第2章 直线与圆的位置关系 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第2章 直线与圆的位置关系 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章（直线与圆的位置关系）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的 度 数 为（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中真命题的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．等边三角形的外心和内心互相重合 4．如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 6．如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（　　）   A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 9．如图，，点是的角平分线上的一点，半径为的经过点，将向左平移，当与射线相切时，平移的距离是（　　） A． B． C． D． 10．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 12．如图，是的直径，弦平分，过点D作的切线交于点E，若，则 ． 13．两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径 ． 14．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 15．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ． 16．如图，分别切圆于点A、点B，若，则称点P为的等切点，已知的内切圆半径为，点P在的边上，若点P是的等切点，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，17-21 每题 8 分，22、23 每题 10 分，24 题 12 分 共72分． 17．如图，点D在⊙O的直径的延长线上，与相切于点C．若的半径为1，求阴影部分的面积． 18．如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 19．已知：如图，点A、B在上，直线是的切线，连接交于点D，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 20．如图，是的内接三角形，边上的中线经过点O，过点D作交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 21．已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1） 作法二（如图2） ①接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是⊙的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接， 为直径， ∴．（______） ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 证明：… 请仔细阅读，并完成相应的任务． (1)“作法一”中的“依据”是指 ； (2)请写出“作法二”的证明过程． 22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，与网格线交于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画圆心O，再画的中点E； (2)在图2中，先过点B画的切线PB，再画，交于点F． 23．如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆． (1)当时，的半径是________，与直线的位置关系是________； (2)在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形各边相切时，求t的值； (3)连接，交于点N，如图2，当时，t的值是________． 24．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)如图2，在四边形中，，，则 ； (2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； (3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ； ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 直线与圆的位置关系 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第2章（直线与圆的位置关系）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据点到直线的距离与半径之间的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为，点到直线的距离为， ∴的半径为， ∵， ∴与的位置关系是相离； 故选A． 2．如图，是的直径，切于点，连结，，若，则的 度 数 为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，连接，利用切线的定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：连接， 切于点， ， ， ， ， ， 故选：A． 3．下列命题中真命题的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．任意三点确定一个圆 D．等边三角形的外心和内心互相重合 【答案】D 【分析】本题考查了真命题以及圆心角，弧，弦等概念，根据圆的相关定义和性质进行判断即可． 【详解】．能够完全重合的弧是等弧，故本选项不符合题意； ．在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项不符合题意； ．不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项不符合题意； ．等边三角形的外心和内心互相重合，故本选项符合题意， 故选：． 4．如图，是的切线，点C是上的一点，连接，，交于点B，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；连接，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（    ） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解题的关键．根据题意得到圆形薄板的圆心应是三角形的内心，根据内心的性质解答即可． 【详解】解：要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆， 则作三角形的内切圆，即作三角形的三个内角角平分线的交点， 故选：B． 6．如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，则的长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理；由切线长定理得，，即可求解． 【详解】解：、、是的切线， 切点分别是、、， ，， ， ， 故选：B． 7．如图，，为的两条弦，过点的切线交延长线于点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线的性质和圆周角定理．连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质即可求得． 【详解】解：连接，   与相切于， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．如图，在矩形中，，以为直径作，将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点．若，则长为（    ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】连接，延长交于点M，由垂径定理得，证明四边形为矩形，得到，设，则，由勾股定理得，解出x的值，进而即可求出答案． 【详解】解：连接，延长交于点M， 与相切， ， 在矩形中，， ， ， 矩形绕点旋转所得矩形为， ，， 四边形为矩形， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识． 9．如图，，点是的角平分线上的一点，半径为的经过点，将向左平移，当与射线相切时，平移的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质、平移的性质、直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定与性质等知识，设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，则即为平移的距离，，，先由直角三角形的性质得，再由矩形的性质得，则，由平行线的性质得，求出，然后由直角三角形的性质即可得出答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设为向左平移后与相切的圆，切点为，连接交于，过作于，于，如图所示， 则即为平移的距离，，， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由平移的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 即平移的距离为， 故选：． 10．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋形”，如图，点A，B，C，D 分别是“蛋形”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4．如果一条直线与“蛋形”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋形”的切线，则经过点 D 的“蛋形”切线的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的综合等知识点，求得抛物线的 解析式成为解题的关键. 由为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4，可得点A坐标为，点B坐标为，再结合点的坐标为利用待定系数法确定抛物线解析式，过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为，因为相切，所以它们的交点只有一个，最后根据一元二次方程根的判别式列方程计算即可． 【详解】解：∵为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为，半圆半径为4， ∴点A坐标为，点B坐标为， ∵抛物线过点A、B、D， ∴设抛物线的解析式为， 又∵抛物线过点D ， ∴，即， ∴， ∵经过点D的“蛋圆”切线过D 点， ∴设它的解析式为， 又∵抛物线与直线相切， ∴，即只有一个解， ∴，解得：， 即经过点D的“蛋圆”切线的解析式为. 故选A. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】本题主要考查直线和圆的位置关系，若直线与圆有两个公共点，直线与圆相交，通过观察可直接选出答案． 【详解】由题可知，太阳与海天交接所看成的圆和直线有两个公共点，所以太阳和海天交界处所看出看成的直线位置关系是相交． 12．如图，是的直径，弦平分，过点D作的切线交于点E，若，则 ． 【答案】67 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】连接， ∵过点D作的切线交于点E， ∴， 又∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13．两条直角边是6和8的直角三角形的内切圆半径 ． 【答案】2 【分析】本题考查特殊三角形的内切圆的半径．勾股定理求出斜边长，利用直角三角形的内切圆的半径等于直角边的和减去斜边的长再除以2进行求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边为6和8， ∴斜边长为， ∴； 故答案为：2． 14．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查切线长定理，根据切线长定理可得，，结合的周长，即可求解． 【详解】解：∵分别切⊙于两点， ∴ 又∵过点作⊙的切线分别交于两点， ∴ ∵的周长为10， ∴ ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，的半径为2，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，连接，由为圆O的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用勾股定理列出关系式，由最小时最短，根据垂线段最短得到垂直于时最短，利用面积法求出此时的值，再利用勾股定理即可求出的最短值． 【详解】解：连接，如图所示， ∵是的切线， ∴， 根据勾股定理知：， ∴当时，线段最短， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 16．如图，分别切圆于点A、点B，若，则称点P为的等切点，已知的内切圆半径为，点P在的边上，若点P是的等切点，则的长为 ． 【答案】或4 【分析】本题考查了切线长定理，勾股定理，直角三角形的性质．本题分三种情况讨论：①点与点重合；②若的等切点在线段上；③若的等切点在线段上，由圆的有关知识可求解． 【详解】解：是的内切圆， 设、、分别与相切于点、、， ，，，，，， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， 设，．则，，， 在中，，， ∴，， ∴，， 解得， ∴，，， ，且、与分别相切于点、， 点是的等切点，即点与点重合， 此时； 如图，若的等切点在线段上，与相切于点． 由等切点的概念知． 连接、、，有． 、是的半径， ． ， ． ． ， ． ； 如图，若的等切点在线段上． 与上一种情况类似计算可得． 则． 综上，的长为或4． 故答案为：或4． 三、解答题：本题共8小题，17-21 每题 8 分，22、23 每题 10 分，24 题 12 分 共72分． 17．如图，点D在⊙O的直径的延长线上，与相切于点C．若的半径为1，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形面积，圆的切线性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 连接，求出和，求出边长，分别求出三角形的面积和扇形的面积，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点C， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是 18．如图，在中，． (1)作的平分线交边于点O，再以点O为圆心，的长为半径作；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)判断（1）中与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)与相切，理由见详解 【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出，进而以点O为圆心，为半径作即可； (2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可． 