函数的零点与方程的解练习题-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

函数的零点与方程的解练习题 一、单选题 1．“”是“函数只有一个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A．B．C．D． 3．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4．已知m为常数，函数，则“”是“有零点”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．若函数f(x)唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是(　　) A．f(4) B．f(2) C．f(1) D．f 6．设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 7．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若方程的实根在区间上，则的值可能为（    ） A． B．1 C．2 D．0 10．下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是， C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是. D．若函数在区间上有零点，则一定有 11．已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 三、填空题 12．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算. 13．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为 ． 14．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 四、解答题 15．已知关于的一元二次方程． (1)实数为何值时，方程有两个不同的正根； (2)实数为何值时，方程有一个正根，一个负根； (3)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2； (4)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0． 16．已知函数是定义域为的奇函数. (1)求； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 17．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 18．已知函数， (1)若是偶函数，求实数a的值； (2)设函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围. 19．关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足试判断方程根的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的零点与方程的解练习题 一、单选题 1．“”是“函数只有一个零点”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，函数只有一个零点； 当时，函数只有一个零点1； 若函数只有一个零点，则或． 所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件． 故选：C. 2．下列图象表示的函数中没有零点的是（    ） A． B． C． D． 【详解】观察图象可知只有A选项中的图象与轴没有交点，其他BCD选项中的图象与轴有交点， 这意味着只有A选项中的函数没有零点. 故选：A. 3．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数， 又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是. 故选：B. 4．已知m为常数，函数，则“”是“有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】当时，恒成立，即函数没有零点， 反之，有零点，即有解，因此，则， 所以“”是“有零点”的必要不充分条件. 故选：B 5．若函数f(x)唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是(　　) A．f(4) B．f(2) C．f(1) D．f 【详解】由题意的唯一零点在上，因此与符号相同，，，符号相同且与符号相反， 故选：C． 6．设x0是函数的零点，若，则的值满足（    ） A． B． C． D．的符号不确定 【详解】∵x0是函数的零点，∴， 因为是单调递减函数，是单调递增函数， 所以函数是单调减函数， 故当 时，则， 故选：C． 7．已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，函数有三个不同的零点， 即方程有3个解， 即函数与有3个交点， 画出函数的大致图象： 由图可知，要使函数与有3个交点， 则， 所以实数b的取值范围为. 故选：D. 8．若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】若时，，则，满足题意， 若，当，解得且，此时满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 若时，，此时， 此时方程在只有一根，满足题意， 当，得时，此时， 此时方差的根为，满足题意， 综上可得或 故选：C 二、多选题 9．若方程的实根在区间上，则的值可能为（    ） A． B．1 C．2 D．0 【详解】不是方程的实根,所以方程即方程， 分别作出函数和的图像 ， 从图像上可得出：方程在区间和内各有一个实根． 下面证明：方程在区间和内各有一个实根， 即证函数在区间和内各有一个零点， 函数在区间是增函数，又， ，即， 由零点存在性定理知，函数在区间内仅有一个零点，即方程在区间内有且仅有一个实根， 同理得函数在区间是增函数，当x趋近于-2时，，， 则有函数在区间内仅有一个零点， 即方程在区间内有且仅有一个实根. 所以方程在区间和内各有一个实根，则的值可能为-2或1. 故选：AB． 10．下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是， C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，则实数的取值范围是. D．若函数在区间上有零点，则一定有 【详解】对于A，令，显然为增函数， 因为，， 所以在内有唯一零点，所以方程在内有唯一解， 因为方程的解在内，所以，故A正确； 对于B，令，得或， 所以函数的零点是和，故B不正确； 对于C，令，依题意可得，即， 解得，故C正确； 对于D，因为在上有两个零点，但是，故D不正确； 故选：AC 11．已知函数关于的方程，下列判断中正确的是（    ） A．时方程有3个不同的实数根 B．方程至少有2个不同的实数根 C．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 D．若方程有3个不同的实数根，则的取值范围为 【详解】方程根的问题可以转换成和图象交点问题， 对于A：由图象可知：时方程有3个不同的实数根，正确； 对于B：当时，结合图象可知，方程无解，故错误； 对于C：由图象可知和由3个交点时，的取值范围为，故正确； 对于D：假设，结合图象可知，所以，故正确. 故选：ACD 三、填空题 12．已知函数在上有一个零点，用二分法求零点的近似值（精确度为0.1时，至少需要进行 次函数值的计算. 【详解】设对区间二等分次，初始区间长度为1， 第1次计算后区间长度为； 第2次计算后区间长度为； 第3次计算后区间长度为； 第4次计算后区间长度为； 故至少计算4次. 故答案为：4. 13．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为 ． 【详解】由题意可得，方程，，的根分别为，，， 即直线与，，的交点横坐标分别为，，， 在同一直角坐标系内作出函数，，，的图象如下， 因为对数函数的图象在内，底数越大，图象越高， 所以图中，与函数，，交点的横坐标依次是，，， 即. 故答案为：. 14．已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为 . 【详解】令，可得， 所以，所以或， 由，又，可得，解得或， 方程无解，方程有一解，故有一解， 要使函数有三个零点， 则有两解，即与的图象有两个交点， 作出函数的图象的示图如下： 由图象可得，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．已知关于的一元二次方程． (1)实数为何值时，方程有两个不同的正根； (2)实数为何值时，方程有一个正根，一个负根； (3)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根小于2； (4)实数为何值时，方程有一个根大于2，另一个根不大于0． 【详解】（1）由题意知 （2）由题意知． （3）由题意知． （4）由题意知． 16．已知函数是定义域为的奇函数. (1)求； (2)若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【详解】（1）由是定义域为的奇函数，则，解得， 则，由于，解得，则， 经检验：，则满足题意.则. （2）由于，易得在定义域内单调递减. 则由恰有两个不同的实根.由于是定义域为的奇函数且单调递减， 则有两个不同根即可.则有两个不同根即可. 令与个数一一对应，转化为有两个不同正根即可. 满足，解得，即， 故的取值范围为. 17．已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【详解】（1）， ， 恒成立， ， 原不等式的解集为； （2）方程有两个不同的实数根， 有两个不同的实数根， 令，则在有两个不同的实数根， 令， 由已知得，解得. 18．已知函数， (1)若是偶函数，求实数a的值； (2)设函数，若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数a的取值范围. 【详解】（1）因为是偶函数，所以， 解得. （2）， 当时，不符合题意，舍去 当时，显然单调递增，，；，，故时一定有且只有一个实数根. 当时，，当且仅当时“=”成立. 综上， 或. 19．关于的方程 (1)若方程无实根，求的取值范围； (2)若方程有4个不等实根，求的取值范围； (3)若，且满足试判断方程根的个数. 【详解】（1）令，则， 原方程转化为（*）， 原方程无实根，则需（*）式无实根或实根均小于零， 令， ①若（*）式无实根，则， 解得， ②两根均为负，则， 解得， 综合①②，可知的取值范围是； （2）作函数的图象， 可知或时，每一个值对应2个不同的值， 时一个值对应3个不同的值， 时一个值对应4个不同的值， 要使原方程有四个不等实根， ①（*）式一根为零，另一根大于，无解； ②（*）有两不等根且两根均大于，则，解得； ④（*）式有有1实根在之间，另一根小于零则； 解得；综上所述，取值范围为； （3）因为， 所以， 因为为正实数，所以， 可得，即， 所以，即， 当且仅当即，时等号成立， 故，此时有， 故（*）式有两不等实根且一根在之间，另一根大于1， 故原方程有6个实根. 学科网（北京）股份有限公司 $$