14.2.1 平方差公式 教案2024-2025学年人教版数学八年级上册

《平方差公式》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 平方差公式是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，让学生经历从一般到特殊的过程。对它的学习和研究，不仅给出了特殊 的多项式乘法的简便运算，而且为后续的因式分解、分式运算、解一元二次方程 等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。 学习者分析 学生已经学过数的运算、字母表示数等内容，具备类比数的运算得到式的运算知识基础和基本方法。本章前面幂的运算、整式乘法等知识的学习，为本节课奠定了基础，提供可供类比得到新知识的方法；同时在整式运算等相关知识的学习过程中，学生经历了许多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，理解平方差公式的推导过程和结构特点可能会有一定困难。所以教学中应尽可能多地让学生动手操作，突出平方差公式的探索过程，自主探索出平方差公式的基本形式，并用语言表述其结构特征，进一步发展学生的合情推理能力和合作学习能力。 教学目标 1.了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式； 2.能利用平方差公式进行计算； 3.培养学生的数学建模能力与抽象思维能力，在运用公式解决实际问题的过程中培养学生的化归思想，逆向思维； 4.在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美。 教学重点 理解并掌握平方差公式的推导和应用. 教学难点 理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 小明和小兰分别负责两块区域的值日工作.小明负责一块边长为a米的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对吗？为什么？ 答：小明说的不对，长方形面积比正方形面积少了25平方米. 学生活动1： 学生动脑思考，回答问题. 活动意图说明： 通过实际生活的例题，激发学生的学习兴趣，进而进入新课的学习. 环节二：平方差公式 教师活动2： 计算下列各式: (1) (x+2)(x-2)；(2)(1+3a)(1-3a)； (3) (x+5y)(x-5y)；(4) (2y+z)(2y-z)。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?你能再举一些类似的例子吗?与同伴进行交流。 例： (1)(3x－5)(3x＋5)=9x2+15x-15x-25=9x2-25 (2)(－2a－b)(b－2a)=-2ab+4a2-b2+2ab=4a2-b2 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 公式变形: 1.（a–b ) ( a + b) = a2 - b2 2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2 例1 利用平方差公式计算： (1) (5+6x)(5－6x)；(2) (x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) . 解：(1) (5+6x)(5－6x)= 52－(6x)2=25－36x2； (2) (x－2y)(x+2y)= x2－(2y)2= x2－4y2 ； (3) (－m+n)(－m－n) = (－m)2－n2 = m2－n2 . 例2 利用平方差公式计算： (1) (-x-y)(-x+y)；(2)(ab+8)(ab－8) . 解：(1) (-x-y)(-x+y)=(-x)2-y2； (2) (ab+8)(ab－8) =(ab)2－64=a2b2－64. 尝试·思考： 如何计算(a-b)(-a-b)?你是怎样做的? (a-b)(-a-b) =(a-b)[-（a+b）] =-(a-b)（a+b） =-（a2-b2） =-a2+b2 应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： (1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； (2)右边是相同项的平方减去相反项的平方； (3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式． 学生活动2： 学生小组合作，计算并总结. 学生在教师的引导下，总结出平方差公式，了解公式的结构特点。 学生利用平方差公式进行计算。 学生思考，灵活利用平方差公式计算。 活动意图说明： 通过几个具体的题目，使学生在计算的过程中发现规律，并用自己的语言进行表达，培养学生观察、归纳、概括等能力；例题的展示，加强学生对公式的理解与掌握，培养学生的运算能力。 板书设计 课题：平方差公式 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列运算正确的是( C　) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2 2.计算(2x+1)(2x–1)等于( A　) A．4x2–1 B．2x2–1 C．4x–1 D．4x2+1 3.计算(1-a)(1+a)(1+a2)的结果是( A　) A. 1-a4 B. 1+a4 C.1- 2a2+a4 D.1+ 2a2+a4 4.利用平方差公式计算： (1)(a+3b)(a–3b)；(2)(3+2a)(–3+2a)；(3)(–2x2–y)(–2x2+y). 解： (1) 原式=(a)2–(3b)2 =a2–9b2 ； (2) 原式=(2a+3)(2a–3)=(2a)2–32 =4a2–9； (3)原式=(–2x2 )2–y2=4x4–y2. 选做题： 5.为了应用平方差公式计算（a－b＋c）（a＋b－c），必须先适当变形.下列各变形中，正确的是（　D ） A.[（a＋c）－b][（a－c）＋b] B.[（a－b）＋c][（a＋b）－c] C.[（b＋c）－a][（b－c）＋a] D.[a－（b－c）][a＋（b－c）] 6若(x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)=xn- 1，则n等于( B ) A.16 B.8 C.6 D.4 【综合拓展类作业】 7.在化简整式（x－2）■（x＋2）＋▲中，“■”表示运算符号“－”“×”中的某一个，“▲”表示一个整式. （1）计算（x－2）－（x＋2）＋（－2＋y）； （2）若（x－2）（x＋2）＋▲＝3x2＋4，求出整式▲； （3）已知（x－2）■（x＋2）＋▲的计算结果是二次单项式，当▲是常数项时，直接写出■表示的符号及▲的值. 解：（1）原式＝x－2－x－2－2＋y＝y－6. （2）依题意得，▲＝3x2＋4－（x－2）（x＋2）＝3x2＋4－（x2－4）＝3x2＋4－x2＋4＝2x2＋8. （3）因为计算结果是二次式， 所以■表示的运算符号是×. 所以原式＝（x－2）（x＋2）＋▲＝x2－4＋▲. 因为计算结果是单项式， 所以▲的值为4. 课堂总结 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2。 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 结构特点： 左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式能用平方差公式计算的是( B ). A. (4a+b)(a-b) B. (-4a-b)(-4a+b) C. (4a+b)(-4a-b) D. (-4a+b)(4a-b) 2.计算下列各式，其结果是4y2－1的是（　A　） A.（－2y－1）（－2y＋1） B.（2y－1）2 C.（4y－1）2 D.（2y＋1）（－2y＋1） 3.下列计算正确的是（　C　） A.（a＋3b）（a－3b）＝a2－3b2 B.（－a＋3b）（a－3b）＝－a2－9b2 C.（－a－3b）（a－3b）＝－a2＋9b2 D.（－a－3b）（a＋3b）＝a2－9b2 选做题： 4.若m2－n2＝4，那么（m－n）2（m＋n）2的值为（　C　） A.4 B.8 C.16 D.32 5．先化简，再求值：(x+1)(x-1)＋x2(1-x)+x3，其中x＝2. 解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1. 将x＝2代入上式， 原式=2×22-1=7. 【综合拓展类作业】 6.对于任意正整数n，试说明：整式（3n＋1）（3n－1）－（3－n）（n＋3）的值一定能被10整除. 解：（3n＋1）（3n－1）－（3－n）（n＋3） ＝9n2－1－9＋n2 ＝10（n2－1）. 因为n为正整数， 所以n2－1为整数， 所以10（n2－1）能被10整除. 教学反思 通过本节课的学习在于调动学生的积极性，让学生从被动学习转化为主动学习，使他们在问题情景中发现、探索、结论；经过独立思考，合作交流能证明平方差公式.掌握公式的结构特征，能正确应用这个公式进行计算. 学科网（北京）股份有限公司 $$