方，点在点的南偏西方向上，点在点A北偏东方向上，若米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 2．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 3．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东方向有一我国渔政执法船C． (1)求的值．（保留2个有效数字，，） (2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 类型七、解直角三角形的应用——坡度、坡比问题 【解惑】“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【融会贯通】 1．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点B离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 2．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图，已知自动扶梯的长度是米，是二楼楼顶，，点C是上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角为，坡角 为求二楼的层高（精确到0.1米）．（参考数据：） 3．某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 类型八、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； (2)在图①中，连接，则 _______； (3)在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先在上找一点D，使得；连接，再画中点E； (2)如图2，先在上画一点F，使得；再在上画一点G，使得． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C都是格点，点F为中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)如图①，在上作点D，使得； (2)如图②，在上作点E，使得； (3)如图③，在上作点H，使得． 3．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中线； (2)在图2中的边上找到一点F，使；； (3)______． 【一览众山小】 1．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ）      A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为 ．    4．如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则 ．    5．材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 6．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 7．如图，经过格点的圆与网格线交于点． (1)在图1中，先画弦，再画的角平分线交圆于点E； (2)在图2中，P是圆上的一点，先画的中点H，再在上画点Q，使 8．在平面直角坐标系中，点A、B分别在轴、轴上，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，D是轴上一个动点，设的横坐标为的面积为，求与的函数关系式； (3)如图（3），在（2）的条件下，点D在x轴正半轴上，点E在线段上，点F在线段上，是上一点，连接，求点M的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 解直角三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、比较三角函数值 【解惑】若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 即 故选：D． 【融会贯通】 1．若锐角满足，则锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选C． 2．比较大小： ． 【答案】< 【分析】由cos37°=sin53°，根据正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，比较角度的大小即可． 【详解】解：∵cos37°=sin53°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大， ∴sin37°＜sin53°， ∴sin37°＜cos37°， 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了三角函数值的大小比较，化不同名函数为同名函数，并运用同名函数的性质是解题的关键． 3．已知，则锐角的取值范围是 ． 【答案】0＜α≤30° 【分析】根据二次根式的性质可得出≤，再由锐角正弦函数的增减性质可得出结论. 【详解】由题意知，故≤，即sin≤sin 30°，由正弦函数是增函数． 知0＜α≤30° 【点睛】本题考查了二次根式的性质和正弦函数的性质，熟练掌握性质和特殊角的三角函数值是解题关键. 类型二、同角三角函数 【解惑】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 【融会贯通】 1．已知是锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，可知，计算即可得出结果． 【详解】解：是锐角，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了互余两角的三角函数的关系，解题的关键是掌握一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即． 2．已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 3．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的性质，根据变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 类型三、解不规则的三角形 【解惑】如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 2．如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 3．如图，在中，，，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】过作，如图所示，在中，，，得到，；在中，，得到，由勾股定理得；再由三角形面积公式代值求解即可得到． 【详解】解：过作，如图所示： 在中，，， ， 在中，， ，即， ， 由勾股定理得； ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键． 类型四、12345+胡不归模型 【解惑】在中，，为上一动点，若，，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】以A为顶点，AC为一边在下方作45°角，过作于，过作于，交于，由，要使最小，只需最小，即BD的长，结合等腰三角形的判定和性质和解直角三角形求解． 【详解】解：以为顶点，为一边在下方作，过作于，过作于，交于，如图： ，要使最小，只需最小， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小即是最小，此时与重合，与重合，即最小值是线段的长度， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 又， ∴，， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：B． 【点睛】本题考查线段和的最小值，解题的关键是做45°角，将求的最小值转化为求垂线段的长． 【融会贯通】 1．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，点E在边上，且，连接交于点G，过点D作，连接并延长，交于点P，过点O作分别交，于点N，H，交的延长线于点Q，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求；④由外角的性质可求；②由“”可证，可得；③通过证明，可得，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点O作于K， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误． 综上，正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】20 【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：过点D，C分别作于点H，于点M． ， ， ， 设， ， ， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ， 的最小值为20． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 3．如图，在正方形中，点、分别在边、上，且，、分别交于点、，则下列结论正确的有 （填序号）． ①；②若是的中点，则；③的周长等于长的倍；④连接，则为等腰直角三角形． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用，相似三角形判定与性质．将绕点逆时针旋转得到，连接，证明，可得，而，有，故，①正确；过作，交延长线于，同理可证，，得，，设，，中，有，，设，则，，，即得，，②正确；的周长，即可得的周长，③正确；④由，可得，故，从而为等腰直角三角形，④正确． 【详解】解：①将绕点逆时针旋转得到，连接， ， ， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， 又， ， ， 而， 中，， ，故①正确； ②过作，交延长线于，如图： 同（1）可得，， ，， 设，，则，，，， 中，， ， 解得， 设，则， ，， 中，， ，故②正确； ③的周长 ， ， 的周长，故③正确； ④如图： ，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，故④正确； 正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 类型五、解直角三角形的应用——仰角、俯角问题 【解惑】某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： (1)点D到地面的距离； (2)塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)5米 (2)17.1米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； （2）解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 【融会贯通】 1．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为11.2米，灯柱与灯杆的夹角为，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为14.7米，从、两处测得路灯的仰角分别为和，且，求灯杆的长度． 【答案】灯杆的长度为2.8米 【分析】本题主要考查解直角三角形−仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则．设知、，由求得，据此知，再求得可得． 【详解】解：过点A作，交于点F，过点B作，交于点G，则， 由题意得． 设． ∵， ∴． 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 答：灯杆的长度为2.8米． 2．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点在同一条直线上．其中，米． (1)求无人机的飞行高度；（结果保留根号） (2)求河流的宽度．（结果保留根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（）由题意得，，，即得，，再解直角即可求解； （）如图，过点作于，则米，米，，解直角可得，即得，进而根据即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∴米； （2）解：如图，过点作于，则米，米，， 在中，， ∴， ∴米， ∴米， ∴米． 3．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点D处，将含角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上（即此时的仰角是）．沿教学楼向前走8米到达点F处，将含角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上（即此时的仰角是）．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点D，F，B在同一水平线上，结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】教学楼的高约为20.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．连接并延长，交于点M，设米，解得到，解，由得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点M，设米． 由题意可知，四边形，四边形是矩形，， ，，             在中，， ．             在中，，， 解得，                 （米） 答：教学楼的高约为20.5米． 类型六、解直角三角形的应用——方位角问题 【解惑】打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点A处，表演场地C在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从A经过一段楼梯到达点D，，再沿到达C处，已知点C在点D的东北方向处；路线②从A出发沿正东方向到达点B，再沿正北方向到点C处．（A、B、C、D在同一平面内）（参考数据：，，， (1)求楼梯的长度； (2)小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步，跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点C处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【答案】(1)楼梯的长度为； (2)选择路线①能赶在表演前到达点C处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键． （1）取点，过作于，于，设，根据三角函数的定义得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）根据“时间路程速度”列式计算． 【详解】（1）解：如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形， ， 设， ， ，， ， 解得：， ，， ， 答：楼梯的长度为； （2）解：选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：， 选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：， 选择路线①能赶在表演前到达点处． 【融会贯通】 1．某公园有一景观湖泊，围绕湖泊修建了如图所示的步道．已知点在点的正南方，点在点的东南方向，点在点的正西方，点在点的南偏西方向上，点在点A北偏东方向上，若米．（参考数据：，，，） (1)求的长度； (2)小聪和爸爸到公园游玩，小聪选择沿路线慢跑到点C，他的平均速度是400米/分．爸爸选择沿路线散步到点C，他的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明小聪和爸爸谁会先到达点C？ 【答案】(1)米 (2)小聪 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，数形结合、正确计算是解题的关键． （1）过连接，过点作于点，利用解直角三角形，求出、、，得米，再在求出计算结果保留整数即可． （2）先求出两人路程，再求出需要的时间即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点，    又∵点A在点C的正南方，点D在点A的正西方， ∴， 依题意得：，，， ∵米； ∴（米） （米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度为米． （2）∵米，， ∴（米） ∴小聪选择沿路线慢跑到点C，所需要的时间为：（分） ∵（米） 所以爸爸选择沿路线散步到点C，所需要的时间为：（分）， ∵， 答：小聪先到达点C． 2．如图，A点、B点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离B点正东方向的处有一海岸瞭望塔C，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向．（注：，结果精确到） (1)试求出小岛码头A点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离； 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 经经验，是原方程的解，且符合题意， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）解：如图所示，过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 3．钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东方向有一我国渔政执法船C． (1)求的值．（保留2个有效数字，，） (2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）过点B作于点D，首先得到，，然后根据三角形内角和定理求出即可； （2）在中，利用，，求出即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 由题意可知：，， ∴， ∴； （2）解：在中，， 在中，． 答：此时船C与船B的距离是海里． 类型七、解直角三角形的应用——坡度、坡比问题 【解惑】“周末不忙，来趟衡阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计） (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． （1）根据直角三角形的边角关系求出，进而求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点M， 由题意可知，，，，， 在中，，， ， 答：登山缆车上升的高度为； （2）解：在中，，， 需要的时间 答：从山底A处到达山顶D处大约需要. 【融会贯通】 1．某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． (1)求点B离水平地面的高度． (2)求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)电线塔的高度 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由坡度得，再结合，故，所以； （2）先证明四边形是矩形，，，再根据在中，，所以，运用勾股定理得，则，列式，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点F， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 则， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：电线塔的高度． 2．如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯，图2是侧面示意图，已知自动扶梯的长度是米，是二楼楼顶，，点C是上处在自动扶梯顶端B 点正上方的一点，，在自动扶梯底端点A处测得C点的仰角为，坡角 为求二楼的层高（精确到0.1米）．（参考数据：） 【答案】二楼的层高约为米． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，延长交于点D，根据坡度角的度数求得的长，然后在直角中利用三角函数即可求得的长，可得的值． 【详解】解：延长交于点D， ∵，， ∴． ∵坡角为， ∴， 设米，米，则米． ∵米， ∴， ∴米，米． 在中，，， ∴米， ∴（米）． 答：二楼的层高约为米． 3．某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 类型八、三角函数中的无刻度尺作图 【解惑】以下各图均是由边长为1的小正方形组成的 网格， 的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)在图①中，点D为的边的中点，在边上找一点E，连接，使 的面积为面积的 ； (2)在图①中，连接，则 _______； (3)在图②中，在的边上找一点F，连接，使 ． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)图见解析 【分析】（1）取的中点，连接，即可． （2）根据网格的特点，得到，勾股定理求出的长，利用正切的定义求出的值即可； （3）取的中点，取的中点，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由作图可知：是的中位线， ∴， ∴， ∴， 即：的面积为面积的； （2）解：由图可知：， 则，， ∴； （3）解：如图，即为所求； 由作图可知：， ∴． 【点睛】本题考查网格作图，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，以及网格的特点，是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A，B，C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图1，先在上找一点D，使得；连接，再画中点E； (2)如图2，先在上画一点F，使得；再在上画一点G，使得． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）由得，为的四等分点，根据平行线截线段成比例，即可找到点，分别找到、中点，两中点连线与交点，即为点， （2）点向左两个格点，向下一个格点，与相连，与的交点，即为点，点向下4个格点，与相连，点向下2个格点，与相连，连接点与交点并延长，与交点，即为点， 此题考查了复杂作图，涉及了等腰直角三角形的性质，三角函数，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：如图： 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、B、C都是格点，点F为中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)如图①，在上作点D，使得； (2)如图②，在上作点E，使得； (3)如图③，在上作点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形： （1）如图所示，取格点G、H，连接交于D，点D即为所求； （2）如图所示，取格点M，连接与格线交于T，连接交于E，点E即为所求； （3）如图所示，取格点P、S、K、Q，M、N，D、T、V，连接分别交格线于，连接分别交格线于L、W，连接交于O，连接交于O，连接交于H，则点H即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G、H，连接交于D，点D即为所求； 易得点D为中点，则为的中位线，则，则； （2）解：如图所示，取格点M，连接与格线交于T，连接交于E，点E即为所求； 设交格线于N，易证明，， 而， 则； （3）解：如图所示，取格点P、S、K、Q，M、N，D、T、V， 连接分别交格线于，连接分别交格线于L、W，连接交于O，连接交于O，连接交于H，则点H即为所求； 易证明，则，易证明点O为线段的中点，则可证明，由（1）得，则． 3．