专题04 相似三角形（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题04 相似三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似中的最值 【解惑】如图，是等腰直角三角形，，，点 D，E  分别在，边上运动，连结，交于点F， 连接， 且，则的最小值是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，证明点在弧上运动，得当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后求出线段的长即可 【详解】解：以为斜边在外侧构造等腰，作的外接圆，过点作于，的延长线交于，连接，，过点作交的延长线于，连接交于，如图所示： ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， 由勾股定理得：， ， ∵， ， ， 又， ， ， ， ， 点在上运动， ∵等腰，， ∴ 当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， ，，， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，点与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，构造辅助圆，证明点在上运动，利用点与圆的位置关系求出线段的最小值是解决问题的难点． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，． 沿边翻折到， ， 又， ，， ， 又， ， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 在中，， ，， ， 即的最小值为． 故选：D． 2．中，，是边上的高，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．过点A作于点A，过点C作于点C，两条垂线交于点，证明，作的中点N，连接，，得到当点B、C、N在同一条直线上时，最短，得到，即可得到答案． 【详解】解：过点A作于点A，过点C作于点C，两条垂线交于点， ， ，， ， 是的高， ， ， ， ， ， ， 作的中点N，连接，， ， ， 当点B、C、N在同一条直线上时，最短． ． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到G，使，连接，则可证明，从而得；则，当点E在线段上时，取得最小值，在中，由勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，； 如图，延长到G，使，连接， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； ∴， 当点E在线段上时，取得最小值，从而取得最小值； ∵，， ∴在中，由勾股定理得， ∴取得最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短，矩形的性质等知识，关键是通过相似，把转化为线段． 类型二、重心的性质 【解惑】如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的重心，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于，证明得，由点是的重心得，，代入比例式即可求解． 【详解】解∶连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于， 点是的重心，， ， ， ，，， ， ， 根据题意，在中，，， ， ， 点是的重心，， ， ， ， 所以点到边的距离是6． 故答案为∶B． 【融会贯通】 1．如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据重心的性质可得，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得，接着证明，，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，，从而求出，，进而可求解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，，，，，点E为的重心，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点D，先利用勾股定理求出，再根据三角形重心的性质得到，，即可求解． 【详解】解：延长交于点D， ∵，，， ∴， ∵点E为的重心， ∴是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 类型三、相似中的平行辅助线 【解惑】如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉的值，可以过点作的平行线，得到的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到，可以求出的值．过点作的平行线，得到的中点，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图：过点作交于， 是边上的中线， ， ， ． ． 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能够通过已知条件准确构造辅助线是解决本题的关键． 根据线段的比例关系及中点平分边的特点过点构造与平行的辅助线，进而构成两组成比例的线段、，再根据比例得到线段之间的倍数关系，求出的长度即可． 【详解】解：过点作交于点． 又． ． 设，． 是的中点． ． 又． ． ． ． ． 即． 解得：． ． 故选：D． 2．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，即可得出是的中位线，由中位线定理即可得出 ，由平行线分线段成比例即可得出，即可得出点F是的中点，进而可得出． 【详解】解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴． ∴点F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 类型四、相似与四边形 【解惑】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)观察发现：如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”（即，），，，则______，______； (2)实践探究：如图2，若四边形为“垂中平行四边形”（即，），且，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3所示，在中，，，交于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上．（温馨提示：不限作图工具） 合作探究：同学们通过合作探究，画出了两种情况的图形，如图，所示．但是，老师告诉同学们，还有一种情况，请同学们在图3的基础上画出第三种情况的图形． ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①作的平行线，使，连接，延长交于点； ②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得；第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵在中，为的中点，，，， ，， ， 即， 解得， ， ； 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①画出第三种情况的图形如图所示： ②第一种情况：如图所示： 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ,， ， ，即   ∴； 第二种情况：如图所示： 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ， 即，   ， 第三种情况：则没有交点，不存在PE（不符合题意） 综上分析可知：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 【答案】(1)的大小为定值，理由见解析 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，根据折叠得出，，根据等腰三角形的性质得出，求出，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）连接，，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）由可设，则，，证明，则，解得，则，，由，可得，则，可证明，则，则，故可得，则，则可求菱形边长为15． 【详解】（1）解：的大小为定值，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴，， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）证明：连接，，如图所示： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图： 由，可设， 则，， ∵为等边三角形， ∴， ∴ 由（2）， 得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即菱形边长为15． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 2．如图1，矩形中，，，点E为上一定点，点F为延长线上一点，且，点P从A点出发，沿边向点B以的速度运动，连结，设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图象如图2所示，连结，交于点H． (1)t的取值范围为________，________； (2)如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当a为何值时，四边形为菱形？并求出此时点P的运动时间t； (3)如图4，当点P出发后，边上另一动点Q从E点出发，沿边向点D以的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结，若，请问能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，1 (2) (3)或 【分析】（1）根据列出与时间的关系可以确定的范围，根据时，面积为1，即可求出． （2）只要证明即可解决问题． （3）①若为直角三角形，，得，求出，再由，得列出方程即可解决． ②若，如图4中，作于，类似①利用相似三角形性质列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：，， ， 由图象可知， 时，， ， ， 故答案为：，1； （2）解：如图3中，四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ．， ； （3）解：①若为直角， ，， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ； ②若，如图4中，作于，同理可证， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或舍弃）， 或时，能构成直角三角形． 【点睛】本题考查四边形综合题、函数图像、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质，列出方程解决问题，属于中考压轴题． 3．从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学的一个分支．折纸几何学应运而生，指的是将折纸艺术从数学的角度加以研究，其中探究折纸中的等分点问题尤为受欢迎． 如图1所示，在正方形中，，E是边上的中点，连接，将沿折叠至，延长交于G． 【初步探究】 （1）证明； （2）利用（1）中的结论，证明G是边上的三等分点； 【深入探索】 （3）如图2，延长至H，证明H是边上的四等分点； 【灵活变通】 （4）改变E的位置，如图3，若E为边上任意一点，连接，将沿折叠至，延长交于G．若G是边上的四等分点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）或或． 【分析】（1）连接，证明，即可得出结论； （2）设，则，则，由折叠知，  则∴， 再根据， 得，解得，即可得出结论； （3）根据，得，， 则，再证明 ，得，求得， 从而得到，即可得出结论． （4）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）如图，连接， ∵正方形， ∴，， 由折叠知，且， ∴， ∴， ∴． (2) 设，则， 由（1）知， ∴， 由折叠知，    ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴G是三等分点． （3）由（1）知道，， ∴，， ∴， 由， ∴，             ∴，即 ∴， ∴， ∴H是四等分点． （4）连接， ∵正方形， ∴，， 由折叠知，且， ∴， ∴， ∴． 设，则，， 在中，， ①当时，则， ∴， ∴ ∴； ②当时，则， ∴ ∴， ∴， ③当时，则， ∴ ∴， ∴， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 类型五、相似与二次函数 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 【融会贯通】 1．如图①，二次函数的图象交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，过点作交于点． (1)求点的坐标； (2)如图②，在直线上取一点（不与点重合），在直线的右上方是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标有，， 【分析】（1）根据二次函数图象的与坐标轴交点的计算方法，分别求出的坐标，根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，运用勾股定理求出的值，可得是等腰三角形，结合图形，分类讨论：①如图所示，，可证，即可求解；②如图所示，，根据平行线，等腰三角形的性质即可求解；③如图所示，，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴. 令，则， 解得，， ∴，， ∴，. ∵CD⊥AC， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：存在，理由如下， ∵，，， ∴，，则, ∴， ∴. ①如图所示，，交轴于， 则，，， ∴， ∴轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，， 则，， ∴， ∴； ③如图所示，， 则，，， ∴， 作轴于，则， ∴，， ∴， 作轴，于点，则，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴. 综上所述，满足要求的N点坐标有，，． 【点睛】本题主要考查了二函数图象的性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，图形结合分析，分类讨论思想是解题的关键． 2．如图（1）所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴分别交于点、，点的坐标为，二次函数的图像经过点、、． (1)求二次函数的解析式； (2)如图（1）所示，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（点 在轴左侧）， 若恰好平分， 求直线的解析式； (3)如图（2）所示，点在抛物线上（点在轴右侧），连接交于点，连接， ． ①当 时，求点的坐标； ②求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①或② 【分析】（1）首先确定点、的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）设与轴交于点，结合题意确定点，证明，由全等三角形的性质可得，进而确定点，然后利用待定系数法解得直线的解析式； （3）过点作于点，根据三角形面积公式可得，过点作轴，交于点，易得，进而可得，易得，设直线的解析式为，利用待定系数法解得直线的解析式为，再设，可得，解得的值，即可获得答案；②由①可得，，进而可得，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，可得，即， 令，可得，解得，即， 将点，代入二次函数， 可得，解得， ∴二次函数的解析式为； （2）如下图，设与轴交于点， ∵轴，， ∴，将其代入二次函数， 可得，解得（舍去），， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为； （3）①如下图， 过点作于点， 则，， 当时，即有， ∴， 如下图，过点作轴，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线上，点在直线上，轴， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴点的坐标为或； ②由①可得，， ∴， ∴有最大值，最大值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点． (1)求出二次函数和所在直线的表达式； (2)在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标； (3)连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为， (3)点的坐标为：， 【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为，则，由待定系数法求出所在直线的表达式即可 （2）证，只要，四边形即为平行四边形，由二次函数解析式求出点的坐标，由直线的解析式求出点的坐标，则，设点的横坐标为，则的坐标为：，的坐标为：，由得出方程，解方程进而得出答案； （3）由平行线的性质得出，当时，，则，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将、代入， 得：， 解得：， 所在直线的表达式为：； （2）轴，轴， ， 只要，四边形即为平行四边形， ， 点的坐标为：，， 将代入，即， 点的坐标为：，， ， 设点的横坐标为， 则的坐标为：，的坐标为：， ， 由得：， 解得：（不合题意舍去），， 当时，， 点的坐标为，； （3）存在，理由如下： 如图2所示： 由（2）得：， ， 又与有共同的顶点，且在的内部， ， 只有时，， ， 、，， ， 由（2）得：，，的坐标为：， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 点的坐标为：，． 【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握待定系数法求函数解析式，熟记二次函数的性质是解题的关键． 类型六、相似三角形动点求t 【解惑】 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ． (1)当点H落在边上时， 求t的值． (2)当平行四边形是菱形时，求t的值． (3)沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定： （1）根据勾股定理可得的长，根据题意得：，则，再由四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可求解； （2）过点P作于点D，根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理解答，即可； （3）过点Q作，交直线于点F交直线于点G，分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴， 根据题意得：，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； （2）解：如图，过点P作于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， ∴， 在中，， 在中， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，解得：或5（舍去）， （3）解： 如图，过点Q作，交直线于点F交直线于点G， 当点G在线段上时， ∵， ∴， 只有当时，可以拼成三角形， ∴， ∴，解得：； 当点G在线段的延长线上时， ∵， ∴， 只有当时，可以拼成三角形， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)时，与相似 (3) (4)或 【分析】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角函数等知识，熟练利用三角函数表示线段的长是解题的关键． （1）当时，得，则，代入计算即可； （2）考虑两种情况，当或时，根据相似三角形的性质代入计算即可； （3）过点作的垂线段，交于点，证明，求得，再表示出的面积，即可解答； （4）分点在上或点在上，由轴对称性知，是等腰三角形，从而点为直角顶点，利用相似三角形性质表示出和或的长，由建立方程，进而解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ， 当时， ， ， ， 解得， 时，； （2）解：如图，当时， ， ， 解得， 如图，当， ， ， 解得（舍去）， 综上，时，与相似； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点， ，， ， ， ， ， ， 当四边形的面积占面积的六分之五时，的面积占面积的六分之一， 可得， 解得（舍去）， ； （4）解：点是点关于直线的对称点， ，， 为等腰三角形， 当为直角三角形时，， ， ， 此时 为等腰直角三角形， 即， ①如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， ②如图，当在上运动时，此时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，符合题意， 综上所述，当或时，为直角三角形． 2．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)与之间的函数关系式为； (4)以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 【分析】（）根据菱形的性质得出即可求解； （）由（）得：四边形是平行四边形，，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （）设与交于点，由（）得：四边形是平行四边形，则，再由即可求解； （）根据相似三角形的性质和勾股定理得出，又，，然后分当时，当时，当时三种情况分析即可； 本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理，建立函数关系式，等腰三角形的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∴； （2）解：如图，由（）得：四边形是平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，设与交于点， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∴与之间的函数关系式为； （4）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 当时，， ∴； 当时，，整理得：， 解得：（舍去）或； 当时，，整理得： 解得：（舍去）或； 综上可知：以点、、为顶点的三角形是等腰三角形时的值为或或． 3．如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点B、C重合时，过点P作交折线于点Q，将分成两部分，将所得的三角形沿翻折，得到．点P的运动时间为t秒． (1)求的长． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)连结，当是等腰三角形时，求t的值． (4)在点P运动过程中，作于点F，当点F落在底角平分线上时，直接写出t的值． 【答案】(1)8 (2)t的值为2； (3)t的值为或； (4)t的值为或． 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质可知，，根据点E与点C重合，推出点与点重合，即可求解； （3）由题意可知，当是等腰三角形时，，分两种情况讨论：①当点在点左侧；②当点在点右侧，利用相似三角形对应边成比例，即可求解； （4）分两种情况讨论：①当点在点左侧；②当点在点右侧，证明四边形是矩形，再结合等角对等边的性质以及相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 在中，， ； （2）解：由折叠的性质可知，， 点E与点C重合， ， ， 点与点重合，此时， 秒， 即t的值为2； （3）解：， ， 当是等腰三角形时，， 由题意可知，， ①当点在点左侧，， ， ，， ， ， ， ， 解得：； ②当点在点右侧，，， ， 同理可证明， ， ， 解得： 综上可知，当是等腰三角形时，t的值为或； （4）解：①当点在点左侧，连接，此时平分， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； ②当点在点右侧，连接，此时平分， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当点F落在底角平分线上时，t的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 类型七、相似三角形的无刻度尺作图 【解惑】如图，四边形为菱形，，过点作交延长线于点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图； (1)如图，在边上找一点，使； (2)如图2，在边上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，菱形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）连接，与交于点，点即为所求． （2）连接，，交于点，连接，并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． 证明：连接，与交于点， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 即， ∵， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，点即为所求． 证明：连接，，交于点，连接，并延长交于点，如图： ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 即，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故． 【融会贯通】 1．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，已知格点（顶点均在格点上）． (1)在图中画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称． (2)在图中用无刻度的直尺在线段上找点，使点到点和点的距离相等，此时长为_____． (3)在图中画出一个格点，使是等腰三角形，且． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，； (3)见解析． 【分析】（1）找到点关于直线对称点，连接，即可； （2）作的垂直平分线交线段于点，即为所求． （3）取点，连接，证明， 即可（画出一个即可）． 【详解】（1）解：找到点关于直线对称点，连接，即可，如图所示： （2）解：作的垂直平分线交线段于点，交线段于点，如图所示： 由垂直平分线的性质可得点到点和点的距离相等， 结合图形，由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵点为线段中点， ∴， ∴ ∴点为线段中点， ∴， 故答案为：； （3）如图，取点，连接， 结合图形，由勾股定理可得，， ∴，即是等腰三角形， 结合图象可得，以为底时，点到的距离是点到的距离的一半， ∴， 即， ∴即为所求（画出一个即可） 【点睛】本题考查轴对称、垂直平分线，等腰三角形的作图，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握作图方法是解题的关键， 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段； (2)在图（2）中，连接，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出； (3)在图（3）中，在上画一点，在上画一点，使得最小． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）利用平移性质可画出，利用平行四边形的性质，连接和的中点并延长交于点，即可得到答案； （2）根据位似图形的性质得到，，取中点和上一点，连接并确定其中点，取上一点，连接并延长，根据“对角线相互平分的四边形为平行四边形”可作平行四边形，连接并延长交于点，根据平行线分线段成比例得到点为的中点，则即为所求作； （3）首先确定点关于的对称点：取格点，连接，，交于点，连接并延长交于点，根据全等三角形的性质以及垂直平分线的判定，可知点关于对称；过点作的垂线，确定点：取格点，使得为等腰三角形，连接确定点，连接并延长确定点，连接并延长，交于点，交于点，连接，即可获得答案． 【详解】（1）解：如图，线段、线段即为所求作； 理由：由平移性质得四边形是平行四边形， ∵平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O为对称中心， ∴连接并延长与的交点G即为点P的对应点，故线段即为绕的中点O顺时针旋转所得的对应线段； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，点M、N即为所求作． 【点睛】本题考查基本作图，涉及平移性质、位似图形性质、中心对称图形性质、轴对称图形性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、垂线段最短等知识，熟知网格特点，熟练掌握基本作图所涉及到的知识点的运用是解答的关键． 3．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰； (2)在图②中，以为边画一个成中心对称的四边形； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的定义、菱形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）取格点，由勾股定理得出，再根据等腰三角形的定义即可得解； （2）取格点，由勾股定理得出，则四边形为菱形，再由菱形的性质即可得解； （3）在取一点，使，连接即可． 【详解】（1）解：如图，等腰即为所作， 由勾股定理得：， 为等腰三角形； （2）解：如图，四边形即为所作， 由勾股定理可得：， 四边形为菱形， 由菱形的性质可得四边形为中心对称图形； （3）解：如图，即为所求， 由图可得， ， ， ． 类型八、相似三角形的新定义 【解惑】【定义】在内有一点，连接，，．在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． 【应用】 (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，点为内一点，请判断点是否为的相似心．若是，请直接写出相似的两个三角形；若不是，请说明理由． (2)如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点，延长，分别交轴于点，交轴于点，连接． ①的度数是_____ ②求证：点为的相似心． (3) 图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连接，直接写出线段的长． 【答案】(1)点是的相似心，相似三角形为． (2)①；②见解析 (3)或 【分析】（1）根据勾股定理可求出三个三角形的边长，再根据三边对应成比例的三角形相似解答即可； （2）①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得，从而得出答案；②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，证明即可求解； （3）由相似三角形的性质结合相似心的定义求出，再分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形，（Ⅱ）当与为相似三角形和（Ⅲ）当与为相似三角形，每一种情形再分对应角分别考虑，从而解决问题． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，， ∴，，；，； ，， ∴，，， ∴只能证明， 故点是的相似心，且相似三角形为； （2）解：①根据题意得：， ∴， ∵的外角平分线交于点M， ∴， ∴； ②作轴，轴，垂足分别为Q、P、N，如图， ∵的外角平分线交于点M， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 又∴， ∴． ∵， ∴所得的，，中，只有， ∴点O为的相似心； （3）解：如图，延长至点F， 由（2）得：， ， ∴， ∴． ∵点M在的图象上， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为直角三角形， ∴． 分类讨论：（Ⅰ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；与为对应角时， ，则，显然也不成立） ∴、，， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 在中，， ， ， 设，则， 过点G作，垂足为点D，如图， ∴， ∴， ∴，．　 ∵， ∴， 解得：（舍去负值）， ∴； （Ⅱ）当与为相似三角形时，（当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立；当与为对应角时， ，则，显然也不成立）， ∴，，． ∵， ∴． 在中，，，， 与（Ⅰ）同理可得． （Ⅲ）当与为相似三角形时， 当与为对应角时，与是全等三角形，显然不成立; 当与为对应角时， ，则，显然也不成立； 当与为对应角时， ，则，此时点E在斜边上，也不成立． 综上可知或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了相似心的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是对新定义概念的理解和运用，同时渗透了分类讨论的数学思想，难度大． 【融会贯通】 1．定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)②④ (2)①证明，② (3)或 【分析】（1）根据各四边形的特征即可求解； （2）①证得．根据四边形是“奋进四边形”得，即可求证； ②过点N作，可得四边形为矩形，推出，由①可得．根据题意可得、为等腰直角三角形，据此即可求解； （3）过点P作，垂足为D，分类讨论当时，当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：直角梯形的对角线不一定相等，矩形四个内角均为直角且对角线相等； 菱形的对角线不相等，正方形四个内角均为直角且对角线相等； 故答案为：②④； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是“奋进四边形”， ， ； ②如图1，过点N作，垂足为E， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知， ，即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）解：如图2，过点P作，垂足为D， 中，， 根据勾股定理得，， 四边形为“奋进四边形”， ． 第一种情况： 当时，如图2， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， ； 第二种情况： 当时， ， 设．则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得（舍去）， 故答案为：或 【点睛】本题考查了特殊四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，几何综合性较强． 2．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)20 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合定义解答即可． （2）根据新定义解答画图即可． （3）利用等腰三角形的性质，新定义，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了新定义四边形，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握新定义，三角形相似的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是邻余四边形． （2）解：根据新定义，画图如下： 则四边形即为所求． （3）解：∵ ，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，中点M， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，又， ∴， 解得， ∵ N为的中点， ∴． 3．