湖北省武汉市武珞路一校四区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题0分，共30分） 1．下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 3．长为10、7、5、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法． A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要量出A'B'的长，就可以知道内槽宽AB是多少，那么△OAB≌△OA′B′理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 5．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．△ABC与△ABD不全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 6．已知等腰三角形的周长为26cm，其中一条边的长为6cm，那么它的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．6cm或13cm 7．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝100°，则∠EAF为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 9．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管CD，DE，EF……，添加的钢管长度都与OC相等，最多能添加这样的钢管（　　）根． A．7 B．8 C．9 D．无数 10．如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是（　　） A． B．a+b C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共18分） 11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？ 12．如图，五边形ABCDE的各内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠ADB＝　 　°． 13．如图三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　 　cm． 14．等腰三角形一个角为80°，它的另外两个角为 　 　． 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，过A作AD垂线交CB延长于点E，则下列结论：①AC＝AB+BD；②；③BE＝AB+AC；④AE＝2AC，其中正确的结论是 　 　（填写序号）． 16．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在△ABC的外部，且AB＝AD，BD＝5，则四边形ABCD的面积为 　 　． 三、解答题（本大题共8个题，共72分） 17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数． 18．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE＝DF． 19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE． 20．（1）如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC． （2）如图2，AD是△ABC的外角的平分线，求证：． 21．如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，画△ABC中线AE和高CF； （2）在图2中，在边AC上画一点G，使∠ABG＝45°； （3）在图3中，D是BC上一点，画BD中点P． 22．如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD是中线． （1）求证：； （2）如图2，若，CF⊥AD于点F，求证：AC＝2DF． 23．【定理】如图1，因为CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，CB＝CD，所以 　 　． 【运用】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，BC＝CD，求证：AC平分∠BAD． 【拓展】如图3，在等边△ABC中，∠ACD＝∠BAE，且DE＝2AD，求∠AEC的度数． 24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且点A、B坐标满足方程组． （1）求A、B的坐标； （2）如图1，以AB为边在第四象限作等腰Rt△ABP，直接写出P点坐标； （3）如图2，若C，D在y轴B，O上方，且OD＝BC＝1，过O作OH⊥AD于H，直线OH交AC于F，直线FB交AD于E，试探究线段AE、FO、EF三条线段有何数量关系？并证明你的结论． 2024-2025学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题0分，共30分） 1．下列图形不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此解答即可． 【解答】解：选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 【点评】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 2．下列图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性判断即可． 