精品解析：北京市第八十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024北京八十中初三（上）期中数学 一、选择题（每题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，“如果一个图形绕某点旋转，和自身能够完全重合，那么这个图形叫中心对称图形”，据此即可求解． 【详解】解：各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，是中心对称图形的是 故选：C． 2. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是 故选：A． 3. 在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质等，连接，根据等腰三角形的性质可得，根据切线的判定定理即可确定，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： ，点为中点， ， 以点为圆心，长为半径作， 点到的距离等于的半径， 与的位置关系是相切， 故选：C． 4. 用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ） A. （x﹣1）2＝4 B. （x﹣1）2＝﹣4 C. （x+1）2＝4 D. （x+1）2＝﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】x2−2x=3， x2−2x+1=3+1,即(x−1)2=4. 故答案选：A. 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法，解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-配方法. 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（ ） A. 29° B. 31° C. 59° D. 62° 【答案】B 【解析】 【详解】∵AB是O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABD=59°， ∴∠A=90°−∠ABD=31°， ∴∠C=∠A=31° 故选B. 6. 已知二次函数（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. x1=1，x2=-1 B. x1=-1，x2=2 C. x1=-1，x2=0 D. x1=1，x2=3 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答． 【详解】解：∵二次函数y=x2-4x+c的图象与x轴的一个交点为(1，0)， ∴关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的一个根是x=1． ∴设关于x的一元二次方程x2-4x+c=0的另一根是t． ∴1+t=4， 解得 t=3． 即方程的另一根为3． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关系． 7. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征，点与圆的位置关系，根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题；掌握勾股定理，点与圆的位置关系的判断方法，求出三角形三个顶点到点的距离是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， 点是斜边的中点， ，， 如图，以为圆心，为半径画圆，    ， 点A，B，C都不在覆盖范围内， 故选：A． 8. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　） A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理． 【详解】抛物线的对称轴为直线， 而抛物线在时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方， ， 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的上方； 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的下方； 当时，则， 令，则， 解得，， 则有当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方； 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如图，，分别与相切于点，，连接．，，则的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线长定理及等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理可得，由可得是等边三角形，从而得出答案． 【详解】解：，分别与相切于点，， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据根的判别式的意义得到，解关于k的一元一次方程即可得到k的值． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ ∴ 11. 已知点与关于原点对称，则______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称点坐标特点，代数式求值．熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键．根据关于原点对称点坐标互为相反数即可求出答案． 【详解】点与关于原点对称， ， 解得：，． 故答案为：3；． 12. 已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是___三角形．（填“锐角”或“直角”或“钝角”）． 【答案】钝角 【解析】 【分析】根据锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部，判断即可； 【详解】∵锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部， 又∵O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外， ∴△ABC是钝角三角形； 故答案是钝角三角形． 【点睛】本题主要考查了外接圆与外心，准确分析判断是解题的关键． 13. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理求出答案． 【详解】解：连接，，， 可得：，， ∵，拱高米， ∴， 设，则， 根据题意可得：， 即， 解得：， 即圆弧形桥拱所在圆的半径是米． 故答案为：10 【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键． 14. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式， 根据二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入解析式即可得出a的值，进而可得出函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 故答案为：． 15. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得A（0，3），B的坐标为（3，0），利用数形结合思想完成解答． 【详解】∵， ∴， 解得x=3或x=-1， ∴点B的坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， ∴不等式的解集为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像，交点问题，解析式构造的不等式解集问题，熟练掌握函数交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键． 16. 当时，均有，则实数的所有可能值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、解分式方程和不等式，分类讨论求解即可． 