【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【答案】(1)1， (2)，证明见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）根据题意可推出，得到，从而推出，再根据勾股定理可求得，再求得； （2）根据题意可推出，得到，设，则，，再利用勾股定理得到，从而推出、，即可求得答案； （3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线，使，连接，延长交于点；第二种情况，作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接；第三种情况，作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接； ②根据①中的三种情况讨论： 第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作，则，可推出，从而推出，计算可得，最后利用勾股定理即可求得； 第二种情况，延长、交于点，同理可得是等腰三角形，连接，可由，结合三线合一推出，从而推出，同第一种情况即可求得； 第三种情况无交点，不符合题意． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为的中点， ∴， 故答案为：1；； （2）解：，理由如下： 根据题意，在垂中四边形中，，且为的中点， ，； 又， ， ； 设，则， ， ， ，， ， ， ， ； （3）解：①第一种情况： 作的平行线，使，连接， 则四边形为平行四边形； 延长交于点， ， ， ， ，， ，即， 为的中点； 故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第二种情况： 作的平分线，取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接， 故为的中点； 同理可证明：， 则， 则四边形是平行四边形； 故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： 第三种情况： 作，交的延长线于点，连接，在延长线上取点F，使，连接， 则为的中点， 同理可证明，从而， 故四边形是平行四边形； 故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形： ②若按照图1作图， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形； 过P作于H，则， ，， ，， ， ； ，， ， ，即   ∴ 若按照图2作图， 延长、交于点， 同理可得：是等腰三角形， 连接， ， ， ， ， ； 同理，， ，，， ，即，   ， 若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意） 故答案为：或． 【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键． 先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解． 【详解】解：如图 ，，， ， ， 即， ． 斜边上的高分成5等份， ． ， ，， ， ， 即， ， 即从上往下数，第一个矩形的长为， 同理可得从上往下数，第二个矩形的长为， 从上往下数，第三个矩形的长为， 从上往下数，第四个矩形的长为， 而所有矩形的宽都为， 所以4张纸条的面积和为． 故选：B． 2．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 3．如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N． ①的度数是 ； ②线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，灵活根据不同的平行线表示线段之间的关系是解题的关键． ①证明是等腰直角三角形即可； ②和的延长线交于H，如图，先利用勾股定理得到，利用得到，则可计算出，接着利用得到，则可计算出，然后利用得到，可计算出，最后根据计算即可． 【详解】解：①∵矩形的边长，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； ②延长和的延长线交于，如图， ∵是的中点， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． 4．如图，点F为平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点E，交于点O，的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质可得，，，再根据中点定义可得，然后证明，可得，再说明，据此计算可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 5．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)如图①，在上找一点P，使． (2)如图②，在上找一点P，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图中，利用平行线分线段成比例求解即可； （2）如图中，取格点，连接交于点P，连接．点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图1所示， 取格点E、F，连接交于点P， ， ， ， ， 点P即为所要找的点； （2）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接， 点P即为所要找的点， ， ， ， ． 6．四边形中，两条对角线，相交于点，如图，且． (1)若，求证：； (2)若，，求的值； (3)在（）的条件下如图，若平分，，，求长． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（）由得，再证明即可； （）分别过点，作，，垂足分别为，，证明，由，，则，由即可求解； （）过作于，于，由，，得，，再通过所对直角边是斜边的一半得，，设，，，求出的值即可； 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，分母有理化，所对直角边是斜边的一半等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴； （2）解：分别过点，作，，垂足分别为，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过作于，于， ∵平分， ∴， 由（）可知，，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴，， 设，，， 解得， ∴，同理可得， ∴． 7．已知，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接； (1)如图1，求的长度； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于，延长交直线于点，设点横坐标为，的长度为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，取上一点，连接，当，时，求的值． 【答案】(1)17 (2) (3)1 【分析】（1）先求出抛物线与坐标轴的交点A、B、C的坐标，再根据B、C的坐标，利用勾股定理求解即可； （2）先用待定系数法求出直线解析式为，然后设 ， ，由根据求解即可； （3）连接，先证明，得到，即，再证明，得到，求出直线解析式为，设 ，则，，得到，得到，从而证得，解得，求出，，代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∵点P在抛物线上，， ∴设 ， ， ∴ ， ∴． （3）解：连接，如图3， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∵点N在直线：上， ∴设 ，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，抛物线上点的坐标特征，勾股定理，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 8．