第23章解直角三角形 单元复习题2024-2025学年沪科版九年级数学上册

沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形 单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）如图是石家庄市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、f轴的正方向建立平面直角坐标系，规定1个单位长度表示．市二中的坐标为，省二院的坐标为，则省二院在市二中的（　　）． A．北偏东方向 B．北偏西方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 2．（4分）如图，在中，，按以下步骤作图： ①分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ②作射线． 若C为上的一点，点A，D位于上，且，，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C． D． 3．（4分）的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．（4分）下列四个数中，最小的是（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，斜坡长20米，其水平宽度为米，则斜坡的坡度为（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，中，，，，为中点，以为对角线长作边长为3的菱形，现将菱形绕点顺时针旋转一周，旋转过程中当所在直线经过点时，点到菱形对角线交点之间的距离为（　　） A． B． C．或 D．或 7．（4分）如图，已知点，，在同一直线的水平地面上，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，在点处测得建筑物的顶端的仰角为，若，则建筑物的高度为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）电线杆直立在水平的地面上，是电线杆的一根拉线，测得，，则拉线的长为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）图1是一款平板电脑文架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（ ）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）． A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm 10．（4分）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为（　　） A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度　 　米． 12．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=　 　． 13．（5分）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形．点，，在一条直线上，，、分别是对角线、的中点．当点在线段上移动时，点、之间的距离最短为　 　． 14．（5分）如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接． （1）外接圆的直径的最小值是　 　； （2）内切圆的半径的最大值是　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分） 现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°． （1）求矩形图案的面积； （2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6） 16．（8分）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为，且斜坡的坡比为． （1）（4分）求小明从点A到点D的过程中，他上升的高度； （2）（4分）大树BC的高度约为多少米？（参考数据：，，） 17．（8分）某动物园熊猫基地D新诞生了一只小熊猫，吸引了大批游客前往观看．由于A、B之间的道路正在进行维护，暂时不能通行．游客由入口A进入园区之后可步行到达点C，然后可以选择乘坐空中缆车从，也可选择乘坐观光车从．已知点C在点A的北偏东45°方向上，点D在点C的正东方向，点B在点A的正东方向300米处，点D在点B的北偏东60°方向上，且米．（参考数据：，，） （1）（4分）求的长度（精确到个位）； （2）（4分）已知空中缆车的速度是每分钟200米，观光车的速度是每分钟320米，若游客想尽快到达熊猫基地D，应选择乘坐空中缆车还是观光车？ 18．（8分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号） 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，于点B，底座米，底座与支架所成的角，点H在支架上，篮板底部支架．于点E，已知米， 米，米． （1）（5分）求篮板底部支架与支架所成的的度数． （2）（5分）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：，） 20．（10分）雨伞是我们生活中的常用工具．下雨时，雨往往是斜打的，且都是平行的．某雨天，小明站在如图所示的一把雨伞的正下方，伞柄AE与地面垂直，伞面，伞面直径 ，伞的边缘点 B到地面的距离 ，雨线与地面的夹角 ，此时，小明身上被雨淋湿，那么将伞至少向下移动多少距离，才能使得身上不被雨淋湿？(参考数据： ) 21．（12分）仙女山大草原部分景点的道路分布如图所示，其中是骑行公路．