第四章指数函数与对数函数章末综合检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章《指数函数与对数函数》章末综合检测 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 下列区间包含函数零点的为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个正整数，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为（ ）．（参考数据：） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的零点仅为0的是（ ） A B. C. D. 10. 下列函数的最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ） A. 时，的增区间为 B. 是值域为的充要条件 C. 存在，使得为奇函数或偶函数 D. 当时，的定义域不可能为 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________. 13. 已知是偶函数，当时，，则______. 14. 函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2） 计算． 16. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 17. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， 求函数的值域． 18. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； （2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 19. 如图，在函数图像任取三点，满足，，，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F． （1）当时，求梯形ADEB周长； （2）用a表示的面积S，并求S的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章《指数函数与对数函数》章末综合检测 参考答案 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 或， ，所以. 2. 计算：（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【解析】B 由对数运算法则化简得 . 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为在上单调递增，且，则，即， 又因为在上单调递减，且，则，即， 又因为在上单调递减，且，则，即， 所以. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 不等式， ∴，即． ∴或， 解得：或， ∴解集是． 5. 下列区间包含函数零点的为（ ） A. B. C. D. 【解析】C 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 因为， 所以，函数零点在区间 内. 6. 已知一个正整数，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为（ ）．（参考数据：） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【解析】C 设这个15次方根为，则，其中且， 故，，,，故， ，，由于,故． 7. 已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称作出函数图象： 因为函数仅有4个零点，所以函数与的图象有4个交点， 根据图象可知：，即实数的取值范围是. 8. 已知函数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由于，所以定义域为， 所以， ， ， 所以是奇函数， 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由得， 即， 所以， 解得，所以的取值范围是. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数的零点仅为0的是（ ） A B. C. D. 【解析】ABD 对于A：令，解得，所以函数的零点仅为0，故A正确； 对于B：令，解得，所以函数的零点仅为0，故B正确； 对于C：令，解得或，所以函数的零点为0或7，故C错误； 对于D：令，解得或（舍去）， 可得，所以函数零点仅为0，故D正确. 10. 下列函数的最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【解析】BC对于A，由二次函数性质可知，无最小值，A错误； 对于B，令， 因为单调递增， 所以，当时等号成立， 所以，B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，C正确； 对于D，由指数函数性质可知，，所以，D错误. 11. 已知函数且，则下列命题为真命题的是（ ） A. 时，的增区间为 B. 是值域为的充要条件 C. 存在，使得为奇函数或偶函数 D. 当时，的定义域不可能为 【解析】ABD 当时，在上单调递增，故A正确； 当可以取遍之间的一切实数值，从而可以取遍的一切值，即值域为，此时（舍去），是值域为的充要条件，故B正确； 的定义域是不等式的解集，不论实数取何值， 定义域都是无限集，要使为偶函数，则， 于是，即对定义域内的实数恒成立，， 但此时对数的底数为零，无意义；要使为奇函数， 则，即，于是， 即，该式不能恒成立.综上，错误； 的解集为，等价于，即， 所以当时，的定义域不可能为，故D正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为___________. 【解析】函数需满足 ， 解得 且 ， 故函数的定义域为. 13. 已知是偶函数，当时，，则______. 【解析】是偶函数，. 14. 函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______． 【解析】如图①，当时，函数的图象是由向上平移个单位后， 再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意， 如图②，当时，函数图象是由向下平移m个单位后， 再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意， 如图③，时不合题意． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）计算． 【解析】（1） ； （2） . 16. 集合 （1）求 （2）非空集合，求实数a的范围. 【解析】（1） 所以或 所以 （2）因为，所以， 则即，需满足且，解得 所以实数a的范围是. 17. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）当时， 求函数的值域． 【解析】（1）设，，， 所以，即， 解得， 所以，解得， 即； （2）由（1）得，当，， 所以函数可转化为，， 当时，取最小值为， 当或时，取最大值为， 即当时，取最小值为， 当或时，取最大值为， 即函数的值域为. 18. 某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk，治愈效果的普姆克系数y（单位：pmk）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式； （2）求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：，） 【解析】（1）函数与在上都是增函数， 随着的增加，函数的值增加的越来越快， 而函数的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大， 因此选择模型符合要求． 根据题意可知时，；时，， ∴，解得． 故该函数模型的解析式为，，； （2）当时，，元旦治愈效果的普姆克系数是， 由，得， ∴， ∵，∴， 即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份． 19. 如图，在函数图像任取三点，满足，，，分别过A、B、C三点作x轴垂线交x轴于D、E、F． （1）当时，求梯形ADEB周长； （2）用a表示的面积S，并求S的最大值． 【解析】（1）由题可得，，. ，则梯形ADEB的周长为； （2）设与BE交点为P，则S. 又，且，E为DF中点，则 由梯形中位线定理得（若，变为三角形中位线，结论不变.）， 则 则S， 其中.因，则函数在上单调递增， 得当时，. 当且仅当时取等号.又函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号. 即的面积，其中； 当且仅当时，的面积有最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$