【解答】解：A、图形不具有稳定性，不符合题意； B、图形不具有稳定性，不符合题意； C、图形具有稳定性，符合题意； D、图形不具有稳定性，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的稳定性，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 3．长为10、7、5、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形． 【解答】解：选其中3根组成一个三角形，不同的选法有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、5、3； 能够组成三角形的只有：10、7、5；7、5、3；共2种． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 4．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要量出A'B'的长，就可以知道内槽宽AB是多少，那么△OAB≌△OA′B′理由是（　　） A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边 【分析】根据边角边证明△AOB≌△A′OB′（SAS）即可． 【解答】解：连接A′B′， ∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO＝A′O，BO＝B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB＝∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′＝AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是边角边． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 5．如图，把长短确定的两根木棍AB、AC的一端固定在A处，和第三根木棍BM摆出△ABC，木棍AB固定，木棍AC绕A转动，得到△ABD，这个实验说明（　　） A．△ABC与△ABD不全等 B．有两边分别相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断； 【解答】解：由题意可知：AB＝AB，AC＝AD，∠ABC＝∠ABD， 满足有两边和其中一边的对角分别相等，但是△ABC与△ABD不全等， 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，记住有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 6．已知等腰三角形的周长为26cm，其中一条边的长为6cm，那么它的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．6cm或13cm 【分析】分6cm是腰长与底边两种情况求出另外两边，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判定即可得解． 【解答】解：①6cm是腰长时，底边＝26﹣6×2＝14（cm）， ∵6+6＝12＜14， ∴6cm、6cm、10cm不能够组成三角形； ②6cm是底边时，腰长＝×（26﹣6）＝10（cm）， 6cm、10cm、10cm能够组成三角形， 此时腰长为10cm， 综上所述，腰长为10cm． 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判断． 7．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（　　） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断． 【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β， 故选：C． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝100°，则∠EAF为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B＝80°，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，FC＝FA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C计算即可． 【解答】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠C+∠B＝80°， ∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线， ∴EB＝EA，FC＝FA， ∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C， ∴∠EAB+∠FAC＝80°， ∴∠EAF＝20°， 故选：B． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管CD，DE，EF……，添加的钢管长度都与OC相等，最多能添加这样的钢管（　　）根． A．7 B．8 C．9 D．无数 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠AOB＝∠CDO＝10°，再利用三角形的外角性质可得∠ECD＝20°，然后利用等腰三角形的性质可得∠DCE＝∠DEC＝20°，从而找到规律即可解答． 【解答】解：∵CO＝CD， ∴∠AOB＝∠CDO＝10°， ∵∠ECD是△OCD的一个外角， ∴∠ECD＝∠AOB+∠CDO＝20°， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠DEC＝20°， … 从图中我们发现会有好几个等腰三角形， 即第一个等腰三角形的底角为10°； 第二个等腰三角形的底角为20°； 第三个等腰三角形的底角为30°； 第四个等腰三角形的底角为40°； 第五个等腰三角形的底角为50°； 第六个等腰三角形的底角为60°； 第七个等腰三角形的底角为70°； 第八个等腰三角形的底角为80°； 第九个等腰三角形的底角为90°是不存在， 所以，最多能添加这样的钢管8根， 故选：B． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质是解题的关键． 10．如图，已知等边△ABC的边长为a，中线BD＝b，点E在BD上，连接AE，在AE的右侧作等边△AEF，连接DF，则△ADF周长的最小值是（　　） A． B．a+b C． D． 【分析】因为C△AFD＝AD+AF+FD＝a+AF+FD，所以当AF+FD最小时，△ADF周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：连接CF并延长，作点A关于射线CF的对称点M，连接AM，CM，连接DM交CF延长线于点N，连接AN，如图： ∵△ABC和△AEF是等边三角形， ∴AB＝AC＝a，AE＝AF，∠BAC＝∠ABC＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF， 即∠BAE＝∠CAF， ∴△BAE≌△CAF（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACF， ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴BD⊥AC，且BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝∠ACF＝30°， ∴∠BCF＝90°， 即点F在射线CF上运动， ∵点A和点M关于射线CF对称， ∴∠MCF＝∠ACF＝30°，CF⊥AM， ∴∠ACM＝60°， 又∵CA＝CM， ∴△ACM是等边三角形， ∴AM＝AC， ∵BD⊥AC， ∴DM＝BD＝b， 又∵C△ADF＝AD+AF+FD＝a+AF+FD， ∴当AF+FD最小时，△AFD周长取得最小值， 即AF+FD＝MN+DN时，△AFD周长取得最小值， ∴C△ADF＝a+DM＝a+b， 故选：A． 【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，能够根据题意作出相关的图形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题0分，共18分） 11．一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是几边形？ 【分析】多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的一半，则多边形的内角和是720度，根据多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解． 【解答】解：设多边形边数为n． 则360°×2＝（n﹣2）•180°， 解得n＝6． 故是六边形． 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 12．如图，五边形ABCDE的各内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，则∠ADB＝　36　°． 【分析】由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，从而求出∠ADB＝108°﹣72°＝36度． 【解答】解：因为五边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°， 则每个内角为540°÷5＝108°， ∴∠E＝∠C＝108°， 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形内角和定理可知， ∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠ADB＝∠EDC﹣∠1﹣∠3＝108°﹣36°﹣36°＝36°． 故答案为：36． 【点评】本题主要考查了多边形内角与外角．解此题的关键是能够求出∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝36°，和正五边形的每个内角是108度． 13．如图三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　7　cm． 【分析】先根据折叠的性质可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长＝AC+AE，即可得出答案． 【解答】解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC， ∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm）， ∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）， 故答案为：7． 【点评】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键． 14．等腰三角形一个角为80°，它的另外两个角为 　80°，20°或50°，50°　． 【分析】没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析． 【解答】解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80°，20°； ②当这个角是顶角时，另外两个角是：50°，50°． 故答案为：80°，20°或50°，50°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意由等腰三角形的一个角是130°，得到此等腰三角形的顶角是130°是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC，过A作AD垂线交CB延长于点E，则下列结论：①AC＝AB+BD；②；③BE＝AB+AC；④AE＝2AC，其中正确的结论是 　①②③　（填写序号）． 【分析】①在AC上截取AF＝AB，连接DF，证明△ADF和△ADB全等得DF＝BD，∠3＝∠ABC，再证明DF＝CF，进而可对结论①进行判断； ②根据EA⊥AD得∠E＝90°﹣∠ADE，而∠ADE＝∠C+∠BAC，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C，由此可对结论②进行判断； ③取ED的中点H，连接AH，则AH＝EH＝HD，利用②的结论正确得∠C＝2∠E，进而可得出AH＝AC＝EH＝HD，再根据①的结论正确得出HB＝AB，继而可对结论③进行判断； ④根据在△AEH中，AH+EH＞AE，AH＝EH＝AC即可对结论④进行判断， 综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在AC上截取AF＝AB，连接DF，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠1＝∠2＝∠BAC， 在△ADF和△ADB中， ， ∴△ADF≌△ADB（SAS）， ∴DF＝BD，∠3＝∠ABC， ∴∠ABC＝2∠C，∠3＝∠C+∠4， ∴2∠C＝∠C+∠4， ∴∠C＝∠4， ∴DF＝CF， ∴CF＝BD， ∴AC＝AF+CF＝AB+BD， 故结论①正确； ②∵EA⊥AD， ∴∠E＝90°﹣∠ADE， ∵∠ADE＝∠C+∠2＝∠C+∠BAC， ∴∠E＝90°﹣∠C﹣∠BAC， ∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C， ∴∠E＝90°﹣∠C﹣（180°﹣∠ABC﹣∠C）＝（∠ABC﹣∠C）， 故结论②正确； ③取ED的中点H，连接AH，如图2所示： ∵EA⊥AD， ∴AH是Rt△AED斜边上的中线， ∴AH＝EH＝HD， ∴∠1＝∠E， ∴∠2＝∠1+∠E＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C，∠E＝（∠ABC﹣∠C）， ∴∠E＝（2∠C﹣∠C）＝∠C， ∴∠C＝2∠E， ∴∠2＝∠C， ∴AH＝AC＝EH＝HD， ∵AC＝AB+BD， ∴HD＝AB+BD， 即HB+BD＝AB+BD， ∴HB＝AB， ∴BE＝HB+EH＝AB+AC， 故结论③正确； ④在△AEH中，AH+EH＞AE， ∵AH＝EH＝AC， ∴2AC＞AE， 故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形和等腰三角形是解决问题的关键． 16．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在△ABC的外部，且AB＝AD，BD＝5，则四边形ABCD的面积为 　　． 【分析】作AE⊥AD，并截取AE＝AD，连接DE，CE，BE．，先证明△BAD≌△CAE（SAS），再由三角形内角和定理可得BD⊥CE，再证明△CDE≌△DCB（SAS），从而BK＝EK，∠EBK＝∠BEK＝45°，判定BE∥CD，从而可得四边形BCDE的面积为，过点A作直线AG⊥CD于点G，则GA必垂直于BF，得到S△ACD＝2S△ACG，再构造一线三垂直，证明△BFA≌△AGC（AAS），最后根据S四边形ABCD＝S△ABC+2S△ACG＝S四边形BCDF＝S四边形BCDE求出答案． 【解答】解：如图所示， 作AE⊥AD，并截取AE＝AD，连接DE，CE，BE． ∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 又因为AB＝AC＝AD， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE＝5． 又∵∠AHB＝∠DHC， 由三角形内角和定理可得BD⊥CE， 设BD⊥CE于点K， ∵AB＝AC＝AD＝AE，△BAD≌△CAE， ∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC， ∵∠ABC＝∠AED＝45°，∠ADB＝∠AEC， ∴∠DBC＝∠CED， 在△CDE和△DCB中， ， ∴△CDE≌△DCB（SAS）． ∴∠BDC＝∠ECD＝45°，KD＝KC， 从而BK＝EK， ∴∠EBK＝∠BEK＝45°， ∴BE∥CD， ∴S四边形BCDE＝＝＝＝， 过点A作直线AG⊥CD于点G，则GA必垂直于BF， ∴S△ACD＝2S△ACG， ∵∠BAF+∠GAC＝90°，∠BAF+∠FBA＝90°， ∴∠GAC＝∠FBA， 在△BFA和△AGC中， ， ∴△BFA≌△AGC（AAS）． ∴S△BFA＝S△AGC， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+2S△ACG＝S四边形BCDF＝S四边形BCDE＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质以及构造等腰直角三角形证明手拉手全等、一线三垂直全等，综合性强，难度大，作出正确的辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共8个题，共72分） 17．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数． 【分析】根据AB＝AD，∠BAD＝24°可得∠B＝∠ADB＝78°，进而得∠ADC＝102°，再根据AD＝DC可的∠C的度数． 【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝24°， ∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣∠BAD）＝×（180°﹣24°）＝78°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝180°﹣78°＝102°， ∴∠C+∠DAC＝180°﹣∠ADC＝78°， ∵AD＝DC， ∴∠C＝∠DAC＝39°． 故∠B＝78°；∠C＝39°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 18．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF．求证：AE＝DF． 【分析】由AE⊥BC，DF⊥BC，得∠DFC＝∠AEB＝90°，又由CE＝BF，可得CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE，AB＝CD，所以△DFC≌△AEB，即可得出AE＝DF 【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠DFC＝∠AEB＝90°， 又∵CE＝BF， ∴CE﹣EF＝BF﹣EF，即CF＝BE， ∵AB＝CD， ∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL）， ∴AE＝DF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在两直角三角形中，当斜边和一条直角边对应相等时，两直角三角形全等． 19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE． 【分析】由∠1＝∠2据可以得出∠ACB＝∠DCE．再证明△ABC≌△DEC就可以得出结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠ECA＝∠2+∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE＝AB． 【点评】本题考查了运用SAS的判定方法证明三角形全等的运用，全等三角形的性质的运用，解答时证明∠ACB＝∠DCE是关键． 20．（1）如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC． （2）如图2，AD是△ABC的外角的平分线，求证：． 【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）过点C作CF∥AD，交AB于点F，根据平行线的性质可得∠ACF＝∠CAD，∠EAD＝∠AFC，进而证得AF＝AC，根据平行线分线段成比例得，等量代换证得结论． 【解答】证明：（1）如图1，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD平分∠BAC， ∴DE＝DF， ∵S，S， ∴， 即S△ABD：S△ACD＝AB：AC； （2）过点C作CF∥AD，交AB于点F， ∴∠ACF＝∠CAD，∠EAD＝∠AFC，， ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAD＝∠EAD， ∴∠ACF＝∠AFC， ∴AF＝AC， ∴． 【点评】本题考查了角平分线的性质以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确添加辅助线． 21．如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，画△ABC中线AE和高CF； （2）在图2中，在边AC上画一点G，使∠ABG＝45°； （3）在图3中，D是BC上一点，画BD中点P． 【分析】（1）根据网格找到BC的中点E，连接AE，根据网格找到BC边上的高线AN，确定H点，根据等角的余角相等，进而作出高线CF，即可求解； （2）作等腰直角三角形ABM，BM，AC交点G即为所求； （3）根据三角形的三条中线交于一点，先作AB，AD边上的中线DM，BN，交于点O，连接AO并延长，交BD于点P，即可求解． 【解答】解：（1）如图1，AE，CF，即为所求； （2）如图2，点G即为所求； （3）如图3，点P即为所求． 【点评】本题考查了三角形的中线，高，等腰直角三角形的性质，掌握作图方法是解题的关键． 22．如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD是中线． （1）求证：； （2）如图2，若，CF⊥AD于点F，求证：AC＝2DF． 【分析】（1）作辅助线，由“SAS”可证△BED≌△CAD；由全等三角形的性质可得AC＝BE，由三角形的三边关系可求解； （2）如图2，过点B作BE⊥AD于E，延长BE至G，使EG＝BE，连接DG，AG，CG，过点D作DP⊥CG于P，先根据线段垂直平分线的性质可得：AB＝AG，BD＝DG，由（1）同理得：△CFD≌△BED，则DF＝DE，证明AE∥CG，根据AAS证明△DFC≌△CPD，从而可以解答此题． 【解答】证明：（1）如图1，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝CA， 在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC， ∴； （2）如图2，过点B作BE⊥AD于E，延长BE至G，使EG＝BE，连接DG，AG，CG，过点D作DP⊥CG于P， ∵AE⊥BG，BE＝EG， ∴AB＝AG，BD＝DG， ∴∠BAE＝∠EAG， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠DAG＝∠CAG， 由（1）同理得：△CFD≌△BED， ∴DF＝DE， ∵BD＝CD＝DG， ∴∠DBG＝∠DGB，∠DCG＝∠DGC， ∵∠DBG+∠BGC+∠DCG＝180°， ∴∠BGC＝90°， ∵∠DEG＝90°， ∴∠DEG+∠BGC＝180°， ∴AE∥CG， ∴∠EAG＝∠AGC， ∴∠CAG＝∠AGC， ∴AC＝CG， ∵DC＝DG，DP⊥CG， ∴CP＝PG， ∵AE∥CG，CF⊥AD，DP⊥CG， ∴CF＝DP，∠PCD＝∠CDF， ∵∠DFC＝∠CPD＝90°， ∴△DFC≌△CPD（AAS）， ∴DF＝PC＝CG＝AC， ∴AC＝2DF． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的距离，平行线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 23．【定理】如图1，因为CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，CB＝CD，所以 　AC平分∠DAB　． 【运用】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，BC＝CD，求证：AC平分∠BAD． 