【详解】解：当时，不等式为， 当时，上式的值为， 故不满足题意； 当，构造函数：，， 很明显，两个函数都经过定点， 考虑函数： 令，得， ， 考虑函数： 时均有， 过点， 代入得：， 解得：或； ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； 故答案为：． 三、解答题（17—18题每题4分，19—26题每题5分，27—28题每题6分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 用求根公式法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．先利用完全平方公式配方，然后开平方求解即可． 【详解】解：去括号得， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，． 19. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 20. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合图象直接写出自变量时，函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3）函数最大值为0，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用配方法把一般式转化为顶点式，由此求得顶点坐标； （2）根据题意画出函数的图象即可； （3）观察图象写出函数y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵． ∴抛物线的顶点坐标是． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：观察图象得，当自变量时 当时，取最小值，此时， 当时，取最大值，此时， ∴当时，． 即：函数最大值为0，最小值为． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，画二次函数图像，解题的关键是正确的画出函数图像． 21. 用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． （1）与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； （2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 【答案】（1） （2）窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意，窗框的高为米，则宽为米，然后根据矩形面积公式列出函数关系式； （2）将函数解析式改为顶点式，然后求最大值. 本题主要考查了二次函数的应用，根据已知得出二次函数关系式并掌握将二次函数一般式转化为顶点式求最值是本题的解题关键． 【小问1详解】 解：根据题意，窗框的高为米，则宽为米， 根据题意，得， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意，得， ∵， ∴当时，y有最大值，且最大值为， 即窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米， 答：窗框的高为1米，宽为米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是平方米． 22. 如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 【答案】（1） 证明：设交于点，连接， 由题可知， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明： 连接， ， ， 同理可得：,， ∵点H是CD的中点，点F是AC的中点， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 直线为的切线． 【解析】 【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到； （2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆．如图①和图②所示，为水面截线，为台面截线，．计算在图①中，已知，作于点． （1）求的长． （2）操作将图①中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究在图②中．操作后水面高度下降了多少？ （3）连接并延长交于点，求线段的长度． 【答案】（1）的长为 （2）操作后水面高度下降了cm （3）线段E F的长度为cm 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理，圆的性质，勾股定理解答即可． （2）根据题意由平行线的公理可得出，由垂径定理得出，再由含30直角三角形的性质得出的长度，计算就是水位下降的高度． （3）由题意可知，，再由半径相等可知，由勾股定理即可得出答案． 【小问1详解】 解：连接，如图， 由题意得：， 故答案为：7； 【小问2详解】 解：由题意得：， 与半圆的切点为， ， 操作后水面高度下降了． 故答案为： 【小问3详解】 解：半圆的中点为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 25. 如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E． （1）求证：BO平分； （2）若，，求BO的长． 【答案】 （1）证明： 如图，连接OD， ∵与AB相切， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接OD，由与AB相切得，由HL定理证明由全等三角形的性质得，即可得证； （2）设的半径为，则，在中，得出关系式求出，可得出的长，在中，由正切值求出，在中，由勾股定理求出即可． 【详解】（1）略 （2）设的半径为，则， 在中，，， ∴， 解得：， ∴， 在中，，即， 在中，． 【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，，在抛物线上． （1）当时，直接写出m与n的大小关系； （2）若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，两种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当时，如图1， ∴在上，在上，在上， ∵对于，都有， ∴且，此时无解； 当时，如图2， ∴在上，在上， 当在上时， ∵对于，都有， ∴且， 解得，； 当在上时， ∵对于，都有， ∴且， 解得，； 综上所述，t的取值范围为或． 27. 如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）点H在边上，且，连接交于点N． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1） 证明：如图1中， ∵， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） ①，理由：如图2中，连接． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ② 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题． （1）根据等边对等角，结合旋转的性质得，证明即可得结论； （2）①首先证明四边形是正方形，再证明即可解决问题．②如图，取的中点O，连接．利用三角形的三边关系解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图3中，取的中点O，连接． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为． 28. 对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点．如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”． 如图，M（1，2），N（4，2）． （1） 在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有 ； （2） 如果点P在直线上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围； （3） 如果点P在以Q（1，）为圆心，r为半径的⊙Q上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出⊙Q半径r的取值范围． 