选择性必修第一册综合测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）

人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试 参考答案 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】B由题意，直线的斜率为，解得. 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 【解析】C 因为，且， 所以，解得. 3. 抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【解析】D 抛物线的焦点到准线的距离是. 4. 已知点在圆上，点，，则满足点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【解析】B 设点，则， 由，得， 即， 故点的轨迹为一个圆心为、半径为的圆， 又点在圆上， 两圆的圆心距为，半径和为，半径差为， 有，所以两圆相交，满足这样的点有2个． 5. 圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 设是圆锥底面圆心，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，， ，设直线与所成角为， 则. 6. 已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【解析】C 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 B 双曲线的渐近线方程为，下焦点为， 因为双曲线的下焦点到渐近线的距离为2， 所以， 因为焦距为，所以， 所以， 所以 所以双曲线的渐近线方程. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【解析】C 如图，设半焦距为．∵点是两曲线在第一象限的交点，且在上 的投影等于，∴PF1⊥PF2．设，，则， ．∴＝﹣．在中， 由勾股定理可得：. ∴．两边同除以c2，得2＝， 所以， 当即时取等号，因此9e12+e22的最小值是8． 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆C：，P是直线l：上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ） A. 圆C上恰有两个点到l的距离为 B. 的最小值是 C. 直线AB恒过点 D. 四边形ACBP面积的最小值为 【解析】ACD 对于A，由圆，则圆心，半径， 由直线，则圆心到直线的距离， 由，则，作图如下： 可知圆上恰有两点符合题意，故A正确； 对于B，作图如下： 由点在直线上，则设， ， 由与圆相切于，则， 以为圆心，以为半径的圆的方程为， 圆与圆的方程作差可得直线， 圆心到直线距离为， ， 当时，取得最小值，故B错误； 对于C，由B可知直线，整理可得， 令，解得，则直线过定点，故C正确； 对于D，取得最小值，此时，， 由A可知圆心到直线的距离为，则的最小值为， 四边形的面积最小值为，故D正确. 10. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 【解析】ABD 故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，， ，选项A正确； ， 所以 根据三角函数两角正余弦关系解得： ，选项B正确； ， 选项C错误； 点到直线的距离为：， 而 所以选项D正确； 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 【解析】ABD 令，得出，则 对于A：时，得或， 时，得，所以和均在L上，A选项正确； 对于B：因为曲线关于y轴对称，当时，，所以， ， 所以时，最大，最大值为，B选项正确； 对于C：， 因为曲线关于y轴对称，当时，设， 所以 ， 因为可取任意角， 所以取最小值，取最大值，所以和为，C选项错误； 对于D：等价为点在椭圆内， 即满足，即， 整理得，即恒成立，故D选项正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 【解析】设与夹角为， 所以根据， ， 即， 又，． 13. 已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为_________________. 【解析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则__________. 【解析】当直线与轴重合时，直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 设点、，易知点， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，同理可得， 所以，. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【解析】（1）由题意，设圆心，圆经过点，与直线相切， 所以，化简得，解得， 则圆心，半径， 所以圆的方程为． （2）由题意，直线l与圆C的距离， 若斜率不存在，即，显然满足要求； 若斜率存在，设直线l方程为，则，解得，则； 直线l的方程为或． 16. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 【解析】（1） 由题意得，， 把代入得，即， ∴，解得， ∴的方程为：. （2） 由（1）得直线斜率存在，， 设， 由得，， ∴， 由得，，解得， ∴直线的方程为或. 17. 如图，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为. （1）求证：平面； （2）平面与平面所成角的余弦值； 【解析】（1）因为平面，所以， 因为是正方形，所以，又平面， 所以平面. （2）因为，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示， 因为与平面所成角为，即， 所以，由，可知，， 则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则， 因为平面，所以为平面的法向量，， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点是椭圆上异于点两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴， 所以， 因为椭圆过点，所以，，得， 所以椭圆方程为； （2）①当直线的斜率存在时，设其方程为， 由，得， ， 所以，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 化简得，即， 所以或， 当时，直线的方程为， 则直线过定点（舍去）， 当时，直线的方程为， 所以直线过定点， ②当直线的斜率不存在时，设直线为（）， 由，得，所以， 所以， 解得（舍去），或， 所以直线也过定点， 综上，直线恒过定点. 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 【解析】（1）由题可知： ,，， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 直线与交于点， 直线与直线交于点， 由图可知，当时，有最小值4. （2）, 因为， 所以,, 所以. 【小问3详解】 因为P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，则球面方程为， 面的方程为，即，一个法向量为， 平面是取最小值的必要条件，证明如下： 不妨取，若平面于， 显然，则且，所以， 对于面上任意点都有，即， 所以，仅当重合时取等号， 综上，取最小，必有平面， 由，当共线时取等号，故最小值在共线且平面时取得， 此时且，则，即， 所以， 取且，则，即， 所以， 综上，、时最小. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 设向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 6 3. 抛物线的焦点到准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．3 4. 已知点在圆上，点，，则满足点的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 圆锥的底面半径为，高为2，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ） A. B. 4 C. D. 5 7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，点是两曲线在第一象限的交点，且在上的投影等于，，分别是椭圆和双曲线的离心率，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. 8 D. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆C：，P是直线l：上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则（ ） A. 圆C上恰有两个点到l的距离为 B. 的最小值是 C. 直线AB恒过点 D. 四边形ACBP面积的最小值为 10. 如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（ ） A. B. C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离为 11. 如图，心形曲线与轴交于两点，点是上的一个动点，则（ ） A. 点和均在上 B. 点的纵坐标的最大值为 C. 的最大值与最小值之和为3 D. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______． 13. 已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为_________________. 14. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则__________. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程． 16. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. (1)求的方程； (2)若，求直线的方程. 17. 如图，四边形是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为. （1）求证：平面； （2）平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点是椭圆上异于点两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由. 19. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$