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 【答案】(1) (2)的值为或1 (3)1或 【分析】（1）由题意可知，得，由此可知，代入相关数据即可求解； （2）由（1）可知，，，则，则，分两种情况：当时，；当时，，即：，分别求解即可； （3）由题意得，若将的面积分成两部分，可知或，分两种情况：当时，，当时，，结合面积列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题意可知，，则， ∴； （2）解：由（1）可知，，，则， 则， ∵， ∴当时，， 即：，解得：； 当时，， 即：，解得：； 综上，当与相似时，的值为或1； （3）解：由题意可得：， ∵，，，， ∴， ∵矩形， ∴， 若将的面积分成两部分， 则或， 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时，，，则， ∴点在线段上，则， 即：点到的距离为1； 当时，， ∴， 解得：或（不符合题意舍去） 此时，，，则， ∴点在射线上，则， 即点到的距离为； 综上，点到的距离为1或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相似三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、相似中的最值 【解惑】如图，是等腰直角三角形，，，点 D，E  分别在，边上运动，连结，交于点F， 连接， 且，则的最小值是（  ） A．2 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 2．中，，是边上的高，若，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，点F是射线上的动点，且，连接，则的最小值是 ． 类型二、重心的性质 【解惑】如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【融会贯通】 1．如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 2．如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    3．如图，，，，，点E为的重心，则的长是 ． 类型三、相似中的平行辅助线 【解惑】如图，中，是边上的中线，是上一点，有，连接，并延长交于，则等于　　 A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，9，则的长为（ ） A． B． C．4 D．5 2．如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 3．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 类型四、相似与四边形 【解惑】垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)观察发现：如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”（即，），，，则______，______； (2)实践探究：如图2，若四边形为“垂中平行四边形”（即，），且，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3所示，在中，，，交于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上．（温馨提示：不限作图工具） 合作探究：同学们通过合作探究，画出了两种情况的图形，如图，所示．但是，老师告诉同学们，还有一种情况，请同学们在图3的基础上画出第三种情况的图形． ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【融会贯通】 1．如图，在菱形中，，点E为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长交于点F，交于点G． (1)设，探究的大小是否为定值，请说明理由； (2)在上截取，连接，求证：； (3)若，，求菱形的边长． 2．如图1，矩形中，，，点E为上一定点，点F为延长线上一点，且，点P从A点出发，沿边向点B以的速度运动，连结，设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图象如图2所示，连结，交于点H． (1)t的取值范围为________，________； (2)如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当a为何值时，四边形为菱形？并求出此时点P的运动时间t； (3)如图4，当点P出发后，边上另一动点Q从E点出发，沿边向点D以的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结，若，请问能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由． 3．从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学的一个分支．折纸几何学应运而生，指的是将折纸艺术从数学的角度加以研究，其中探究折纸中的等分点问题尤为受欢迎． 如图1所示，在正方形中，，E是边上的中点，连接，将沿折叠至，延长交于G． 【初步探究】 （1）证明； （2）利用（1）中的结论，证明G是边上的三等分点； 【深入探索】 （3）如图2，延长至H，证明H是边上的四等分点； 【灵活变通】 （4）改变E的位置，如图3，若E为边上任意一点，连接，将沿折叠至，延长交于G．若G是边上的四等分点，直接写出的值． 类型五、相似与二次函数 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【融会贯通】 1．如图①，二次函数的图象交轴于两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，过点作交于点． (1)求点的坐标； (2)如图②，在直线上取一点（不与点重合），在直线的右上方是否存在这样的点，使得以为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图（1）所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴，轴分别交于点、，点的坐标为，二次函数的图像经过点、、． (1)求二次函数的解析式； (2)如图（1）所示，过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上（点 在轴左侧）， 若恰好平分， 求直线的解析式； (3)如图（2）所示，点在抛物线上（点在轴右侧），连接交于点，连接， ． ①当 时，求点的坐标； ②求的最大值． 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点． (1)求出二次函数和所在直线的表达式； (2)在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标； (3)连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型六、相似三角形动点求t 【解惑】 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ． (1)当点H落在边上时， 求t的值． (2)当平行四边形是菱形时，求t的值． (3)沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点M从点A出发，沿折线以速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿方向以的速度向点A运动，点M到达点C时，点M，D同时停止运动，当点M不与A，C重合时，作点M关于直线的对称点N，连接交于点E，连接．设运动时间为，请解答下列问题． (1)当t为何值时，？ (2)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得与相似？若存在，请求出此刻的t值：若不存在，请说明理由； (3)点M在线段上运动时，是否存在某一时刻t使得四边形的面积占面积的六分之五？ (4)当t为何值时，为直角三角形？ 2．已知：如图，在△中，，，，，点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位；点是线段上一动点，从点沿方向匀速运动，速度为单位，作， ，当一点到达终点时另一点也停止运动，设运动时间为． 解答下列问题： (1)四边形是菱形时，求的值； (2)为何值时，点在边上； (3)连接、设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点B、C重合时，过点P作交折线于点Q，将分成两部分，将所得的三角形沿翻折，得到．点P的运动时间为t秒． (1)求的长． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)连结，当是等腰三角形时，求t的值． (4)在点P运动过程中，作于点F，当点F落在底角平分线上时，直接写出t的值． 类型七、相似三角形的无刻度尺作图 【解惑】如图，四边形为菱形，，过点作交延长线于点，请仅用无刻度直尺，按下列要求作图； (1)如图，在边上找一点，使； (2)如图2，在边上找一点，使． 【融会贯通】 1．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，已知格点（顶点均在格点上）． (1)在图中画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称． (2)在图中用无刻度的直尺在线段上找点，使点到点和点的距离相等，此时长为_____． (3)在图中画出一个格点，使是等腰三角形，且． 2．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点与点重合，画出平移后的线段，再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段； (2)在图（2）中，连接，将以点为位似中心缩小为原来的得到，画出； (3)在图（3）中，在上画一点，在上画一点，使得最小． 3．如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个等腰； (2)在图②中，以为边画一个成中心对称的四边形； (3)在图③中的边上确定一点，连接，使． 类型八、相似三角形的新定义 【解惑】【定义】在内有一点，连接，，．在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的相似心． 【应用】 (1)如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，点为内一点，请判断点是否为的相似心．若是，请直接写出相似的两个三角形；若不是，请说明理由． (2)如图2，在平面直角坐标系中，点与点分别为轴负半轴，轴正半轴上的两个动点，连接，设的外角平分线，交于点，延长，分别交轴于点，交轴于点，连接． ①的度数是_____ ②求证：点为的相似心． (3) 图3，在（2）的条件下，若点在反比例函数的图象上，，若点为的相似心，连接，直接写出线段的长． 【融会贯通】 1．定义：在凸四边形中，若对角线相等且至少有一个内角为直角的四边形叫作“奋进四边形”． (1)下列四边形中，是“奋进四边形”的是_______； ①直角梯形；②矩形；③菱形；④正方形； (2)正方形中，点分别为上一点，且，如图1，连接，过点M作于点M，连接，若四边形为“奋进四边形”． ①求证：； ②若，求的值； (3)如图2，中，，点P为右侧平面内一点，且四边形为“奋进四边形”，过点P作于点Q，交的延长线于点Q，若与是相似三角形，请直接写出的长． 2．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线． (1)如图1，在中，，是的角平分线，E，F分别是，上的点．求证：四边形是邻余四边形． (2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形，使是邻余线，E，F在格点上． (3)如图3，在（1）的条件下，取中点M，连接并延长交于点Q，延长交于点N．若N为的中点，，求邻余线的长． 3．【定义】 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的中点，那么这个平行四边形叫做“垂中平行四边形”，垂足叫做“垂中点” 如图1，在中，于点，交于点，若为的中点，则是垂中平行四边形，是垂中点． 【应用】 (1)如图1，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，则______；______； (2)如图2，在垂中平行四边形中，是垂中点．若，试猜想与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，于点． ①请画出以为边的垂中平行四边形，使得为垂中点，点在垂中平行四边形的边上；（不限定画图工具，不写画法及证明，在图上标明字母） ②将沿翻折得到，若射线与①中所画的垂中平行四边形的边交于另一点，连接，请直接写出的长． 【一览众山小】 1．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N． ①的度数是 ； ②线段的长为 ． 4．如图，点F为平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点E，交于点O，的值为 ． 5．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)如图①，在上找一点P，使． (2)如图②，在上找一点P，使． 6．四边形中，两条对角线，相交于点，如图，且． (1)若，求证：； (2)若，，求的值； (3)在（）的条件下如图，若平分，，，求长． 7．已知，平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，连接； (1)如图1，求的长度； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，过点作于，延长交直线于点，设点横坐标为，的长度为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，连接，取上一点，连接，当，时，求的值． 8．如图，在中，，，，动点P从点B出发，以每秒5个单位长的速度沿向点A运动，过点P作于点Q，以为边向右作矩形，使，点F落在射线上．设点P的运动时间为t（）秒． (1)求的长；（用含t的代数式表示） (2)连接，当与相似时，求t的值； (3)当将的面积分成两部分时，直接写出点E到的距离． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$