精品解析：四川绵阳市东辰学校2024—2025学年上学期学业质量监测八年级期中数学卷

2024年秋季学期学业质量监测8年级数学试题 （A卷） 一、选择题（共8小题，每题4分） 1. 实数，，，0四个实数中，无理数的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：实数，，，0四个实数中，无理数有，，共2个， 故选：C． 2. 3的算术平方根是（　　） A. ±3 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义判断即可. 【详解】解：3的算术平方根是． 故选B． 【点睛】本题考查的是算术平方根的概念，属于基础题目，掌握算术平方根的概念是解题的关键. 3. 平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点的坐标特征求解即可． 【详解】解：点所在的象限是第四象限， 故选：D． 4. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 5. 若点与点关于y轴对称，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 故选：B． 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A．不等式两边都乘以，不等号的方向改变，，故选项不符合题意； B．不等式两边都加1，不等号的方向不改变，，故选项不符合题意； C．不等式两边都减3，不等号的方向不改变，，故选项不符合题意； D．不等式两边都除以4，不等号的方向不改变，，故选项符合题意； 故选：D． 7. 若的三边长，，满足，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，由已知可得，据此即可判断求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵为的三边长， ∴， ∵， ∴， 即， ∴一定是直角三角形， 故选：． 8. 某校初三（2）班60名同学为“地震灾区”捐款，共捐款432元，捐款情况如表： 捐款/元 2 5 10 50 人数/人 6 · · 2 表格中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款10元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系：捐款5元的人数+捐款10元的人数=60－捐款2元的人数－捐款50元的人数；5×捐款5元的人数+10×捐款10元的人数=432－2×捐款2元的人数－50×捐款50元的人数，把相关数值代入即可求解． 【详解】根据题意，捐款5元的人数+捐款10元的人数=60－6－2=52，5×捐款5元的人数+10×捐款10元的人数=432－2×6－50×2=320，可以列出方程组， 故选A． 【点睛】本题考查在实际问题中列出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出方程组． 二．填空题（共5小题，每题4分） 9. 若代数式有意义，则的取值范围为______． 【答案】x≥-5 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，x+5≥0， 解得x≥-5． 故答案为：x≥-5． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解决本题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 10. 若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相反数，立方根的性质求出及c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数、立方根的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11. 已知二元一次方程组，则的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，两个方程相减即可． 【详解】解：， 得：， 故答案为：3． 12. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据，设，可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 【详解】解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 三．解答题（共8小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握和运用各运算法则． （）先利用完全平方公式，二次根式的性质化简，然后合并即可； （）分别计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，然后合并即可； （）利用加减消元法即可求解； （）根据一元一次不等式的解法步骤即可求解 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴方程组的解为； 【小问4详解】 解： ． 15. 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． （1）将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，写出的三个顶点，，坐标． （2）求的面积． 【答案】（1） 如图， ∴即为所求， ，， （2）． 【解析】 【分析】（）根据图形平移的性质画出，并写出各点坐标即可； （）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可 【小问1详解】 解：，，； 【小问2详解】 解：的面积为 ． 16. 已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法和加减消元法，即可． （1）根据题意，得到，解出方程组的解，即可； （2）根据（1）中方程组的解，代入，求出，的值，即可． 【小问1详解】 ∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解 ∴ 令 由得，， 解得：； 把代入式，则 解得：； ∴方程组的解为：． 【小问2详解】 ∵方程组的解为：， ∴把代入中， ∴， 化简得：， 由得，； 由得，， 解得：； 把代入式，则， 解得：； ∴． 17. 6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． （1）求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； （2）某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 【答案】（1）购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． （2）该单位选择优惠一更划算． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元，根据购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元列出方程组求解即可； （2）分别计算出优惠一和优惠二的费用即可得到结论． 【小问1详解】 解：设购买一台型空调需要元，购买一台型空调需要元， 由题意，得 解得， 答：购买一台型空调需要2500元，购买一台型空调需要3200元． 【小问2详解】 解：选择优惠一所需费用为（元）； ∵（元）， ∴选择优惠二所需费用为元， ∵， ∴该单位选择优惠一更划算． 18. 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 【答案】（1）1 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质及解不等式，理解新定义时解题的关键． （1）利用题干中的同解不等式的定义求解； （2）利用题干中的同解不等式的定义及整除定义求解； （3）利用题干中的同解不等式的定义求出字母的取值，再解字母系数的不等式． 【小问1详解】 解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，解得：； 【小问2详解】 解：，解得：， ，解得：， ∵两不等式是同解不等式， ∴，即， ∵，是正整数， ∴为1或4或2， ∴或或； 【小问3详解】 解：，解得：， ∵不等式P和不等式Q是同解不等式， ∴， ，解得：， ∴， ∴，即，， ∴，即， ∴， ∴解得：， 即关于的不等式的解集为． 数学（B卷） 一．填空题（共5小题，每题4分） 19. 点P在y轴的右侧，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度分情况解答即可． 【详解】解：∵点P在y轴的右侧，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴点P的横坐标为3，纵坐标为﹣2或2， ∴P点的坐标是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 20. 如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据“”证明得出，再根据勾股定理结合正方形的面积得出同理可得， ，从而得出结果，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图， 如图，由题意可知，，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 又∵，，， ∴， 同理可得，， ∴， 故答案为：． 21. 已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式组的应用，先求出方程组的解，再把解代入到不等式中，最后解不等式即可求解，正确求出方程组的解是解题的关键． 【详解】解： 得，， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 22. 若，则的值是__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，分母有理化，先分母有理数化得出，求出，将原式变形为再将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 23. 按下面程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有的值是___． 【答案】131或26或5或 【解析】 【分析】利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出656，可得方程5x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类推即可求得所有答案． 【详解】解：用逆向思维来做： 第一个数就是直接输出其结果的：5x+1=656， 解得：x=131； 第二个数是（5x+1）×5+1=656， 解得：x=26； 同理：可求出第三个数是5； 第四个数是， ∴满足条件所有x的值是131或26或5或． 故答案为：131或26或5或． 【点睛】此题考查了方程与不等式的应用，解题的关键是注意理解题意与逆向思维的应用． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）的长为． 【解析】 【分析】（）由，得，然后通过“”证明即可； （）连接，由勾股定理得，由（）得，，，则，由勾股定理得，则，故，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵，， ∴， 由（）得：， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的长为． 25. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝______； ②＝______． （2）应用：求的值． （3）拓广：直接写出的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据（一中的解法解答即可； ②根据（二中的解法解答即可； （2）根据平方差公式和分母有理化可以解答本题； （3）根据完全平方公式和平方差公式可以解答本题． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式、分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是解答本题的关键． 26. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】（1）证明：∵S梯形ABCD=S梯形ABCD= ． （2）能，连接，证明如下： 如图： S四边形ABCD=， S四边形ABCD=， ， ． （3）①C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）； ②符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（﹣2，0）、（﹣，0） 【解析】 【分析】（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）根据四边形ABCD的面积的两种表示方法即可证明； （3）①根据翻折的性质和勾股定理即可求解； ②根据等腰三角形的性质分四种情况求解即可． 【详解】解：（1）略 （2） （3）①设，则，又， 根据翻折可知： ，， ． 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ，． 答：、两点的坐标为，． ②如图： 当点在轴正半轴上时， ， 设，则，解得， ， ，； ，，， ，； 当点在轴负半轴上时， ，， ； ，， ， ，． ∴符合条件的所有点的坐标为：，、，、、，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季学期学业质量监测8年级数学试题 （A卷） 一、选择题（共8小题，每题4分） 1. 实数，，，0四个实数中，无理数的个数是（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 3的算术平方根是（　　） A. ±3 B. C. 3 D. 3. 平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 024 5. 若点与点关于y轴对称，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 若的三边长，，满足，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 8. 某校初三（2）班60名同学为“地震灾区”捐款，共捐款432元，捐款情况如表： 捐款/元 2 5 10 50 人数/人 6 · · 2 表格中捐款5元和10元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款10元的有y名同学，根据题意，可得方程组（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每题4分） 9. 若代数式有意义，则的取值范围为______． 10. 若a、b互为相反数，c为8的立方根，则___________． 11. 已知二元一次方程组，则的值是______． 12. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长，如果设，则可列方程为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________． 三．解答题（共8小题，共48分） 14. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15. 如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． （1）将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，写出的三个顶点，，坐标． （2）求的面积． 16. 已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 17. 6月以来，某地持续高温，最高气温超过了30度，许多市民纷纷购买空调防暑降温，已知购买1台型空调和2台型空调需要8900元；购买2台型空调和3台型空调需要14600元． （1）求购买一台型空调和一台型空调分别需要多少元； （2）某单位需要购买型空调5台，型空调3台，现商家推出店庆活动． 优惠一：型空调满3台每台打8折，型空调不优惠； 优惠二：总购物金额满20000元减2000元（两种优惠不同时享受），问该单位如何购买更划算． 18. 我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式． （1）若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值； （2）若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值； （3）若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集． 数学（B卷） 一．填空题（共5小题，每题4分） 19. 点P在y轴的右侧，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是_____． 20. 如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则______． 21. 已知二元一次方程组，其中方程组的解满足，则的取值范围______． 22. 若，则的值是__________ 23. 按下面程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有的值是___． 二．解答题（共3小题，共30分） 24. 如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形： （一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如： ； ． （二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： ； ． 请回答下列问题： （1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果． ①＝______； ②＝______． （2）应用：求的值． （3）拓广：直接写出的值． 26. 如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c） （1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2； （2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程； （3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处． ①请写出C、D两点的坐标； ②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $