2025年高考数学二轮复习专项训练22 随机变量及其分布

2025二轮复习专项训练22 随机变量及其分布 [考情分析]　高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上． 【练前疑难讲解】 一、分布列的性质及应用 1．离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量X的分布列具有两个性质： (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)i＝1(i＝1,2,3，…，n)． 2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi； D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi. 3．均值、方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 二、随机变量的分布列 1．n重伯努利试验与二项分布 X～B(n，p)，P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 2．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N， m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 三、正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，曲线在x＝μ处达到峰值. (3)曲线与x轴之间的区域的面积总为1. (4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 一、单选题 1．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ）[参考数据：] A．141 B．128 C．288 D．512 二、多选题 3．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 4．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（    ） A．若，，则甲最终获胜的概率为 B．若，，记决赛进行了局，则 C．若，，记决赛进行了局，则 D．若比时对甲更有利，则 三、填空题 5．（2023·山东·模拟预测）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为 0 1 2 表中，则的最大值为 ．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时， ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则 . 四、解答题 7．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 8．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A C ACD ABD 1．A 【分析】根据取出2个黑球，1个白球的概率为求出n的值，再求出X的分布列，根据数学期望的定义即可计算. 【详解】由题可知，，解得， X的可能取值为， ，，，， ∴. 故选：A 2．C 【分析】根据题意得，可得，然后根据正态分布的概率求法可求得结果. 【详解】根据题意得，则， 即， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以至少要测量的次数为288次， 故选：C 3．ACD 【分析】对于A，由题意可知抽出1件次品，2件合格品，利用分步乘法原理求解，对于BC，利用超几何分布的概率公式求解，对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，求出相应的概率，从而可求出其期望. 【详解】对于A，若抽出的3件产品中恰好有1件是次品，则抽出1件次品，2件合格品， 所以共有种不同的抽法，所以A正确， 对于B，由题意可知抽出的产品中至多有1件是次品的概率为，所以B错误， 对于C，由题意得抽出的产品中至少有件是次品的概率为，所以C正确， 对于D，设抽出的次品数为，由题意可知可能取值为0，1，2，则 ，，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 4．ABD 【分析】对于A，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求甲最终获胜的概率即可判断；对于B，由条件求的分布列，再求其期望及方差即可判断，对于C，由条件求的分布列，再由期望公式求其期望即可判断，对于D，分别求，时甲获胜的概率，列不等式确定的范围即可判断. 【详解】对于A，因为，， 所以甲获胜的概率为，A正确. 对于B，因为，， 由已知的取值有， ，， 所以， 所以，B正确. 对于C，因为，， 又的可能取值有， 所以， ， ， 所以，C错误； 对于D，当时，甲获胜的概率为， 当时，甲获胜的概率为， 若比时对甲更有利，则， 所以， 所以，又， 所以，D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：求随机变量的分布列的关键在于确定其可能的取值，准确理解取各值所对应的事件，结合概率的求法确定取各值的概率. 5． 【分析】根据题意，求得和，结合二次函数的性质，求得取得最大值，再由二项分布方差，求得，进而得到，即可求解. 【详解】由题意，可得，则， 因为，所以当时，取得最大值， 又由，可得，解得， 可得， 又因为， 可得， 所以. 故答案为：；, 6． 【分析】首先确定，分别求出各自的概率，然后期望公式可求 【详解】记检测次数为，则 当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则， 当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品， 都能确定所有次品，则， 所以， 故答案为： 7．(1)分布列见解析， (2)（i）；列联表见解析，（ii）能 【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望； （2）（i）根据中位数的定义即可求得，从而求得列联表； （ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解. 【详解】（1）依题意，的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 故. （2）（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 实验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异. 8．(1)0.09； (2). 【分析】（1）根据题意，由正态分布的概率公式代入计算，再由全概率公式，即可得到结果； （2）根据题意，由二项分布的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 因为，所以， ， ． 所以 ， 所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． （2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 所以． 由，解得． 所以当时，； 当时，；所以最大． 因此当时，最大． 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2021·浙江温州·二模）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i（其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示； 表一 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表二 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 概率分布条形图如下图三和图四所示： 则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4 D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3 6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·辽宁辽阳·一模）辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（    ） A．14.4 B．9.6 C．24 D．48 8．（2024·江苏·一模）青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（    ） A．150人 B．300人 C．600人 D．900人 二、多选题 9．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B．， C．， D．， 10．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·浙江·三模）下列说法中正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，且，则 D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 三、填空题 12．（2022·天津南开·二模）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 ；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 14．（21-22高二下·北京朝阳·期中）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．随机变量表示在3次活动中甲获胜的次数，则 ； ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C D C A A BD BD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】分别求出、、时，再一一判断即可； 【详解】解：当时，的可能情况为0,3,5 选择的情况共有：种； ，， 所以 当时，的可能情况为0,3,5 选择的情况共有：种； ，， 所以 当时，的可能情况为3,5 选择的情况共有：种； ，， 所以 对于AB：，，所以，故A错误，B正确； 对于CD： ，，所以，故CD错误； 故选：B 2．C 【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解. 【详解】设男生人数为，且， ，，, 则. 故选：C 3．D 【分析】根据分布列数据代入数学期望、方差公式求解即可. 【详解】由分布列可得， ， ， ， 所以，. 故选：D 4．C 【分析】由题意，分别求出选项中的方差，根据方差的大小即可判断标准差的大小，结合选项即可求解． 【详解】对于A ， 所以， 对于B ， 所以， 对于C ， 所以， 对于D ， 所以， 故选：C 5．D 【分析】利用正负相关的意义判断A；利用相关指数的意义判断B；求出标准差判断C；利用对立事件求出概率判断D. 【详解】对于A，回归方程，由，得变量与负相关，A错误； 对于B，值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B错误； 对于C，数据的方差为，标准差为，C错误； 对于D，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D正确. 故选：D 6．C 【分析】由二项分布的方差公式求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以，则， 若，则. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．A 【分析】由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案. 【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布， 且，故， 从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数 故， 故选：A 8．A 【分析】利用正态分布的性质，计算出和即可求解. 【详解】因为，，所以 则，所以样本中身高不低于的约有人. 故选：A. 9．BD 【分析】根据分布列的性质计算q的值，然后根据期望、方差公式及性质计算. 【详解】因为，所以，A选项错误； 由， 故， 因此选项B正确； 又，所以，，，故C错D对. 故选：BD 10．BD 【分析】由正态分布定义可得A、C，由期望与方差的性质计算可得B、D. 【详解】由，则，，故A、C错误； ，故B正确； ，故D正确. 故选：BD. 11．BC 【分析】对于A，根据百分位数的定义求解判断即可；对于B，根据二项分布的均值和方差求解即可判断；对于C，根据正态分布的性质求解即可判断；对于D，结合线性回归方程的定义即可判断. 【详解】对于A，将10次射击成绩从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9. 因为，所以这组数据的第70百分位数为，故A错误； 对于B，由， 则，即， 则，故B正确； 对于C，因为， 则， 所以，故C正确； 对于D，数据可能都不在回归直线上，故D错误. 故选：BC. 12． /0.6 /0.9 【分析】利用条件概率的概率公式可求条件概率，设取得黑球的个数为，利用乘法公式可求的分布列，从而可求其期望. 【详解】， 设取得黑球的个数为，则可取， 又，， ， 故的分布列为： 0 1 2 故 故答案为： 13． 【分析】根据分布列的性质及数学期望公式，列出方程求出、的值，进而利用方差公式求出方差即可. 【详解】由题意知，解得， 所以. 故答案为：. 14． 【分析】首先根据甲猜对乙没有猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，进而可计算在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解．根据二项分布的方差公式求． 【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为， 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为； 根据题意可知，， 所以， 故答案为：；． 【能力提升训练】 一、单选题 1．（2024·河北邢台·二模）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大 B．已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4 C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人 D．已知随机变量，若，则 3．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁沈阳·三模）下列说法正确的是（    ） A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 6．（2024·广西·模拟预测）下列关于随机变量的说法正确的是（    ） A．若服从正态分布，则 B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则 C．若服从超几何分布，则期望 D．若服从二项分布，则方差 三、填空题 7．（2024·全国·模拟预测）设随机变量，向量与向量的夹角为锐角的概率是0.5，则的值是 ． 8．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则） 9．（2024·河南开封·二模）袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ． 四、解答题 10．（23-24高三上·河南驻马店·期末）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为. (1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率； (2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望. 11．（2024·浙江·二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 12．（23-24高二上·吉林·期末）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 13．（2023·江苏南京·模拟预测）甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%． (1)当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差； (2)现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率． 14．（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B ABD BCD ACD 1．C 【分析】首先通过二项式定理得出在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项，然后结合超几何分布求得相应的概率，进而结合均值公式即可得解. 【详解】的二项展开式为， 由题意，解得， 若要取到有理项，则需要能被3整除，则， 即在的二项展开式中，有理项有3项，无理项有8项， 若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，可知的所有可能取值分别为0，1，2，3， ，， 所以. 故选：C. 2．D 【分析】计算可得平均数不变，可得新数据极差变小，可判断A；利用贺归直线过样本中心点，可求，可判断B；可求得，进而可判断C；由已知得，计算可判断D. 【详解】对于A：新数据的总和为， 与原数据的总和相等，且数据个数相等，因此平均数不变， 因为，而 ， 即极差变小了，由于两组数据平均数不变，而极差变小， 说明新数据相对原数据更集中于平均数，因此方差变小，故A错误； 对于B：因为回归直线方程必经过样本中心点， 所以，解得，故B错误； 对于C：因为一模考试中的数学成绩，， 所以，所以， 所以的人数为人，故C错误； 对于D：因为，所以， ，解得，故D正确. 故选：D. 3．B 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为随机变量，且，则，可得， ， 当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为. 故选：B. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．ABD 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项. 【详解】对于A，易知，故A正确； 对于D，易知，故D正确； 对于B、C，易知可取，则, ，所以， ，故B正确；C错误； 故选：ABD 5．BCD 【分析】求出判断A；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用二项分布的方差公式计算判断C，利用正态分布的特定区间的概率判断D. 【详解】对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误； 对于B，显然随机变量服从超几何分布，则，B正确； 对于C，由随机变量，得，C正确； 对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确. 故选：BCD 6．ACD 【分析】A选项，先得到，进而根据方差的性质得到答案；B选项，根据二项分布求出概率，得到方程，求出，再根据正态分布的对称性求出概率；C选项，根据超几何分布的期望公式求出答案；D选项，由二项分布方差公式求出D正确. 【详解】对A，由于，所以， 根据方差的性质，，故A正确； 对B，服从二项分布， ∴，解得， ∴，根据正态分布的对称性可得，，故B错误； 对C，服从超几何分布，根据超几何分布的期望公式，，故C正确； 对D，服从二项分布，根据二项分布方差公式得， ，故D正确. 故选：ACD. 7．2 【分析】由平面向量夹角为锐角的性质求得的范围，再结合正态分布曲线的特点及意义求解即可． 【详解】已知向量与向量的夹角为锐角， 则，解得， 且向量不能同向共线， 当时，可得，解得， 所以，不是同向共线，即， 又向量与向量的夹角为锐角的概率是， 则，则， 故答案为：2. 8．0.1/ 【分析】依题意得，则，由，得，即可求解. 【详解】若，则） 因为工业生产中轴承的直径服从， 所以，则， 由， 得， 则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为. 故答案为：## 9． 【分析】记取出的两个球都是红球为事件，则，即可求出，从而得到的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】依题意、为非负整数，记取出的两个球都是红球为事件，则， 所以，解得或（舍去）， 所以的可能取值为、、， 则，，， 所以. 故答案为： 10．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件，则由题意可知事件包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件为2秒内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出，再利用条件概率公式可求得结果； （2）由题意知可能的取值为，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列与期望. 【详解】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件，记2秒后这只蚂蚁在处的概率为事件， 则 故所求的概率为. （2）由题意知可能的取值为， 则， 则的分布列为 0 2 4 11．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不可信. 【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可； （2）（i）由求出，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，，由切比雪夫不等式判断出，进而可得出结论. 【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到两个合格品， （2）（i）由题：若，则 又 所以或 由切比雪夫不等式可知， 所以； （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则， 所以， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 12．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求期望和方差. 