【答案】（1）P1和P3；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出点P的横坐标的范围，再求出P点的纵坐标范围即可得出结果； （2）由直线y=x+1经过点M（1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P4N交于点A，过点A作AB⊥MN于B，延长AB交x轴于C，则在△AMN中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a，tan∠ANM=，即tan30°=，求出a即可得出结果； （3）圆心O到P4的距离为r的最大值，圆心O到MP5的距离为r的最小值，分别求出两个距离即可得出结果． 【详解】（1））如图1所示： ∵点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点，M（1，2），N（4，2）， ∴点P的横坐标1≤x≤4， ∵以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点， 当∠MPN=60°时，PM===， 同理P′N=， ∴点P的纵坐标为2-或2+， 即纵坐标2-≤y≤2+， ∴线段MN的“关联点”有P1和P3； 故答案为P1和P3； （2）线段MN的“关联点”P的位置如图所示， ∵ 直线经过点M（1，2）， ∴ x≥1. 设直线与P4N交于点A . 过点A作AB⊥MN于B，延长AB交x轴于C. 由题意易知，在△AMN中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°. 设AB = MB = a， ∴ ，即， 解得 ∴ 点A的横坐标为 ∴ 综上 （3）点P在以Q（1，-1）为圆心，r为半径的⊙Q上，且点P是线段MN的“关联点”，如图3所示： 连接P4Q交x轴于点D，P4、M、D、Q共线， 则圆心Q到P4的距离为r的最大值，由（1）知：MP4=NP5=， 即QD+DM+MP4=1+2+=3+， 圆心Q到MP5的距离为r的最小值，作QE⊥MP5于E，连接QP5， 则QE为r的最小值， MP5===2，QM=QD+DM=1+2=3， △QMP5的面积=QE•MP5=QM•MN，即×QE×2=×3×3， 解得：QE=， ∴≤r≤3+． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN的“关联点”图是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024北京八十中初三（上）期中数学 一、选择题（每题3分，共24分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移1个单位，那么所得抛物线对应的函数关系式是（） A. B. C. D. 3. 在中，，点为中点．以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不确定 4. 用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（ ） A. （x﹣1）2＝4 B. （x﹣1）2＝﹣4 C. （x+1）2＝4 D. （x+1）2＝﹣4 5. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝59°，则∠C等于（ ） A. 29° B. 31° C. 59° D. 62° 6. 已知二次函数（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程的两个实数根是（ ） A. x1=1，x2=-1 B. x1=-1，x2=2 C. x1=-1，x2=0 D. x1=1，x2=3 7. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（    ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 8. 二次函数y＝2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时，它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（　　） A. 8 B. ﹣10 C. ﹣42 D. ﹣24 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 如图，，分别与相切于点，，连接．，，则的长是_____． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 11. 已知点与关于原点对称，则______，______． 12. 已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是___三角形．（填“锐角”或“直角”或“钝角”）． 13. 石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米． 14. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为______． 15. 如图，直线与抛物线交于点，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为_____． 16. 当时，均有，则实数的所有可能值为______． 三、解答题（17—18题每题4分，19—26题每题5分，27—28题每题6分） 17. 解方程：． 18. 解方程：． 19. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合图象直接写出自变量时，函数的最大值和最小值． 21. 用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为米，窗户的透光面积为平方米（铝合金条的宽度不计）． （1）与之间的函数关系式为______（不要求写自变量的取值范围）； （2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积． 22. 如图，是的直径，是的一条弦，连接 （1）求证： （2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 24. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆．如图①和图②所示，为水面截线，为台面截线，．计算在图①中，已知，作于点． （1）求的长． （2）操作将图①中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图②．其中，半圆的中点为与半圆的切点为，连接交于点．探究在图②中．操作后水面高度下降了多少？ （3）连接并延长交于点，求线段的长度． 25. 如图，在中，，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为D，与AC的另一个交点为E． （1）求证：BO平分； （2）若，，求BO的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，，在抛物线上． （1）当时，直接写出m与n的大小关系； （2）若对于，都有，求t的取值范围． 27. 如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接． （1）求证：； （2）点H在边上，且，连接交于点N． ①判断与的位置关系，并证明你的结论； ②连接．若，请直接写出线段长度的最小值． 28. 对于平面直角坐标系xOy中的线段MN和点P，给出如下定义：点A是线段MN上一个动点，过点A作线段MN的垂线l，点P是垂线l上的另外一个动点．如果以点P为旋转中心，将垂线l沿逆时针方向旋转60°后与线段MN有公共点，我们就称点P是线段MN的“关联点”． 如图，M（1，2），N（4，2）． （1） 在点P1（1，3），P2（4，0），P3（3，2）中，线段MN的“关联点”有 ； （2） 如果点P在直线上，且点P是线段MN的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围； （3） 如果点P在以Q（1，）为圆心，r为半径的⊙Q上，且点P是线段MN的“关联点”，直接写出⊙Q半径r的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $