第07章 平行线的证明 章节测试练习卷-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第07章 平行线的证明 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位后，王丽同学发现点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝115°，则∠DBC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．125° 2．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（    ） A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角 B．假设四边形中有一个角是钝角或直角 C．假设四边形中每一个角均为钝角 D．假设四边形中每一个角均为直角 3．用反证法证明“若，，则”时，应假设（    ） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C． D．a与b相交 4．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等． B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． D．互补的两个角是邻补角． 5．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①同一平面内，两条直线一定互相平行；②有一条公共边的角叫邻补角；③内错角相等；④对顶角相等；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，，则图中与互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 已知：如图，和是直线，被直线截出的内错角，且 求证：∥． 下列说法正确的是（    ） A．证法只要测量够组内错角进行验证，就能证明该定理 B．证法用特殊到一般的数学方法证明了该定理 C．证法用严谨的推理证明了该定理 D．和说法都正确 8．下列说法正确的是（ ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．负数没有方根 C．近似数52.0有两个有效数字 D．两直线平行，一对同旁内角平分线互相垂直 9．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（  ） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①② D．③④ 10．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四种条件：①∠2＝∠6②∠2＝∠8③∠1＋∠4＝180°④∠3＝∠8，其中能判断是a∥b的条件的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE是BAC的平分线，且B=40º，C=60º，则EAD的度数是 ． 12．如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是 三角形． 13．一副具有30°和45°角的直角三角板，如图叠放在一起，则图中∠α的度数是 ． 14．完成下面的推理填空： 如图，已知，，求的度数． 解：______ ， ______ ， __________ ______ ， ______ ______ ， 又（已知）， ______ ． 15．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 16．将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，下列三个条件：①；②，；③．其中能判断直线的有 ．（填序号） 17．如图①，②，，，，则的度数为 ． 18．如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则 ． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．若的三个内角度数之比为∶∶，则相应的外角度数之比为多少？ 20．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，．当的度数为多少时，能够使得与平行？ 21．如图，点是射线上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是：______．（保留作图痕迹，不写作法） 22．已知中，，于，过点作交于点，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，请直接写出图中度数等于的2倍的所有角． 23．如图1，已知，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若平分，，求的度数．（注：此题不能用三角形内角和定理做） 24．如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 25．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，． (1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 26．综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线． 知识初探 (1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝　 　； 类比再探 (2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由； (3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07章 平行线的证明 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题：（本大题共10题，每题3分，满分30分） 1．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位后，王丽同学发现点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADE＝115°，则∠DBC的度数为（　　） A．55° B．65° C．75° D．125° 【答案】B 【分析】先根据补角的定义求出∠ADB的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠ADE=115°， ∴∠ADB=180°-115°=65°． ∵AD∥BC（直尺的两边互相平行）， ∴∠DBC=∠ADB=65°． 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质、补角的定义；熟记：两直线平行，内错角相等，求出∠ADB的度数是解题的关键． 2．用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，第一步应先假设命题不成立，则下列各备选项中，第一步假设正确的是（    ） A．假设四边形中没有一个角是钝角或直角 B．假设四边形中有一个角是钝角或直角 C．假设四边形中每一个角均为钝角 D．假设四边形中每一个角均为直角 【答案】A 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】根据反证法的定义，写出已知命题的反面即可得出结论． 【详解】解：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的反面为“四边形中没有一个角是钝角或直角” 故假设四边形中没有一个角是钝角或直角 故选A． 【点睛】此题考查的是反证法，解题关键是假设命题不成立，找出结论的反面． 3．用反证法证明“若，，则”时，应假设（    ） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C． D．a与b相交 【答案】D 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可解答． 【详解】解：用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”， 应假设：a不平行b或a与b相交． 故选D． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等． B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行． D．互补的两个角是邻补角． 【答案】B 【知识点】判断命题真假、两直线平行同位角相等 【分析】利用平行线的性质、垂直与平行线的判定方法，邻补角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，是真命题，符合题意； C、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、互补的两个角不一定是邻补角，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂直与平行线的判定方法，邻补角的定义等知识，难度不大． 5．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①同一平面内，两条直线一定互相平行；②有一条公共边的角叫邻补角；③内错角相等；④对顶角相等；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、判断命题真假、点到直线的距离、对顶角相等 【分析】本题考查了本题命题与定理的知识，直线的位置关系，邻补角，对顶角，点到直线的距离，平行线公理等知识，根据直线的位置关系，邻补角，对顶角，点到直线的距离，平行线公理等知识逐项进行判断即可． 