【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含但不包含”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为，则 ；；； ；. 所以随机变量的分布列为： 因此，， . 13．(1)分布列见解析；期望为，方差是 (2) 【分析】（1）设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，“该手机充电器由乙厂生产”为事件，“该手机充电器由丙厂生产”为事件，“该手机充电器是合格品”为事件，“该手机充电器是不合格品”为事件，根据二项分布得出分布列以及期望和方差； （2）由全概率公式得出，再由贝叶斯公式得出. 【详解】（1）解：设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，“该手机充电器由乙厂生产”为事件，“该手机充电器由丙厂生产”为事件，“该手机充电器是合格品”为事件，“该手机充电器是不合格品”为事件， 则，，，，，，，，， 的取值为0，1，2， ， ， 所以分布列为 0 1 2 3 且，故，， 答：的期望是，方差是 （2）            答：它是由甲厂生产的概率是． 14．(1) (2)①841；②14 【分析】（1）根据题意利用古典概型即可计算； （2）①由样本数计算，进而利用求解即可； ②首先求在内的概率，再由题意可知，然后设，最后利用可求使得的最小的值，从而得到使最大的的值. 【详解】（1）设事件“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为． 由题知样本中学习时长不低于80小时的人数为3，时长低于80小时的人数为7， 则， 所以这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率为． （2）①由样本数据知，． 因为， 所以， 所以，学习时长不低于50小时的教师人数为841. ②每名教师的学习时长在内的概率为， 由题意可知，则， 设，则． 令，得，所以当时，， 令，得，所以当时，， 所以当时，最大，即使最大的的值为14． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025二轮复习专项训练22 随机变量及其分布 [考情分析]　高考常考内容，考查离散型随机变量的分布列、均值和方差，以及利用分布列、均值、方差进行决策或分析，多与概率结合考查综合题型，试题阅读量大，常以解答题的形式出现，难度中档偏上． 【练前疑难讲解】 一、分布列的性质及应用 1．离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 离散型随机变量X的分布列具有两个性质： (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)i＝1(i＝1,2,3，…，n)． 2．E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi； D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi. 3．均值、方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． (2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． (3)X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 二、随机变量的分布列 1．n重伯努利试验与二项分布 X～B(n，p)，P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 2．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N， m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 三、正态分布 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，曲线在x＝μ处达到峰值. (3)曲线与x轴之间的区域的面积总为1. (4)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移． (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 一、单选题 1．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）一个不透明的袋子中装有3个黑球，n个白球，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，最后结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（    ）[参考数据：] A．141 B．128 C．288 D．512 二、多选题 3．（2024·吉林·模拟预测）从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则（    ） A．抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有种 B．抽出的产品中至多有1件是次品的概率为 C．抽出的产品中至少有件是次品的概率为 D．抽出的产品中次品数的数学期望为 4．（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两人入围决赛，决赛采用局胜的赛制，其中，即先赢局者获得最终冠军，比赛结束.已知甲每局比赛获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则（    ） A．若，，则甲最终获胜的概率为 B．若，，记决赛进行了局，则 C．若，，记决赛进行了局，则 D．若比时对甲更有利，则 三、填空题 5．（2023·山东·模拟预测）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为 0 1 2 表中，则的最大值为 ．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时， ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则 . 四、解答题 7．（2023·全国·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）. (1)设表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求的分布列和数学期望； (2)实验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为： 7.8   9.2   11.4    12.4  13.2   15.5   16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 （i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如下列联表： 对照组 实验组 （ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 8．（2024·江苏·一模）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． (1)求该机器生产的零件为不合格品的概率； (2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值． 附：若，取，． 【基础保分训练】 一、单选题 1．（2021·浙江温州·二模）多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有i（其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表一和下表二所示； 表一 6 7 8 9 10 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 表二 6 7 8 9 10 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 概率分布条形图如下图三和图四所示： 则以下对这两名同学的射击水平的评价，正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·模拟预测）下列命题中，真命题的是（    ） A．若回归方程，则变量与正相关 B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 C．若样本数据的方差为2，则数据的标准差为4 D．一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3 6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知随机变量，分别满足二项分布，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·辽宁辽阳·一模）辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称. 已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该超市中随机选取60袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为（    ） A．14.4 B．9.6 C．24 D．48 8．（2024·江苏·一模）青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：）近似服从正态分布，且身高在到之间的人数占样本量的，则样本中身高不低于的约有（    ） A．150人 B．300人 C．600人 D．900人 二、多选题 9．（2024·安徽阜阳·模拟预测）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（    ） 0 1 2 3 4 0.1 0.4 0.2 0.2 A． B．， C．， D．， 10．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·浙江·三模）下列说法中正确的是（    ） A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8 B．若随机变量，且，则 C．若随机变量，且，则 D．对一组样本数据进行分析，由此得到的线性回归方程为：，至少有一个数据点在回归直线上 三、填空题 12．（2022·天津南开·二模）甲罐中有3个红球、2个黑球，乙罐中有2个红球、2个黑球．①先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”，再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则 ；②从甲、乙两罐中分别随机各取出一球，则取到黑球的个数的数学期望为 ． 13．（2024·全国·模拟预测）随机变量的分布列如下： 0 1 2 若，则 ． 14．（21-22高二下·北京朝阳·期中）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．随机变量表示在3次活动中甲获胜的次数，则 ； ． 【能力提升训练】 一、单选题 1．（2024·河北邢台·二模）已知在的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项，其中有理项的个数为，则=（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．已知一组样本数据，，…，()，现有一组新的数据，，…，，，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大 B．已知具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是4 C．50名学生在一模考试中的数学成绩，已知，则的人数为20人 D．已知随机变量，若，则 3．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁沈阳·三模）下列说法正确的是（    ） A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则 B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则 C．若随机变量，则 D．若随机变量，则当减小，增大时，保持不变 6．（2024·广西·模拟预测）下列关于随机变量的说法正确的是（    ） A．若服从正态分布，则 B．已知随机变量服从二项分布，且，随机变量服从正态分布，若，则 C．若服从超几何分布，则期望 D．若服从二项分布，则方差 三、填空题 7．（2024·全国·模拟预测）设随机变量，向量与向量的夹角为锐角的概率是0.5，则的值是 ． 8．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则） 9．（2024·河南开封·二模）袋中有个红球，个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，则 ． 四、解答题 10．（23-24高三上·河南驻马店·期末）一只蚂蚁位于数轴处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率为，向左移动的概率为. (1)已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在处的概率； (2)记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为，求的分布列与期望. 11．（2024·浙江·二模）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 12 18 36 30 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式： 若随机变量X具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件） 12．（23-24高二上·吉林·期末）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 13．（2023·江苏南京·模拟预测）甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%． (1)当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差； (2)现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率． 14．（2024·辽宁抚顺·三模）某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”． (1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率． (2)若该市所有教师的学习时长近似地服从正态分布，其中为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题： ①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五人到整数）； ②若从该市随机抽取的名教师中恰有名教师的学习时长在内，则为何值时，的值最大？ 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$