专题04 相似三角形（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题04 相似三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、由平行截线求比值 【解惑】如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【融会贯通】 1．如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D． 2．如图，，若，则等于 ． 3．如图，，，若，则的长为 ． 类型二、相似三角形的性质 【解惑】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点N，则的长为（   ）    A． B．2 C． D．3 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与轴重合，，且点在第一象限内，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ．      3．如图，在矩形中，的平分线与边交于点，的平分线与边的延长线交于点，与边交于点．若，，则的长为 ． 类型三、相似多边形的性质 【解惑】如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图1是古希腊时期的巴合农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 3．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为 ． 类型四、求位似图形的位似比 【解惑】如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．2 B．6 C．9 D．18 【融会贯通】 1．如图，与位似，点O为位似中心，且点O在边上．若，，则的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比是 ． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 类型五、相似三角形的判定——两角相等 【解惑】如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，线段、是的两条高．求证：．    2．如图， ，是上一点，，求证：． 3．如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 类型六、相似三角形的判定———角相等夹边成比例 【解惑】如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 【融会贯通】 1．如图，已知，，，，，求证：． 2．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 3．如图，，且，求证：． 类型七、相似三角形的判定——三边成比例 【解惑】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    2．在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形与是否相似，并说明理由． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 类型八、相似三角形的实际应用 【解惑】某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【融会贯通】 1．如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 2．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 3．综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【一览众山小】 1．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．如图，在四边形中，，，，，E是上一点，，交于点F，则长为 ． 5．在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则 ． 6．如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，与反比例函数 的图象交于点D，且，过点D作x轴的垂线交x轴于点 C．若，则k的值为 ． 7．如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 8．如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、由平行截线求比值 【解惑】如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质等知识点，准确找出成比例的对应线段是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ， ， 又， ， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，直线，直线和被所截，，，，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入值求出即可． 【详解】解：∵直线， ， ， ， 又∵， ，即， 故选：D． 2．如图，，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先根据建立等式求出，再根据建立等式，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，即，解得，或（舍去）． ∵， ∴，即，解得， 故答案为：． 类型二、相似三角形的性质 【解惑】如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点N，则的长为（   ）    A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用；设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形对角线与轴重合，，且点在第一象限内，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，过作轴于点，由，且点在第一象限内，，得，，，，由矩形的性质可知，则，然后证明，根据性质得，再求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， ∴， ∵，且点在第一象限内，， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，整理得： ∴，（舍去）， 故选：． 2．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ．      【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由，是等腰直角三角形，则，，，证明，根据相似三角形的性质得出，然后把，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，的平分线与边交于点，的平分线与边的延长线交于点，与边交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】利用矩形的性质结合角平分线的定义先说明，再利用勾股定理求出，最后根据得出比例式，设，则，最后根据进行列方程并解方程即可． 【详解】解：∵的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，的角平分线与边交于点E， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 .∵ ∴ ， 解得. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定，勾股定理以及等腰三角形的性质，证明三角形形相似是解题的关键． 类型三、相似多边形的性质 【解惑】如图，四边形四边形，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质及多边形内角和，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等可求解． 【详解】解：∵四边形四边形，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图1是古希腊时期的巴合农神庙，把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据相似多边形对应边成比例得到，即，设，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， ∴， 设， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故选：B． 2．如图，五边形与五边形相似，且周长之比为．若．则的长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的边长比等于周长比是解题关键．根据相似多边形的性质得出，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且周长之比为， ∴，即， 解得：． 故答案为：16． 3．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，设，由折叠的性质可得到，利用矩形的性质得到，最后利用相似多边形的性质计算即可求解，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：． 类型四、求位似图形的位似比 【解惑】如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．2 B．6 C．9 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O，， ∴，， ，， ， ∵的面积为2， ． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，与位似，点O为位似中心，且点O在边上．若，，则的长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了位似的定义、相似三角形的判定和性质等知识． 根据位似图形的定义得到，得到，根据相似三角形的性质求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，根据位似变换的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∵ ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵四边形与四边形是位似图形， ∴， 故答案为：． 