此题考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，正确利用角平分线的性质求出是解题关键. 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：相切；过O点作于D点； 平分， ，即， 与直线相切． 19．已知：如图，点A、B在上，直线是的切线，连接交于点D，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】对于（1），根据可知，再根据切线的性质可得，即，然后根据得，结合对顶角相等可得答案； 对于（2），先根据正切的定义设，则，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵是的切线， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即； （2）设，则， 根据勾股定理，得， 解得（舍）， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，对顶角相等，勾股定理，正切，勾股定理是求线段长的常用方法． 20．如图，是的内接三角形，边上的中线经过点O，过点D作交的延长线于点P． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线证明、相似三角形的判定于性质、勾股定理等知识点，掌握相关几何结论是解题关键． （1）连接，可得，结合即可求证； （2）由题意可证得，设，则．根据即可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接，   ∵，点C为的中点， ∴，即．     ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即．     设，则． 在中， ∵， ∴， 解得，（舍去）． 则． 即的半径为． 21．已知：如图，及外一点．求作：直线，使与相切于点． 李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）： 作法一（如图1） 作法二（如图2） ①接，作线段的垂直平分线，交于点；②以点为圆心，以的长为半径作，交于点；③作直线，则直线是⊙的切线． ①连接，交于点，过点作的垂线；②以点为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点；③连接，交于点；④作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接， 为直径， ∴．（______） ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 证明：… 请仔细阅读，并完成相应的任务． (1)“作法一”中的“依据”是指 ； (2)请写出“作法二”的证明过程． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角； (2)见解析． 【分析】（）根据圆周角定理可得答案； （）由作法可得，，，证明， 得，根据切线的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：由题意得：“作法一”中的“依据”是指直径所对的圆周角是直角， 故答案为：直径所对的圆周角是直角； （2）证明：由作法可得，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线． 【点睛】本题考查了作图一作垂线、作垂直平分线，圆周角定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点A，B，C，与网格线交于点D．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，先画圆心O，再画的中点E； (2)在图2中，先过点B画的切线PB，再画，交于点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）主要考查圆周角所对弦是直径，直接可以确定圆心O，要想作出的中点，直接找到所对的圆周角，再去作这个圆周角的角平分线，与的交点即为的中点． （2）本本题主要考查网格直尺作过圆上一点的切线，首先连接，由切线的判定可以知道即可，，只有利用一线三直角模型证全等，构造，连接交直线与点，直线即为所求，要想，只需找到所对的圆周角，取格点，连接交于点F，点F即为所求，连接即可． 【详解】（1）如图（1）所示： 连接， ∵； ∴为直径； 在找到的垂直平分线，可以确定圆心O； ∵相等的圆周角所对的弧相等，直接取的角平分线，即； 直接可以确定点E． （2）如图2示，连接，构造； ∴， 过点，画直线即为所求； 其次找到所对的圆周角，连接、、； 要想使，就要让和所对的圆周角相等； 取格点，连接交于点F，点F即为所求，连接即可； 即即为所求． 　 23．如图1，在矩形中，，，点P以的速度从点A向点B运动，点Q以的速度从点C向点B运动，点P、Q同时出发，运动时间为t秒，是的外接圆． (1)当时，的半径是________，与直线的位置关系是________； (2)在点P从点A向点B运动过程中，当与矩形各边相切时，求t的值； (3)连接，交于点N，如图2，当时，t的值是________． 【答案】(1)，相离 (2)或 (3) 【分析】（1）过M作于F，交于E，如图1，先根据圆周角定理得到求出为的直径，求解，，利用勾股定理求解即可得到的半径为；证明求得，进而求得，根据直线与圆的位置关系可得出结论； （2）分当与边相切时和当与边相切时两种情况，根据切线性质，作辅助线，利用相似三角形和勾股定理求解即可； （3）过D作交延长线于G，连接，利用圆周角定理和角平分线的性质证得，进而可证明得到，然后由列方程求解即可． 【详解】（1）解：过M作于F，交于E，如图1， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵是的外接圆， ∴为的直径， 当时，，， 则，， ∴， ∴的半径为； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与直线的位置关系是相离， 故答案为：，相离； （2）解：当与边相切时，如图，设切点为E，连接并延长交于F， 则，， ∴，， 由题意，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 当与边相切时，如图，设切点为E，连接并延长交于F，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 综上，当与矩形各边相切时，t的值为或； （3）解：过D作交延长线于G，连接，则 ∵，，， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形与圆的综合，涉及矩形的性质、圆周角定理、切线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识 的联系与运用，添加合适的辅助线和运用分类讨论思想求解是解答的关键． 24．【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)如图2，在四边形中，，，则 ； (2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； (3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ； ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】(1)25 (2)图见解析 (3)①② 【分析】（1）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （2）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （3）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （2）作图如下： 由图知，；同理． （3）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$