【详解】解：①同一平面内两直线的位置关系有相交、平行、重合、故错误、不是真命题； ②两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为领补角，所以有一条公共边的角叫邻补角错误，不是真命题； ③只有两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题； ④对顶角相等是真命题； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原命题是假命题； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题， 所以④为真命题，只有1个， 故选：B． 6．如图，，则图中与互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】先根据平行线的性质和对顶角相等得到，再根据垂直的定义和三角形内角和定理得到，进而推出都与互余，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴都与互余， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，等角的余角相等等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 7．定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 已知：如图，和是直线，被直线截出的内错角，且 求证：∥． 下列说法正确的是（    ） A．证法只要测量够组内错角进行验证，就能证明该定理 B．证法用特殊到一般的数学方法证明了该定理 C．证法用严谨的推理证明了该定理 D．和说法都正确 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】对比两种证明方法是否具有严谨性即可求解． 【详解】解：证法1利用测量的方法总是有误差的，不严谨且说法不正确；而证法2推理证明的过程严谨，所以说法A、B、D都不正确， 故选：C 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握内错角相等，两直线平行，此题基础题． 8．下列说法正确的是（ ） A．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应 B．负数没有方根 C．近似数52.0有两个有效数字 D．两直线平行，一对同旁内角平分线互相垂直 【答案】D 【分析】根据数轴上每个点都有一个实数与它对应，负数有立方根，有效数字的定义，平行线性质判断即可． 【详解】A.数轴上每个点都有一个实数与它对应，故本选项错误； B.负数有立方根，故本选项错误； C.52.0有三个有效数字，故本选项错误； D. ∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE=180°， ∵EO平分∠BEF，FO平分∠DFE， ∴∠1=∠DFE，∠2=∠BEF， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠O=180°-90°=90°，故本选项正确； 故选:D． 【点睛】本题考查了数轴和实数，平方根和立方根，平行线性质，有效数字的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力． 9．如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（  ） ①的面积的面积；②；③；④． A．①②③④ B．①②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【知识点】根据三角形中线求面积、与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断；根据三角形的面积公式即可得到判断． 【详解】解：是中线， ， 的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，故正确； 是角平分线， ， 为高， ， ， ，， ， ，， ，故正确； 为高， ， ， ，， ， 是的平分线， ， ， 即，故正确； ，是高， ， ，，， ，故错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，直角三角形的面积等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于基础题型． 10．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四种条件：①∠2＝∠6②∠2＝∠8③∠1＋∠4＝180°④∠3＝∠8，其中能判断是a∥b的条件的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 【详解】①∵∠2=∠6， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； ②∵∠2=∠8，∠6=∠8， ∴∠2=∠6， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； ③∠1与∠4是邻补角不能判定两直线平行， ④∠3+∠8=180°，∠6=∠8， ∴∠3+∠6=180°， ∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行），故∠3=∠8不能判定两直线平行． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，难度适中，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 第Ⅱ卷 二．填空题：（本大题共8题，每题2分，满分16分） 11．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，AE是BAC的平分线，且B=40º，C=60º，则EAD的度数是 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】由三角形的内角和定理、角平分线的性质进行求解． 【详解】∵在△ABC中，AE是∠BAC的平分线，且∠B=40°，∠C=60°， ∴∠BAE=∠EAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-40°-60°）=40°． 在△ACD中，∠ADC=90°，∠C=60°， ∴∠DAC=180°-90°-60°=30°， ∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-30°=10°． 故答案为：． 【点睛】考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质，解题关键是熟记三角形的内角和定理、角平分线的性质，并灵活运用． 12．如果∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，那么△ABC是 三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，根据三角形的内角和定理得出x＋2x＋3x＝180，求出x即可． 【详解】解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x， ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180， x＝30， 即∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，关键是能根据题意得出方程，题目比较好，难度不大． 13．一副具有30°和45°角的直角三角板，如图叠放在一起，则图中∠α的度数是 ． 【答案】/75度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【详解】解：如图，∵∠1=60°，∠2=45°， ∴∠α=180°-45°-60°=75°， 故答案为： 14．完成下面的推理填空： 如图，已知，，求的度数． 解：______ ， ______ ， __________ ______ ， ______ ______ ， 又（已知）， ______ ． 【答案】已知；等式的性质；；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；120 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的判定和性质解答即可我． 本题主要考查了平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 【详解】解：（已知）， （等式的性质）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ． 故答案为：已知；等式的性质；；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；120． 15．如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为 ． 【答案】57° 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可． 