14.2.1 平方差公式 课件 2024--2025学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册 平方差公式 教学目标 1.了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式； 2.能利用平方差公式进行计算； 3.培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维； 4.在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美。 新知导入 小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？ a米 a米 (a-5)米 (a+5)米 新知导入 a米 a米 (a-5)米 (a+5)米 答：小明说的不对，长方形面积比正方形面积少了25平方米. 新知讲解 计算下列各式: (1) (x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a); (3) (x+5y)(x-5y);(4) (2y+z)(2y-z)。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?你能再举一些类似的例子吗?与同伴进行交流。 任务：平方差公式 新知讲解 (1) (x+2)(x-2)=x2-2x+2x-4=x2-4; (2)(1+3a)(1-3a)=1-3a+3a-9a2=1-9a2; (3) (x+5y)(x-5y)=x2-5xy+5xy-25y2=x2-25y2; (4) (2y+z)(2y-z)=4y2-2yz+2yz-z2=4y2-z2。 上述各式的左边是二项式乘以二项式,即是两个数的和与 它们的差的乘积，结果等于这两数的平方差. 新知讲解 例： (1)(3x－5)(3x＋5)=9x2+15x-15x-25=9x2-25 (2)(－2a－b)(b－2a)=-2ab+4a2-b2+2ab=4a2-b2 新知讲解 (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 平方差公式： 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 新知讲解 公式变形: 1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)；(3) (－m+n)(－m－n) . 新知讲解 解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 . 例2 利用平方差公式计算： (1) (-x-y)(-x+y)；(2)(ab+8)(ab－8) . 新知讲解 解：(1) (-x-y)(-x+y)=(-x)2-y2 =-y2 (2) (ab+8)(ab－8) =(ab)2－64=a2b2－64. 尝试·思考： 新知讲解 如何计算(a-b)(-a-b)?你是怎样做的? (a-b)(-a-b) =(a-b)[-（a+b）] =-(a-b)（a+b） =-（a2-b2） =-a2+b2 新知讲解 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 1.下列运算正确的是( 　　) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2 C 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 2.计算(2x+1)(2x–1)等于( 　　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 A 课堂练习 3.计算(1-a)(1+a)(1+a2)的结果是( ) A. 1-a4 B. 1+a4 C.1- 2a2+a4 D.1+ 2a2+a4 A 【知识技能类作业】必做题： 4．利用平方差公式计算： (1)(a+3b)(a– 3b)；(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y). 解： (1) 原式=(a)2–(3b)2 =a2–9b2 ； (2) 原式=(2a+3)(2a–3)=(2a)2–32 =4a2–9； (3)原式=(–2x2 )2–y2 =4x4–y2. 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 5.为了应用平方差公式计算（a－b＋c）（a＋b－c），必须先适当变形.下列各变形中，正确的是（　D） A.[（a＋c）－b][（a－c）＋b] B.[（a－b）＋c][（a＋b）－c] C.[（b＋c）－a][（b－c）＋a] D.[a－（b－c）][a＋（b－c）] D 6. 若(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)=xn- 1,则n等于( ) A.16 B.8 C.6 D.4 【知识技能类作业】选做题： 课堂练习 B　 7.在化简整式（x－2）■（x＋2）＋▲中，“■”表示运算符号“－”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式. （1）计算（x－2）－（x＋2）＋（－2＋y）； （2）若（x－2）（x＋2）＋▲＝3x2＋4，求出整式▲； （3）已知（x－2）■（x＋2）＋▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值. 【综合拓展类作业】 课堂练习 20 【综合拓展类作业】 课堂练习 解：（1）原式＝x－2－x－2－2＋y＝y－6. （2）依题意得，▲＝3x2＋4－（x－2）（x＋2）＝3x2＋4－（x2－4）＝3x2＋4－x2＋4＝2x2＋8. （3）因为计算结果是二次式， 所以■表示的运算符号是×. 所以原式＝（x－2）（x＋2）＋▲＝x2－4＋▲. 因为计算结果是单项式， 所以▲的值为4. 21 课堂总结 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 板书设计 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 课题：平方差公式 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1．下列各式能用平方差公式计算的是( ). A. (4a+b)(a-b) B. (-4a-b)(-4a+b) C. (4a+b)(-4a-b) D. (-4a+b)(4a-b) B 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 2．计算下列各式，其结果是4y2－1的是（　A　） A.（－2y－1）（－2y＋1） B.（2y－1）2 C.（4y－1）2 D.（2y＋1）（－2y＋1） A 3.下列计算正确的是（　C　） A.（a＋3b）（a－3b）＝a2－3b2 B.（－a＋3b）（a－3b）＝－a2－9b2 C.（－a－3b）（a－3b）＝－a2＋9b2 D.（－a－3b）（a＋3b）＝a2－9b2 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 C 26 4.若m2－n2＝4，那么（m－n）2（m＋n）2的值为（　C　） A.4 B.8 C.16 D.32 C 【知识技能类作业】选做题： 作业布置 5．先化简，再求值：(x+1)(x-1)＋x2(1-x)+x3，其中x＝2. 【知识技能类作业】选做题： 作业布置 解：原式=x2-1+x2-x3+x3 =2x2-1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7. 6.对于任意正整数n，试说明：整式（3n＋1）（3n－1）－（3－n）（n＋3）的值一定能被10整除. 【综合拓展类作业】 作业布置 解：（3n＋1）（3n－1）－（3－n）（n＋3） ＝9n2－1－9＋n2 ＝10（n2－1）. 因为n为正整数， 所以n2－1为整数， 所以10（n2－1）能被10整除. $$