【拓展】如图3，在等边△ABC中，∠ACD＝∠BAE，且DE＝2AD，求∠AEC的度数． 【分析】【定理】由角平分线的性质可得出结论； 【运用】过点C作CM⊥AB于M，过点C作CN⊥AD交延长线于N，证明△CBM≌△CDN（AAS），得出CM＝CN，则可得出结论； 【拓展】过点E作EH⊥CD于H，连接AH，BH．证明△ABH≌△CBH（SAS），得出AH＝CH＝EH，证出∠CEH＝45°，则可得出结论． 【解答】【定理】解：∵CB＝CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD于D， ∴AC平分∠DAB， 故答案为：AC平分∠DAB； 【运用】证明：过点C作CM⊥AB于M，过点C作CN⊥AD交延长线于N， ∵CN⊥AD，CM⊥AB， ∴∠N＝∠BMC＝90°， 又∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠ADC+∠B＝180°， 又∠CDN+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDN， 在△CBM和△CDN中， ， ∴△CBM≌△CDN（AAS）， ∴CM＝CN， 又∵CN⊥AD，CM⊥AB， ∴AC平分∠BAD； 【拓展】解：过点E作EH⊥CD于H，连接AH，BH． ∵∠ACD＝∠BAE， ∴∠CDE＝∠ACD+∠CAE＝∠BAE+∠CAE＝60°， ∴DE＝2DH， 又∵DE＝2AD， ∴DH＝AD， ∴∠AHD＝∠DAH＝30°，∠AEH＝30°， ∴AH＝EH，∠AHE＝120°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABC+∠AHE＝180°， ∴A，H，E，B四点共圆， ∴∠ABH＝∠AEH＝30°， ∴∠ABH＝∠CBH＝30°， 即BH平分∠ABC， 又∵BH＝BH，AB＝BC， ∴△ABH≌△CBH（SAS）， ∴AH＝CH＝EH， ∴∠CEH＝45°， ∴∠AEC＝45°+30°＝75°． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理． 24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），且点A、B坐标满足方程组． （1）求A、B的坐标； （2）如图1，以AB为边在第四象限作等腰Rt△ABP，直接写出P点坐标； （3）如图2，若C，D在y轴B，O上方，且OD＝BC＝1，过O作OH⊥AD于H，直线OH交AC于F，直线FB交AD于E，试探究线段AE、FO、EF三条线段有何数量关系？并证明你的结论． 【分析】（1）解方程组可得结论； （2）分三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴于G，则∠AGP＝90°，②如图2，当∠ABP＝90°时，过点P作PH⊥y轴于H，③如图3，当∠APB＝90°时，过点P作MN⊥x轴于M，过点B作BN⊥MN于N，证明两个三角形全等可解答； （3）如图4，过点F作FG⊥x轴于P，交ED的延长线于点G，作FM⊥y轴于M，过点D作DQ⊥FG于Q，则∠FMC＝∠OPF＝90°，证明△AOC是等腰直角三角形和△FCM是等腰直角三角形，设BM＝a，则FM＝a+1＝OP，PF＝AP＝a+3，再证明△GPA≌△OPF（ASA）和△GQD≌△BMF（SAS），可解答此题． 【解答】解：（1）， ①+②得：5a＝10， a＝2， 将a＝2代入①得：b＝﹣3， ∴方程组的解为：， ∴A（2，0），B（0，﹣3）； （2）分三种情况： ①如图1，当∠BAP＝90°时，过点P作PG⊥x轴于G，则∠AGP＝90°， ∵△ABP是等腰直角三角形， ∴AB＝BP，∠BAP＝90°， ∴∠BAO+∠PAG＝90°， ∵∠AOB＝∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝∠AGP＝90°，∠PAG＝∠ABO， ∴△ABO≌△PAG（AAS）， ∴AG＝OB＝3，PG＝OA＝2， ∴P（5，﹣2）； ②如图2，当∠ABP＝90°时，过点P作PH⊥y轴于H， 同理可得：△ABO≌△BPH（AAS） ∴PH＝OB＝3，BH＝OA＝2， ∴P（3，﹣5）； ③如图3，当∠APB＝90°时，过点P作MN⊥x轴于M，过点B作BN⊥MN于N， 同理得：△AMP≌△PNB， ∴AM＝PN，PM＝BN， 设BN＝x，则PM＝x，PN＝AM＝3﹣x， ∵OM＝BN， ∴x＝2+3﹣x， ∴x＝2.5， ∴P（2.5，﹣2.5）； 综上，点P的坐标为（5，﹣2）或（3，﹣5）或（2.5，﹣2.5）； （3）EF＝OF+AE，理由如下： 如图4，过点F作FG⊥x轴于P，交ED的延长线于点G，作FM⊥y轴于M，过点D作DQ⊥FG于Q，则∠FMC＝∠OPF＝90°， ∵OB＝3，BC＝1， ∴OC＝2＝OA， ∵∠AOC＝90°， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∴∠ACO＝∠FCM＝45°， ∵∠FMC＝90°， ∴△FCM是等腰直角三角形， ∴FM＝CM， 设BM＝a，则FM＝a+1＝OP，PF＝AP＝a+3， ∵OH⊥AD， ∴∠OHA＝90°， ∴∠OHA＝∠OPF， ∵∠AOH＝∠POF， ∴∠PAG＝∠OFP， ∵∠APG＝∠OPF＝90°， ∴△GPA≌△OPF（ASA）， ∴PG＝OP＝a+1，AG＝OF， ∵DQ⊥PG， ∴PQ＝OD＝1， ∴GQ＝a＝BM， ∵DQ＝FM＝a+1，∠DQG＝∠BMF， ∴△GQD≌△BMF（SAS）， ∴∠G＝∠FBM， ∵FG∥BD， ∴∠FBM＝∠EFG， ∴∠G＝∠EFG， ∴EF＝EG， ∵EG＝AG+AE， ∴EF＝OF+AE． 【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，解二元一次方程组，坐标与图形的性质等知识．解题的关键正确作辅助线构建全等三角形，并运用分类讨论的思想解决问题． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$