【详解】解：设AE、CD交于点F， ∵∠E＝37°，∠C＝ 20°， ∴∠CFE=180°-37°-20°=123°， ∴∠AFD=123°， ∵AB∥CD， ∴∠AFD+∠EAB=180°， ∴∠EAB=180°-123°=57°， 故答案为：57°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键． 16．将一块三角板（，）按如图所示方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，下列三个条件：①；②，；③．其中能判断直线的有 ．（填序号） 【答案】②③ 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴不一定等于， ∴m和n不一定平行，故①不符合题意； ∵， ∴， ∴，故②符合题意； 过点C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故答案为：②③． 17．如图①，②，，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和，平角的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和．在图①中，用含有的式子表示出，进而求出，在图②中，先用含有的式子表示出，进而表示出，再表示出，然后表示出，即可求解． 【详解】解：，，， 图①中，， ， 图②中，， ，， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】延长AB交HP于点M；根据平分，得；根据，得，从而推导得；结合，得；再根据以及，结合三角形内角和性质，即可完成求解． 【详解】如图，延长AB交HP于点M ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解． 三．解答题：（本大题共8题，19-23题每题6分，24-26题每题8分，满分54分） 19．若的三个内角度数之比为∶∶，则相应的外角度数之比为多少？ 【答案】∶∶ 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】先根据三个内角的度数比为∶∶及三角形内角和定理求出三角形三个内角的度数，再由平角的性质求出与之对应的三个外角的度数即可． 【详解】解：设较小的一个内角为，则另外两个内角分别为，，依题意，得： ， 解得：， ∴，，， ∵，，， ∴与之对应的外角分别为，，， ∵∶∶＝∶∶． ∴相应的外角度数的比是∶∶． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及内角与外角的关系．解答此题的关键是根据三角形内角和定理列出方程求解． 20．图1是自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，．当的度数为多少时，能够使得与平行？ 【答案】当时， 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，． 21．如图，点是射线上一点，利用尺规作BE∥AD，依据是：______．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析，同位角相等，两直线平行 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行 【分析】在∠CAD的内部，利用尺规作∠CBE，使得∠CBE=∠A即可． 【详解】解：如图，AD∥BE的依据是：同位角相等，两直线平行． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与作图，关键是熟练掌把握作一个角等于已知角的作图方法． 22．已知中，，于，过点作交于点，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，请直接写出图中度数等于的2倍的所有角． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义： （1）先由平行线的性质得到，再证明得到，即可证明； （2）根据三角形内角和定理和（1）的结论即可得到． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可得， ∴ ∴． 23．如图1，已知，． (1)求证：； (2)如图2，连接，若平分，，求的度数．（注：此题不能用三角形内角和定理做） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质得，结合已知条件知，据此即可得出结论； （2），求出，根据，设，则， 根据平行线的性质和各个角的关系得出，再根据角平分线的性质即可得出的度数． 【详解】（1） ， ； （2）， ， ， ， 设，则， 由（1）得， ， ， ， ， 平分， ． 24．如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究： (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上 ①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数 ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数； (2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ． 【答案】(1)；的度数为或 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形、几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查直角三角形、平行线、一元一次方程的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，平行线的性质，一元一次方程的运用，即可． （1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可； （2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合则；点在直线和之间，即，即可． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点在直线上时，点，，重合，； 当点在直线上时，点，，重合则； ∵点在直线和之间（不含，上），即， ∴， ∴， ∴的取值范围为：． 25．如图，直线，直线与，分别交于点，，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线，上，，． (1)填空： （填“＞”“＜”或“＝”）； (2)若，射线在内交直线于点，如图②．当，分别在点，的右侧，且，时，求的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点，分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、平行公理的应用 【分析】本题考查平行线、角平分线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的性质，学会分类讨论的解题方法． （1）过点作直线，根据平行公理，则，再根据平行线的性质，即可； （2）延长交于点，根据，，则，再根据平行公理，得，根据平行线的性质，则，，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可； （3）根据平移三角形分类讨论：当，分别在点，的右侧；当点，分别在点，的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可． 【详解】（1）过点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）当，分别在点，的右侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； 当点，分别在点，的左侧， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 26．综合与实践：折纸中的数学 知识背景 我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学﹣﹣长方形纸条的折叠与平行线． 知识初探 (1)如图1，长方形纸条ABGH中，，∠A＝∠B＝∠G＝∠H＝，将长方形纸条沿直线CD折上，点A落在A'处，点B落在B'处，B'C交AH于点E，若∠ECG＝，则∠CDE＝　 　； 类比再探 (2)如图2，在图1的基础上将∠HEC对折，点H落在直线EC上的H'处，点G落在G'处得到折痕EF，则折痕EF与CD有怎样的位置关系？说明理由； (3)如图3，在图2的基础上，过点G'作BG的平行线MN，请你猜想∠ECF和∠H'G'M的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、折叠问题、平行公理推论的应用 【分析】（1）先根据折叠的性质可得，再根据平角的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （2）先根据折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得出结论； （3）过点作于，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据折叠的性质可得，从而可得，最后根据等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于， ， 又， ， ， 由折叠的性质得：， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平行公理推论等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$