图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图1中画出的中线； (2)在图2中的边上找到一点F，使；； (3)______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）取格点P，Q，连接交于点D，连接，线段即为所求； （2）取格点P，Q，连接交于点F，连接，点F即为所求； （3）作边上的高，根据等积法求的长度，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求； ∵四边形是正方形， ∴点D是的中点， ∴是的中线； （2）解：如图②，点E即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，作交于点E， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用网格作三角作图，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正切的定义，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，半径为的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理、锐角三角函数的定义，作直径，根据勾股定理求出，根据余弦函数的定义求出，根据圆周角定理得到，等量代换即可． 【详解】解：如图所示：连接， ∵ ∴是的直径， 在中，，， 又（圆周角定理）， 故选 2．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ）      A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题主要考查了坡度，熟知坡度是坡面的垂直高度和水平距离的比成为解题的关键． 先根据题意画出图形，再根据的坡度即为，然后根据勾股定理列方程即可求出的长． 【详解】解：如图：由题意可知，      ∵坡度， ， 设，则， ， ∴，解得：． 米， 故选：A． 3．如图，在四边形中，，点是上一点，连接并延长交延长线于点，且，，连接，若，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】首先得出，然后得出，然后结合得到，推出，然后利用求出，然后证明出，设，根据勾股定理求出，过点A作交于点G然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴， 如图，过点A作交于点G    ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是推出． 4．如图，在中，，平分，，垂足为点D，，交边于E，，则 ．    【答案】 【分析】先证明，得，，再运用，得出，结合勾股定理列式计算，再证明，得出，则，所以，即可作答． 【详解】解：如图所示：延长交于点F，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．材料阅读： 光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q．测得，，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题： (1)求的正弦值； (2)求的长（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得：，从而根据对顶角相等可得； （2）然后在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． ∴， ； （2）解：， ， ∴在中，， 设，则， ， ， 解得：， ， ， 答：的长约为． 6．阅读下列材料： (1)如图1，在中，、、所对的边分别为a、b、c，求证：； (2)如图2，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求的长（结果保留根号．参考数据：，） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用 ，掌握直角三角形的边角关系 ，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提. （1）根据题目提供的方法进行证明即可； （2）根据（1）的结论，直接进行计算即可. 【详解】（1）证明：证明： 如图， 过点作于点， 在中， ， 在中， ， ∴， ； （2）解：∵， ∴， 在中， 又∵， 即， ∴． 7．如图，经过格点的圆与网格线交于点． (1)在图1中，先画弦，再画的角平分线交圆于点E； (2)在图2中，P是圆上的一点，先画的中点H，再在上画点Q，使 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）如图：取圆心O，连接并延长交圆于点D，连接，即可画出；取圆与网格线的交点K，连接交网格线于H，则；取格点F，连接交于G，则，，，可证明，即，即点G为中点，连接并延长交圆O于E；即；进而得到可得，又可得，为的角平分线； （2）如图，取格点C、D，连接格点相交于点E，即点E是垂直平分线上的点；连接，则，可得点是垂直平分线上的点，则垂直平分，即点H为的中点；如图，取格点M、N，连接格点，分别交网格线于L，K，则L，K为小正方形边长的中点，连接并延长交于Q即为所求． 【详解】（1）解：如图：线段、即为所求； 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即． ∴， ∴； 又∵ ∴，即为的角平分线； （2）解：如图：点H、Q即为所求； 证明：∵是等间距的平行线所夹的弧， ∴， ∴， ∴， ∴点E是垂直平分线上的点， 如图：连接，则， ∴点是垂直平分线上的点， ∴垂直平分，即点H为的中点； 如图，取格点M、N，连接格点，分别交网格线于L，K，则L，K为小正方形边长的中点，连接并延长交于Q即为所求． 设与网格线交于点T，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由网格可得：， ∴，即（负值舍去）， ∴，即， 如图：连接， ，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查无刻度直尺作图、圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识点，熟练掌握网格特征、圆的性质是解题关键． 8．在平面直角坐标系中，点A、B分别在轴、轴上，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段． (1)如图1，求点C的坐标； (2)如图2，D是轴上一个动点，设的横坐标为的面积为，求与的函数关系式； (3)如图（3），在（2）的条件下，点D在x轴正半轴上，点E在线段上，点F在线段上，是上一点，连接，求点M的坐标． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）由勾股定理得，，则，由旋转的性质可知，，，如图1，作轴于，证明，则，，进而可得； （2）由题意知，，，当时，，；当时，，；整理作答即可； （3）待定系数法求直线的解析式为；如图2，连接，作于，由，可得，，，则，由，可得，则，即平分，由，，可得，设，则，，即，可求满足要求的解为，即，，，设，则，，即，可求，，如图2，作，交于，作于，则四边形是矩形，则，由，可得，即，设，则，由，可得，即，可求，则，由，，可得，则，可求满足要求的解为，如图2，作交的延长线于，由，可得，即，待定系数法求直线的解析式为；直线的解析式为；联立，计算求解即可． 【详解】（1）解：由勾股定理得，，则， 由旋转的性质可知，，， 如图1，作轴于， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意知，，， 当时，，； 当时，，； ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 如图2，连接，作于， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， 设，则，， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴，， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 如图2，作，交于，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， 如图2，作交的延长线于， ∴，即， ∴， 同理，直线的解析式为；直线的解析式为； 联立， 解得，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质，等角对等边，一次函数解析式，解一元二次方程，矩形的判定与性质，正切，正弦等知识．熟练掌握勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的判定与性质，等角对等边，一次函数解析式，解一元二次方程，矩形的判定与性质，正切，正弦是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$