精品解析：黑龙江省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

黑龙江省实验中学2024—2025学年度高一学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在答题区域外无效，写在试卷和草稿纸上无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求全集，再结合交集和补集运算求解. 【详解】因为，，， 可得，所以. 故选：D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称命题的否定是存在命题，也就是量词变化，结论要否定，从而可以作出判断. 【详解】由命题， 则是， 故选：B. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质可判断B；取特值可判断A，C，D. 【详解】A选项，当，时，，但是，故A错误； B选项，当时，所以，故B正确； C选项，当，，，时，，故C错误； D选项，当，，，时，，则，故D错误. 故选：B. 4. 已知函数定义域为为常数，则“”是“为在上最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件及函数最值的定义，即可判断. 【详解】由函数的最值的定义知，由， 无法推出为在上最大值，而为在上最大值， 则必有. 故选：B. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据抽象函数定义域运算求解；对于D：根据偶函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：例如为奇函数，但无定义，故A错误； 对于选项B：因为，所以函数在定义域上不是减函数，故B错误； 对于选项C：因为函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为，故C错误； 对于选项D：因为函数为偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：D. 7. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 8. 若，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立可得，代换结合二次函数求最值即可. 【详解】令，解得或， 若，，则，即， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知下列集合，与对应关系，则：为从到N的函数的是（ ） A. ，，：2倍 B. ，，：2倍 C. ，，：开平方 D. ，，：平方 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于AB：因为，符合题意，故AB正确； 对于C：因为，不符合函数定义，故C错误； 对于D：因为，符合题意，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：直接代入即可；对于B：根据偶函数的定义分析判断；对于C：根据幂函数单调性以及偶函数性质分析判断；对于D：根据函数单调性分析判断. 【详解】因为得定义域为， 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以为偶函数，故B正确； 对于选项C：当，在内单调递增， 由偶函数性质可知：在内单调递减，即在区间上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为在内单调递增， 若，所以，结合偶函数定义可得，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断即可. 【详解】因为正数，满足， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 13. 已知函数，则该函数的单调递增区间为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由被开方数大于等于零再结合简单复合函数的单调性求解即可； 【详解】由题意可得，解得或， 又由复合函数的单调性可得函数的递增区间为， 故答案为：. 14. 如图，在中，，，直线与边，分别交于，两点，且的面积是面积的一半.设，，记，则的定义域为______，的最小值与最大值之和为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据面积可得，即可得，根据题意列式求得取值范围即可得定义域；换元令，结合对勾函数单调性求最值即可. 【详解】因为的面积是面积的一半， 即，即，可得， 又因为，即， 且，可得， 所以，且的定义域为的定义域为； 令，则在上单调递减，在上单调递增， 且， 可知在上的最小值为2，最大值为， 即在上的最小值为2，最大值为， 所以的最小值与最大值之和为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）若，求集合中所有整数的和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）21 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求集合，进而可得，即可得结果； （2）分析可知在内恒成立，结合一元二次不等式分析求解. 【小问1详解】 因为或， 若，则， 可得或， 所以集合中所有整数的和. 【小问2详解】 由（1）可得， 若，可知在内恒成立， 令，解得或， 可得，所以实数的取值范围. 16. 已知二次函数（） （1）若对于任意，恒成立，求的取值范围； （2）证明不等式. 【答案】（1） （2） 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以. 【解析】 【分析】（1）分析可知原题意等价于对于任意，恒成立，则运算求解即可； （2）根据题意利用作差法运算求解即可. 【小问1详解】 因为，即， 原题意等价于对于任意，恒成立， 则，解得， 所以的取值范围. 【小问2详解】 略 17. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产台的可变成本为万元.且，每台的销售价格为50万元，设总利润＝销售额－成本. （1）将总利润（单位；万元）表示为月产量的函数； （2）生产几台时，公司所获得的总利润最大？ （3）生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？ 【答案】（1） （2）当生产10台时，公司所获得的总利润最大 （3）生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，代入运算即可； （2）根据（1）中解析式，结合二次函数运算求解； （3）整理可得，结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：. 【小问2详解】 因为，当且仅当时，等号成立 所以当生产10台时，公司所获得的总利润最大. 【小问3详解】 因为每台的平均利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以生产6台时，公司所获得的平均每台的利润最大. 18. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若的定义域为，求的取值范围： （3）若的最小值为0，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，即可得结果； （2）换元令，可得对任意恒成立，结合二次函数运算求解； （3）等价转化为有解，同（2）换元转化为有解，进而求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 由题意可知：对任意恒成立， 令，则，可得， 整理可得对任意恒成立， 又因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为， 的最小值为0，等价于有解， 同（2）中转化为有解， 由（2）知的值域为， 所以的取值范围为. 19. 已知函数满足对于任意的、恒成立. （1）证明：函数为奇函数； （2）若当时，，判断在的单调性. （3）在（2）的条件下，对于任意的，存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） 因为， 令，可得，即， 令，可得，即， 因为的定义域为， 则， 即，所以为奇函数. （2）在上单调递减 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合奇函数的定义分析证明； （2）根据题意结合单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合单调性分析可得，结合恒、能成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 令，则， 可得，即， 令，则，可得， 则，即， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 因为， 令，则， 即，可得， 对于， 又因为在上单调递减，则， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在上的最大值为， 对于任意的，， 可得，即， 原题意等价于存在，成立， 则或，解得或， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省实验中学2024—2025学年度高一学年上学期期中考试 数学学科试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在答题区域外无效，写在试卷和草稿纸上无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数定义域为为常数，则“”是“为在上最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 若函数为奇函数，则 B. 函数在上是减函数 C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 若函数为偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减 7. 已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ） A. B. ，或 C. ，或 D. 8. 若，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知下列集合，与对应关系，则：为从到N的函数的是（ ） A. ，，：2倍 B. ，，：2倍 C. ，，：开平方 D. ，，：平方 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在区间上单调递增 D. 若，则 11. 已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为___________. 13. 已知函数，则该函数的单调递增区间为____________． 14. 如图，在中，，，直线与边，分别交于，两点，且的面积是面积的一半.设，，记，则的定义域为______，的最小值与最大值之和为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）若，求集合中所有整数的和； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知二次函数（） （1）若对于任意，恒成立，求的取值范围； （2）证明不等式. 17. 某公司生产某种电子仪器的固定成本为72万元，生产台的可变成本为万元.且，每台的销售价格为50万元，设总利润＝销售额－成本. （1）将总利润（单位；万元）表示为月产量的函数； （2）生产几台时，公司所获得的总利润最大？ （3）生产几台时，公司所获得的平均每台的利润最大？ 18. 已知函数 （1）若，求的值； （2）若的定义域为，求的取值范围： （3）若的最小值为0，求的取值范围. 19. 已知函数满足对于任意的、恒成立. （1）证明：函数为奇函数； （2）若当时，，判断在的单调性. （3）在（2）的条件下，对于任意的，存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $