第1章 解直角三角形 单元测试-2024-2025学年九年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

第1章 解直角三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章（解直角三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 2．中，，则 的值是（     ） A． B． C． D． 3．某斜坡的坡度，则它的坡角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 5．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 7．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得．则竹竿与的长度之比为（　　） A． B． C． D． 8．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 9．如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 10．如图（1），在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设，其中当时，函数图象为线段，当，时，函数图象均为抛物线的一部分）．若的面积为2，则t的值为（　　） A． B．或6 C．或10 D．，6或10 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11． 12． （选填“”或“”或“”）． 13．如图，在△中，，，，则的长为 ． 14．如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则 ． 15．在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 16．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 三、解答题：本题共8小题，17-21 每题 8 分，22、23 每题 10 分，24 题 12 分 共72分． 17．计算： 18．长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为，由点A往前走至点B处，测得电视塔顶P处仰角为，请求出电视塔的高度．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：，，） 19．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 20．如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 21．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，A、B间的距离为5.2米，．             (1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 23．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 解直角三角形 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章（解直角三角形）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解是解决问题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 2．中，，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正切的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键．根据即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴， 故选：C ． 3．某斜坡的坡度，则它的坡角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坡度坡角问题，以及特殊角的三角函数值，是基础知识要熟练掌握．根据坡角和坡度的概念，得，再有特殊角的三角函数值求得即可． 【详解】解：设直角为， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．利用网格特点得到，然后利用正切的定义求解． 【详解】解：由图得：，， ∴， 故选：C． 5．在中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切定义，设，则，再根据勾股定理求得，然后利用余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：D． 6．在中，， 各边都扩大5倍， 则锐角A的三角函数值（     ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角的度数确定，锐角的三角函数值为定值，即可得出结果． 【详解】解：由题意，可知，各边都扩大5倍，锐角A的度数不变， ∴锐角A的三角函数值不变； 故选A． 7．如图，两根竹竿和斜靠在墙上，量得．则竹竿与的长度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是利用正弦的定义求解．根据题意可得，再根据锐角三角函数即可求出竹竿与的长度之比． 【详解】解：根据题意可知：， 在中，，即， 在中，，即， ∴， ∴． 故选D． 8．渔船在A处看到灯塔C在北偏东方向上，渔船由A处向正东方向航行了海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（    ） A． 海里 B． 海里 C．12海里 D． 海里 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意画出图形，易得，再解直角三角形，运用三角函数即可求得渔船与灯塔的距离. 【详解】如图，由题意得：， ∵在直角三角形中，， 海里， (海里). 故选：D. 9．如图，是的直径，为的弦， 与交于点E，且 且 则的长为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理、垂径定理、解直角三角形等知识． 连接，过点O作于点E，由垂径定理得到，同时，先求出， 在中得到，中，即可得到． 【详解】解：连接，过点O作于点E，则，， ∴ ∴， ∵是的直径，是的半径， ∴， 在中， ∴， 在中，， ∴ 故选：D 10．如图（1），在中，，动点P从点C出发，以的速度沿折线匀速运动，点P出发一段时间后，动点Q从点B出发，以相同的速度沿匀速运动．当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，此时点P，Q停止运动．设点P的运动时间为，的面积为，S关于t的函数图象如图（2）所示（当点P与点B，C重合时，不妨设，其中当时，函数图象为线段，当，时，函数图象均为抛物线的一部分）．若的面积为2，则t的值为（　　） A． B．或6 C．或10 D．，6或10 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． 当时，点还未出发，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动；当时，点在上运动，点在上运动，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，函数图象为线段， ∴当时点还未出发，当时, 点开始出发，此时， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动，当时，点P到达点A， ∴， 当点在上时，且时，， ∵当时，函数图象均为抛物线的一部分， ∴点在上运动，点在上运动， ∵当点P到达点B时，点Q恰好到达点C，又两点运动速度相同， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理，得， 即， 解得，（负值不合题意，舍去）， ，， ， ， 当时，， 令，得； 当时，， 此时随的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为； 当时，， 令，得，（不合题意，舍去）． 综上所述若的面积为2，则的值为或6． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11． 【答案】/ 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值，代入即可 【详解】解：， 故答案为： 12． （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小，互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 13．如图，在△中，，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，作于，设，根据题意可得，进而解得出，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 14．如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键． 设直角三角形中较短直角边为a，利用割补法分别求出，，进而可得答案． 【详解】解：设直角三角形中较短直角边为a，则较长的直角边为， ，， ， 故答案为：9． 15．在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 【答案】3或21 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 16．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点D在边上，，与交于点F，连接，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】如图，过点C作于点M，过点E作于点N，利用特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：如图，过点C作于点M，过点E作于点N， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，直角三角形的判定，熟练掌握特殊角的三角函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，17-21 每题 8 分，22、23 每题 10 分，24 题 12 分 共72分． 17．计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角三角比、二次根式的计算等，解题的关键在于熟记特殊角三角比的值，先算乘法后算加减法． 【详解】解： ＝ ＝ 18．长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为，由点A往前走至点B处，测得电视塔顶P处仰角为，请求出电视塔的高度．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：，，） 【答案】电视塔的高度为 【分析】在中，根据三角函数的定义得到，利用，求出的长度，根据等腰直角三角形的性质得到，于是利用得到结论． 【详解】 解：在中， ，，， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：电视塔的高度为． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键． 19．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从A测得船C在北偏东的方向，从B测得船C在北偏东的方向，求船C离海岸线l的距离（即的长）（结果不取近似值）． 【答案】船C离海岸线l的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，则为等腰直角三角形，则，解得，由线段和差得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 在中，∵， ， ∴， 在中，∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 答：船C离海岸线l的距离为 20．如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明即可； （2）连接，由垂径定理可得，由三角函数分别求出，，再由求解即可； 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ； （2）解：连接， ， ，， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， . 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，扇形面积，三角函数，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识求解． 21．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，A、B间的距离为5.2米，．             (1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由． (2)若采取中段平台设计（如图虚线所示），已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【答案】(1)会碰到头部，理由没见解析； (2)平台EF的长度为7米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． （1）先连接，过点B作，交于点G，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点F作，垂足为点M，过点E作，垂足为点N，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：会碰到头部 连接，过点B作，交于点G， ，， ， ， 会碰到头部； （2）解：， ， 过点F作，垂足为点M，过点E作，垂足为点N， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米）． 答：平台的长度为7米． 22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； (2)在图②中的边上找到点，连结，使； (3)在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取的中点，连接即为所求； （2）取格点D，F，连接交于点，连接，得到，可得，即可得； （3）取格点D，E，G，H，M，N，连接，交于点O，连接，交于点P，连接并延长交于点Q，连接，交于点F即为所求；首先根据题意得到点Q是的中点，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而得到． 【详解】（1）如图所示，取的中点即，连接即为所求； （2）如图所示，即为所求； ∵ ∴ ∴ 设点C到的距离为h ∴ ∴ ∴； （3）如图所示，点F即为所求； ∵四边形，是矩形 ∴点O和点P是矩形和的对称中心 ∴点Q是的中点 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，三角形中线的概念，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，如图．    (1)求直线与抛物线的函数表达式； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，过点作轴，与抛物线交于点，试求出线段的长度的最大值； (3)在第一象限内，抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)有最大值为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，利用二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）由可得，则，利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案； （3）过作轴交于点，交轴于点，作于，可得，则，设，则，则，由点在第一象限得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， 点坐标为， 又抛物线 与轴交于，两点， 设抛物线解析式为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线解析式为， 即， 点坐标为， 可设直线解析式为， 把点坐标代入可得，解得， 直线解析式为； （2）解：设，则， ， ，函数图像开口向下， 当时，有最大值为； （3）解：如图，过作轴交于点，交轴于点，作于，    设，则， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当中边上的高为时，即， ， 点在第一象限， ， 解得或， 或， 综上可知，存在满足条件的点，其坐标为或． 24．【阅读理解】如图，在四边形的边上任取一点点不与重合，分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”． 【解决问题】 （1）如图，，求证：点是四边形的边上的相似点； （2）如图，在矩形中，、、、四点均在正方形网格的格点即每个小正方形的顶点上，试在图中画出矩形的边上的强相似点E； （3）如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的强相似点，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质证明和，得到； （2）根据题意分两种情况：点E靠近点A时，点E靠近点B时，画图即可； （3）根据强相似点定义得出，得出，根据折叠得出，，得出，根据三角函数定义得出，得出，即可求出，最后得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ， ∽， 点是四边形的边上的相似点； （2）解：如图，点为靠近点A，边上的强相似点； ∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E为矩形的边上的强相似点； 同理点为靠近点B，边上的强相似点，如图所示： （3）解：∵点是四边形的边上的一个强相似点， ， ， 由折叠可知：， ，， ，， 在中，， ， ， ， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的综合应用，三角函数的定义，余角的性质，勾股定理，理解新定义、掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$