12.3角的平分线的性质 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学 一、单选题 1．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连结．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④ 2．如图，中，，平分，，，则的面积为（    ） A．12 B．10 C．15 D．30 3．如图，平分于点，点是射线上的任意一点，则的长度不可能是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，的角平分线，交于点，，的面积为16，四边形的面积为5，则的面积为（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 5．如图，平分，，与相等的角有（      ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．学完尺规作图，某数学兴趣小组研究“过直线上一点作已知直线的垂线”这一问题，得到了很多种解决方案，小丽提出：可以将直线看作以点为顶点的平角，作出该角的平分线即可，作图痕迹如图所示，则的依据是（  ） A． B． C． D． 7．下列命题是假命题的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形任意两边之和大于第三边 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．两边和其中一边的对角分别对应相等则这两个三角形一定全等 8．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF,以下结论： ①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC; 其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，且△ABD的面积为2，则△ABC的面积为 ．    10．如图，已知AM∥BN，∠A=60º，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数为 ． 11．如图，在中，，，平分交于，于，且，则的周长是 ． 12．如图，△ABC中，已知AB=5，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AC交AC于点E，若DE=2，则△ABC的面积为 ．    13．如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 6，则点D到AB的距离为 . 三、解答题 14．如图1，点M在直线AB上，点P，N在直线CD上，过点N作NE∥PM，连接ME． （1）若AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，求证：∠MEN＝∠BME+∠MPN； （2）如图2，ME的延长线交直线CD于点Q，作NG平分∠ENQ交EQ于点G，作EF平分∠MEN，过点E作HE∥NG．若点F，H分别在MP，PQ上，探究当∠MPQ+2∠FEH＝90°时，线段NE与NG的大小关系． 15．如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 16．如图，点A在∠MON的边OM上，选择合适的画图工具按要求画图． (1)反向延长射线ON，得到射线OP，画∠MOP的角平分线OQ； (2)在射线OP上取一点B，使得OB＝OA； (3)在射线OQ上作一点C，使得CB+AC最小，这样作图依据是 　　； (4)过点O画OD⊥OQ，垂足为点O，用量角器量得∠NOD的度数为 　　°． 17．如图，平分，交的延长线于点，且．    (1)求证：； (2)若，，求线段的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B B A D C 1．D 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，②正确；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=40°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA=∠OHB=90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确； 同时∠OAC=∠OBD， 由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB， ∴∠AMB=∠AOB=40°，故①正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示， 则∠OGA=∠OHB=90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴OG=OH， ∴MO平分∠AMD，故④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM， 在△AMO与△DMO中， ， ∴△AMO≌△DMO（ASA）， ∴AO=OD， ∵OC=OD， ∴OA=OC， 而OA＜OC，故③错误； 正确的个数有3个； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 2．C 【分析】过点作交于点，由角平分线的性质，即可求得的长，再利用三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ，平分， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积计算，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的线段中，垂线段最短，熟练掌握性质是本题的关键． 根据角平分线的性质，可知点D到和的距离相等，并且点到直线的线段中，垂线段最短，最短距离为6，即可判断． 【详解】∵平分，于点E，， ∴D到的距离等于6， ∴ 故的长度不可能为5． 故选：A． 4．B 【分析】过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，根据角平分线的性质得出，证明，得出，从而得出，得出，证明，，得出，，即可得出． 【详解】解：过点P作于点F，过点P作于点G，过点P作于点H，如图所示： ∵，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理得：， ∴，， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定，证明． 5．B 【分析】通过角平分线可以得到∠ABE和∠EBC相等，再利用两直线平行内错角相等即可得到∠EBC与∠DEB相等． 【详解】解：∵平分 ∴∠ABE=∠EBC 又∵ ∴∠EBC=∠DEB=∠ABE ∴有两个角与∠ABE相等 故选：B． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 6．A 【分析】根据作图痕迹得：PA=PB，OA=OB，OP=OP，结合三角形全等判定定理，即可得到答案． 【详解】由作图痕迹得：PA=PB，OA=OB，OP=OP， ∴（SSS）， 故选A． 【点睛】本题主要考查尺规作图以及三角形全等的判定定理，掌握SSS证三角形全等，是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查命题真假的判定，直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的三边关系，全等三角形的判定． 【详解】解：直角三角形的两个锐角互余，该命题是真命题，故选项A不符合题意； 三角形任意两边之和大于第三边，该命题是真命题，故选项B不符合题意； 角的平分线上的点到角的两边的距离相等，该命题是真命题，故选项C不符合题意； 两边和其中一边的对角分别对应相等则这两个三角形一定全等，该命题是假命题，故选项D符合题意． 故选：D． 8．C 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC， ∴①正确； ∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC， ∠BDC＝∠BAC, ∴②正确； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°-∠ABD， 故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC， ∴∠ADB不等于∠CDB， ∴④不正确； 即正确的有3个， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 9．3； 【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由面积可求得DE，根据角平分线的性质可求得DF，可求得△ACD的面积，进而求△ABC的面积． 【详解】    解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵S△ABD=2 ∴ AB•DE=2， 又∵AB=4 ∴ ×4×DE=2，解得DE=1， ∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC ∴DF=DE=1， ∴S△ACD= AC•DF= ×2×1=1， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=2+1=3 故答案为3． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 10．30º． 【分析】由AM//BN得∠ACB=∠CBN；当∠ACB=∠ABD时，有∠CBN=∠ABD，得∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，即∠ABC=∠DBN，根据∠A=60º求得∠ABN=120°；最后由∠CBD=60°和角的和差即可解答． 【详解】解：∵AM//BN，∠A=60º ∴∠ACB=∠CBN，∠A+∠ABN=180°，即∠ABN=120° ∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN ∴∠CBP=∠ABP, ∠DBP=∠NBP, ∴∠CBD=∠CBP +∠DBP =∠ABP +∠NBP=(∠ABP +∠NBP) =∠ABN= 60° 当∠ACB=∠ABD时， ∴∠CBN=∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC=∠DBN， ∴∠ABC+∠DBN=60°， ∴∠ABC=30° 故答案为30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线的性质是解答本题的关键． 11． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长，即可得解．本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出的周长是解题的关键． 【详解】 解：，平分，，， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长是． 故答案为：． 12．9 【分析】作DF⊥AB，垂足为F．根据角平分线性质求出DF=DE=2，再利用即可求解． 【详解】解：作DF⊥AB，垂足为F． ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC ，DF⊥AB， ∴DF=DE=2， ∴    故答案为：9 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题意添加辅助线构造  角平分线性质图形和三角形高线是解题关键． 13．6 【分析】结合已知条件在图形上的位置，由角平分线的性质可得点D到AB的距离是6． 【详解】点D到AB的距离=CD=6. 故答案为6. 【点睛】此题考查角平分线的性质，解题关键在于掌握其性质. 14．（1）见解析；（2）NE＜NG，见解析 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质即可得出结论； （2）利用，平分，可得；利用，，平分可得；进而可得为等腰直角三角形，则，由于，于是，根据垂线段最短可得． 【详解】解：（1）证明：过点作，如下图，    ， ． ，， ． ． ， ． ． ， ． （2），理由： ， ． 平分， ， ． ， ． 平分， ． ， ． ． ， ． 即， ． ． ． ， ． 即． 垂线段最短， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理．过点作已知直线的平行线是解题的关键． 15．(1)见解析 (2)等角对等边；三线合一，；；； 【分析】本题主要考查作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）根据作图得出，得，再证明，再证明，得，再由为的中点可得出结论 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（等角对等边） 又∵点D为的中点， ∴（三线合一） ∴ 在和中， ∴ ∴． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)两点之间线段最短 (4)28或152 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据要求画出图形即可； （3）利用两点之间线段最短解决问题即可； （4）利用测量法解决问题． 【详解】（1）解：如图，射线ON，射线OQ即为所求； （2）解：如图，线段OB即为所求； （3）解：如图，点C即为所求． 作图依据：两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （4）解：测量可知：∠DON＝28°或152°， 故答案为：28或152． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，射线，线段，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17．(1)证明见解析； (2) 【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识， （1）过点作于点，则，证明，得，即可得证； （2）证明，得，则，进一步得到，得到，可得答案； 通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴；    （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴线段的长度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$