类型五、相似三角形的判定——两角相等 【解惑】如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定． （1）由等边三角形性质得，，从而有；由得，由相似三角形的判定得证； （2）根据，，求出，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵，即：， ∴，， ∴，, ∴； （2）结论：． 证明∵， ∴； ∵， ∴，， 又∵， ∴ 【融会贯通】 1．如图，线段、是的两条高．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形高的定义得到，进而根据两组角对应相等的两个三角形相似进行证明是解题的关键． 【详解】证明：∵线段、是的两条高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．如图， ，是上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】两直线平行内错角相等，，再加上已知条件即可证得两个三角形相似． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了两个三角形相似，解题的关键是熟记三角形相似的判定定理． 3．如图，在中，CD是斜边AB上的高． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可． 【详解】证明：如图， ∵在中，CD是斜边AB上的高 ∴ ∵是公共角 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明． 类型六、相似三角形的判定———角相等夹边成比例 【解惑】如图，已知AB∥DC，点E、F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF． （1）求证：△ABE∽△CDF． （2）若BD＝8，DF＝2，求EF的长． 【答案】（1）见解析；（2）EF＝2． 【分析】（1）根据AB∥DC，可得∠B＝∠D，再由AB＝2DC，BE＝2DF，可得AB：DC＝BE：DF＝2，即可证得； （2）根据BE＝2DF，可得 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠B＝∠D， ∵AB＝2DC，BE＝2DF， ∴AB：DC＝BE：DF＝2， ∴△ABE∽△CDF； （2）解：∵BE＝2DF，DF＝2， ∴ , ∵BD＝8， ∴EF＝BD﹣DF﹣BE＝2． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，已知，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明． 【详解】证明：，，，， ， ， ， ． 2．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 3．如图，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；先根据，得出，再根据对应边成比例，即可解答． 【详解】证明：， ， 即 ， ， ， ． 类型七、相似三角形的判定——三边成比例 【解惑】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】相似，理由如下： ∵在中，，，， 在中，，，， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟知其判定定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在4×4的正方形网格纸中，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握．根据已知条件，结合网格可以求出和的度数，利用勾股定理求出相关线段的长；根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明与相似． 【详解】证明：∵，， ，，，， ∴，， ∴， ∴． 2．在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，试判断格点图形与是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定方法，根据小正方形的边长求出两个三角形的三边长，然后根据来判定两个三角形是否相似． 【详解】解：与相似，理由如下： 由小方格是边长为1的正方形，根据勾股定理得： ； ∴； ∴． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 类型八、相似三角形的实际应用 【解惑】某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，，之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，，，点，，，在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计 【答案】36米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， ∴ ， ，，8， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ∴ ， 即， 解得：， 凌霄塔的高度为36米． 【融会贯通】 1．如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 【答案】(1)像的长为 (2)焦距的长约为 【分析】本题为相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质及判定，熟悉掌握相似三角形的比值关系是解题的关键． （1）利用平行判定出，再通过相似三角形比值关系求解即可； （2）证出，再通过相似三角形比值关系求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：的长为； （2）解；由（1）得， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 答：焦距的长约为． 2．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形，证明，得出，把相关条件代入即可求得，从而得出的长即可． 【详解】解：过点E作于点H，交于点G，则四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是上述分式方程的解， ∴， 答：旗杆的高为． 3．综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与应用． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得； （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【详解】（1）解：由反射特点可知，． ， ， ， ， ∴， ， 即大楼的高为； （2）解：由反射特点可知，． ， ∴， ． ， ， ， ， 解得， ， 解得． 答：大楼的高度为． 【一览众山小】 1．如图，在中，，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，因为，所以，得出，即，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴，故C符合题意，D不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故A不符合题意； ∵无法证明与相似， ∴无法得出，故B不符合题意； 故选：C． 2．如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意做出示意图，证明，由相似三角形的性质可得出，进而可求出答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：D． 3．如图，在中，，若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．先证明，利用相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 解得：， 故选：B． 4．如图，在四边形中，，，，，E是上一点，，交于点F，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，数量掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．延长，，交于点G，证明，得出，求出，证明，得出，根据相似三角形性质得出，代入数据求出结果即可． 【详解】解：延长，，交于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，将的每一个顶点的横纵坐标均乘以，得到新的，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质．根据题意可得与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且相似比是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，且相似比为， ∴的面积与的面积的比为， ∴． 故答案为：． 6．如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，与反比例函数 的图象交于点D，且，过点D作x轴的垂线交x轴于点 C．若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质和判定的应用．根据，可得，从而得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数位于第二象限内， ∴． 故答案为： 7．如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见继续 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 8．如图，小艺同学为了测量学校旗杆的高度，在离点10米的处水平放置一个平面镜，小艺沿射线方向后退到点时，正好从镜子中看到旗杆顶端点，若米，小艺的眼睛离地面的高度米，请你帮助小艺计算一下旗杆的高度． 【答案】8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，根据相似三角形的性质得到，把已知数据代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 米，米，米， （米） 答：旗杆的高度为8米． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$