经测量，点C在点B正南方，点D在点B正东方，，米，点A在点B的北偏西23°方向，米，点E在点D正北方且在点A正东方．（参考数据：，，，） （1）（6分）求的距离；（结果精确到个位） （2）（6分）小华和小亮同时从游客中心点C出发，前往点E处的露营基地，小华沿路线步行到达基地，速度为；小亮以的速度沿到达点A后，立即骑行到达点E，骑行速度为，请计算说明小华和小亮谁先到达E点？ 22．（12分）为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）（6分）求坐垫E到地面的距离； （2）（6分）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OC在x轴上，点C在点O的右侧，抛物线的图像经过O，A，B三点，，OA＝4，若点D以每秒2个单位的速度从点O出发沿边OA向点A运动，同时点E以每秒3个单位的速度从点O出发沿边OC向点C运动，点F在AC上，，设运动时间为t． （1）（4分）求抛物线解析式； （2）（4分）设和的面积和为是S，当t为何值时，S最小，并求出S的最小值； （3）（6分）若点P在抛物线上，当t＝l时，在平面内是否存在点Q，使得以DE为边，点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 【解析】【解答】解：， 故答案为：C． 【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】D 【解析】【解答】解：设 在Rt△ABD中，， ∴， ∴BC=BD+CD=， 在Rt△ABC中，， ∴. 故答案为：D. 【分析】设AB=x，在Rt△ABD中，由∠ABD得正切函数表示出BD，再根据BC=BD+CD表示出BC，在Rt△ABC中，根据∠C的正切函数建立方程求解即可. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意，△ABC为直角三角形， ∴cos∠ACB==， ∴AC==； 故答案为：B. 【分析】根据题意，在直角三角形中由余弦定义求出AC的值。 9．【答案】C 10．【答案】D 11．【答案】 12．【答案】 【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵AB=AC=5， ∴BE= BC= ×8=4，∠BAE= ∠BAC， ∵∠BPC= ∠BAC， ∴∠BPC=∠BAE． 在Rt△BAE中，由勾股定理得 AE= ， ∴tan∠BPC=tan∠BAE= ． 故答案为： ． 【分析】先过点A作AE⊥BC于点E，求得∠BAE= ∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在Rt△BAE中，由勾股定理得AE的长，利用锐角三角函数的定义，求得tan∠BPC=tan∠BAE= ． 13．【答案】 14．【答案】； 15．【答案】（1）3.2（平方厘米）；（2）5个 16．【答案】（1）小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为3米 （2）大树的高度约为米 17．【答案】（1）米； （2）应选择乘坐观光车． 18．【答案】米． 19．【答案】（1） （2）大约是2.75米 20．【答案】 21．【答案】（1）的距离约为550米 （2）小亮先到达E点 22．【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为 23．【答案】（1）解：过点A作 轴于点G， ∴ ． ∵ ，OA＝4， ∴在 中， ， ∴ ， ∴ ． 又菱形OABC， ∴OA＝AB＝4， ， ∴ ． 由抛物线过原点，设抛物线解析式为 ． 由题意得 解得 ， ． ∴抛物线的解析式为 （2）解：由题意得OD＝2t， ． 过点D作 于点M， 于点N． ∵菱形OABC， ∴OA＝OC＝4， ∴EC＝4-3t． 又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ，解得 ． 在 中， ． 在 中， ． ． 当 ， （3）解：当t＝l时，在平面内存在点Q，使得以DE为边，以点D，E，P，Q为顶点的四边形为矩形． 此时，OD＝2，OE＝3， ， ． 如图，过点E作 ，过点D作 ，作 于H，延长DH交 于K． 易证 ， ∴ ，即 ． 解得 ， ∴ ． ∴ ， ∴ ． 由题得 解得 或 ． ∴点P的横坐标为-2或6． ∴ ， ， ， ∴将点P先向左平移2个单位，再向上平移 个单位，得点Q， ∴点Q的横坐标为-4或4． 由题意得 解得 或 ． ∴点P的横坐标为 或 ． 将点P先向右平移2个单位，再向下平移 个单位，得点Q， ∴点Q的横坐标为 或 ． 综上，满足题意的矩形有 ， ， ， ，点Q的横坐标分别为－4，4， ， ． 【解析】【分析】（1）过点A作AG⊥x轴于点G，由三角函数的概念可得AG、OG，据此可得点A的坐标，由菱形的性质可得OA＝AB＝4，AB∥OC，表示出点B的坐标，由抛物线过原点，设抛物线解析式为y=ax2+bx，然后将A、B的坐标代入求出a、b的值，据此可得抛物线的解析式； （2）由题意得OD＝2t，OE=3t，过点D作DM⊥OC于点M，FN⊥OC于点N，由菱形的性质可得OA=OC=4，则EC＝4-3t，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△ODE∽△CEF，由相似三角形的性质可得CF，利用三角函数的概念可得DM、FN，然后根据三角形的面积公式表示出S，接下来根据二次函数的性质进行解答； （3）过点E作l1⊥DE，过点D作l2⊥DE，作DH⊥OC于H，延长DH交l1于K，由两角对应相等的两个三角形相似可得△DEH∽△EKH，根据相似三角形的性质可得KH，表示出点K的坐标，联立l1与抛物线的解析式求出x，利用三角函数的概念可得OH、DH，由EH=OE-OH可得EH，据此可得点Q的横坐标，同理联立l2与抛物线解析式求出x，进而可得点Q的横坐标. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$