14.2.2 完全平方公式教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级上册

《完全平方公式》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，本节课通过学生合作学习，利用计算图形面积导出完全平方公式，并利用多项式相乘法则进行推导，进而理解和运用完全公式，对以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及图形面积计算都有举足轻重的作用。 学习者分析 学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的乘法，这些知识的学习为本节课的学习奠定了基础。在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力。 教学目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释； 2.灵活应用完全平方公式进行计算； 3.了解(a+b)2=a2+2ab+b2的几何背景，发展几何直观； 4.渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法，培养学生的发现能力、求简意识、 应用意识、解决问题的能力和创新能力。 教学重点 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点. 教学难点 会运用公式进行简单的运算. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 八年级一班共49人，现需要购进一批班服，一件班服的价格也是49元，请问共需要多少元，小明很快的就得出了答案，你知道小明是怎样迅速得到答案的吗？ 49×49 学生活动1： 学生动脑思考. 活动意图说明： 通过实际问题，激发学生的学习兴趣，进而进入新课的学习. 环节二：完全平方公式 教师活动2： 计算下列各式: (1) (m+3)2; (2)(2+3x)2。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?你能再举一些类似的例子吗?与同伴进行交流。 (m+3)2=m2+6m+9; (2+3x)2=4+12x+9x2。 两个数和的平方等于两数的平方和加上这两数乘积的2倍。 例： (1)(5－a)2＝25－10a＋a2 (2)(2x +y)2 =4x2+4xy +y2 (a+b)2 = a2+2ab+b2. 两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的2倍。 思考·交流： (1)你能用下图解释上面的公式吗? (a+b)(a+b) =ab+b2+a2+ab =a2+2ab+b2 (2)如何计算(a-b)2?你是怎样做的?与同伴进行交流。 (a－b) 2 =（a-b）（a-b） =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2. 两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的2倍。 尝试·思考： 请你设计一个图形解释这一公式。 (a − b)2=a2− ab − b(a − b)= a2 − 2ab + b2 完全平方公式： (a±b)2 = a2±2ab+b2. 两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 例5 利用完全平方公式计算： (1) (2x－3)2；(2) (4x+5y)2；(3) (mn－a)2。 解：(1) (2x－3)2=(2x)2－2·2x·3+32= 4x2－12x+9； (2)(4x+5y)2=(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2 ； (3)(mn－a)2=(mn)2－2·mn·a+a2 =m2n2－2amn+a2. 回顾·反思： 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟? 用数形结合思想解题能简化推理和运算，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，具有直观、快捷的优点． 注意事项： 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面） 学生活动2： 学生独立计算，发现问题. 学生总结得出 (a+b)2 = a2+2ab+b2. 即两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的2倍。 学生小组合作完成，得出 (a-b)2 = a2-2ab+b2. 即两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的2倍。 学生尝试完成设计。 学生总结得出完全平方公式： (a±b)2 = a2±2ab+b2. 两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 学生利用完全平方公式进行计算。 学生总结利用完全平方公式进行计算的注意事项。 活动意图说明： 让学生观察等式的特点，通过对比等式两边代数式的结构，得到一般性的结论，再让学生自己举例加深对公式的体会，通过几何直观的方法对两数和的完全平方公式进行解释，加深对公式的理解；之后学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平方公式，并设计图形进行解释，培养学生数形结合的意识，使学生完全掌握完全平方公式；最后通过例题检验学生对公式的理解与掌握，提高学生的运算能力。 板书设计 课题：完全平方公式 完全平方公式： (a±b)2 = a2±2ab+b2. 两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算(－1－x)2的结果是(　D　 ) A．1＋x2 B．1－2x＋x2 C．1－2x－x2 D．1＋2x＋x2 2.若(y＋a)2＝y2－6y＋b，则a,b的值分别为（　D　） A. a＝3，b＝9 B. a＝－3，b＝－9 C. a＝3，b＝－9 D. a＝－3，b＝9 3.给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完全平方式，则加上的单项式不可以是(　D　) A．4x B．－4x C．4x4 D．－4x4 4.计算 (1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2. 解： (1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 选做题： 5.如图，将图①中阴影部分拼成图②，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　B　） A.（a＋b）（a－b）＝a2－b2 B.（a－b）2＝a2－2ab＋b2 C.（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 D.（a＋b）2＝（a－b）2＋4ab 6 若（7x－a）2＝49x2－bx＋9，则｜a＋b｜＝ 　45　⁠. 【综合拓展类作业】 7.将4个数a，b，c，d排成两行、两列，两边各加一条竖直线写作，定义＝ad－bc.上述表达式叫做二阶行列式.若＝8，求x的值. 解：根据题意化简＝8，得（x＋1）2－（1－x）2＝8， 整理得x2＋2x＋1－（1－2x＋x2）＝8，即4x＝8， 解得x＝2. 课堂总结 完全平方公式： (a±b)2 = a2±2ab+b2. 两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　A　） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 2.下列计算正确的是(　C 　) A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．(x－y)2＝x2－2xy－y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1 D．(x－1)2＝x2－1 3.如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是 3或-3 . 选做题： 4.已知x－y＝7，xy＝2，则x2＋y2的值为( A　) A．53 B．45 C．47 D．51 5．已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为___1___. 【综合拓展类作业】 6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 教学反思 本节课是整式一章中是个重点，它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算，学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法，以提高运算速度.在教学过程中，应注重引导学生归纳公式的等号两边的结构特征，特别注意让学生用自己的语言描述公式的结构特征，同时引导学生在运用公式过程中容易出现的问题和注意的细节，比如二倍乘积在中央的时候，符号问题。然后再通过逐层深入的练习，巩固完全平方公式两种形式的应用，为完全平方公式的实际应用和提高应用做好充分的准备。 学科网（北京）股份有限公司 $$