第十章复数单元测试-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第四册

第十章 复数 单元测试 一、单选题 1．在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，的共轭复数为，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若 为纯虚数，，则（    ） A．3 B．4 C．-3 D．-4 4．已知为虚数单位，复数满足，且在复平面内所对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、多选题 7．已知复数满足，则（    ） A．的虚部为3 B．在复平面内对应的点位于第四象限 C． D． 8．已知复数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C． D． 三、填空题 9．设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实 . 10．已知（a，）是的共轭复数，则 . 11．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 . 12．已知方程的一个根为，则 . 四、解答题 13．已知复数，其中，i为虚数单位． (1)当m为何值时，z为纯虚数； (2)若复数z在复平面内对应的点位于直线的上方，求m的取值范围． 14．欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式； (2)求的最大值. 15．如图所示，在复平面内，复数和对应的点分别是A和B． (1)求； (2)已知是关于x的方程的根，求实数a的值． 16．已知复数． （1）求实数的值； （2）若，求的取值范围． 参考答案 1．D 【分析】利用模长公式和除法法则计算出答案. 【详解】，故， 故选：D 2．B 【分析】利用复数除法法则计算出，进而得到，计算出答案. 【详解】， 故， 则. 故选：B 3．A 【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数即可. 【详解】因为 为纯虚数，所以，解得. 故选：A. 4．D 【解析】先利用复数的四则运算将复数化为的形式，再根据复数的几何意义，建立关于的不等式组，解不等式组即可求得实数的取值范围． 【详解】解：由， 得． 因为在复平面内所对应的点在第四象限， 所以 得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查复数的几何意义及四则运算，考查考生的运算求解能力． 5．B 【分析】确定复数在复平面内对应的点，即可判定象限. 【详解】复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点在第二象限. 故选：B 6．A 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】解：复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点为，在第一象限. 故选：A. 7．AC 【分析】将复数z化成z=a+bi的形式，再逐一判断即可. 【详解】解：因数＝－3－4i， 两边同时乘以i得-z=4-3i,所以z=-4+3i, 所以的虚部为3，故A正确； 在复平面内对应的点位于第二象限，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC. 8．AC 【分析】先化简复数，然后求出的共轭复数即可验证选项AB， 求出复数的模验证选项C，化简选项D即可 【详解】因为， 所以，故A正确； 的虚部为，故选项B错误； 由，故选项C正确， 由， 所以， 故选项D错误， 故选：AC. 9．1 【分析】根据复数为纯虚数得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 10．1 【分析】由复数除法法则化简，得出其共轭复数，然后由复数相等求得，从而得出结论． 【详解】解：，∴，∴，，∴， 故答案为：1． 11． 【分析】化简得到，根据题意列出方程组，即可求解. 【详解】由复数， 因为复数是纯虚数，可得，解得. 故答案为：. 12．3 【分析】方法一：根据题意得到方程的另一个根为，由韦达定理得到答案； 方法二：将代入方程，求出答案. 【详解】方法一：因为的一个根为，则方程的另一个根为， 结合韦达定理可得. 方法二：将代入方程得，解得. 故答案为：3 13．(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解； （2）令，求解即可. 【详解】（1）， 由，解得，故当时，z为纯虚数. （2）由题可得：， ∴，即， ∴m的取值范围为． 14．(1) (2)2 【分析】（1）根据题意结合复数运算求解； （2）根据题意结合复数的四则运算和模长整理得，再结合正弦函数的有界性分析运算. 【详解】（1）因为， 所以. （2）由题意可得：， 所以， 因为，所以，因此， 所以的最大值为2. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义，先写出点的坐标，再求复数和，即可求解； （2）将复数，代入方程，利用复数相等，即可求解. 【详解】（1）由图可知，，所以复数，， 所以； （2）由题意可知， 整理为：， ，解得： 16．（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，先计算出，再由即可求出结果； （2）先由（1）知，再由复数的几何意义即可求出结果. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为，所以， 解得或， 因为，所以． （2）由（1）知， 因为，所以在复平面内对应点的轨迹为以（0,1）为圆心，以2为半径的圆． 故在复平面内表示对应的点到坐标原点的距离， 所以的取值范围即：以（0,1）为圆心，以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离， 所以，即． 故的取值范围为． 【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的几何意义，熟记概念和几何意义即可求解，属于基础题型. 学科网（北京）股份有限公司 $$