第21章二次函数与反比例函数 单元复习题2024-2025学年沪科版九年级数学上册

沪科版九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数 单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（　　） A． B． C． D． 2．（4分）已知点 ，点 在反比例函数 上，则 的值为（ ） A． B．12 C． D．6 3．（4分）如图，关于抛物线，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．图象与x轴有唯一交点 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的顶点坐标是 5．（4分）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，点在上，轴于点，交于点，则的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 6．（4分）将抛物线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到新抛物线（　　） A． B． C． D． 7．（4分）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴在轴的右侧 B．图象与轴的交点坐标为 C．图象与轴的交点坐标为和 D．函数的最小值为 8．（4分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y= （x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（　　） A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D．﹣36 9．（4分）已知函数，且时，取到最大值，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，A、B是函数上两点，P为一动点，过点P作轴，轴，下列说法：①；②；③若，则平分；④若，则，其中正确有（　　） A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、C，取线段的中点D，连接，则四边形的面积为　 　． 12．（5分）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值　 　． 13．（5分）把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是　 　． 14．（5分）如图，点，在反比例函数的图象上，延长与轴负半轴交于点，连接，若点是的中点，的面积等于，则的值为　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线．我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”． （1）（4分）当时， ①求该抛物线的顶点坐标； ②求该抛物线与轴围成的图形边界上的整点数 （2）（4分）若该抛物线与直线围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出的取值范围． 16．（8分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480km，设小汽车的行驶时间为t(h)，行驶速度为v(km/h)，且全程速度限定为不超过120km/h. （1）（4分）求v关于t的函数表达式. （2）（4分）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发， ①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地，求小汽车行驶速度v的取值范围. ②方方能否在当天11点30分前到达B地?请说明理由. 17．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为，，点B的横坐标为，点A的纵坐标为4，连接，． （1）（2分）试确定反比例函数的表达式； （2）（3分）求的面积； （3）（3分）直接写出不等式的解集． 18．（8分）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升20℃，加热到100℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）与通电时间x（min）之间的关系如图所示． （1）（4分）求当4＜x＜a时，y与x之间的函数表达式； （2）（4分）加热一次，水温不低于40℃的时间有多长？ 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）如图，在正方形中，已知：点，点在抛物线上，点，点在轴上． （1）（5分）求点的坐标； （2）（5分）连接交抛物线于点，求点的坐标． 20．（10分）如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米，米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）（5分）求抛物线的表达式； （2）（5分）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚拋物线部分悬挂下来（条幅的宽可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于底面上方2米．设条幅与的水平距离为米，求出的取值范围． 21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）． （1）（4分）求该抛物线的函数解析式； （2）（4分）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值； （3）（4分）若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 22．（12分）在平面直角坐标系中，过点且平行于x轴的直线与直线交于点P，点P关于直线的对称点为点Q，抛物线经过点P、Q． （1）（4分）点P的坐标为　 　；点Q的坐标为　 　． （2）（4分）求抛物线的表达式． （3）（4分）若点A在抛物线上，且点A横坐标为2m．过点A向直线作垂线，设垂足为B，当点A与点B不重合时，以为边向下作矩形，使． ①当矩形的中心恰好落在抛物线上时，求m的值． ②当抛物线恰与有交点时，设该交点为E，若，直接写出m的值． 23．（14分） 综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点点是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点的横坐标为过点作直线轴于点，作直线交于点． （1）（4分）求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； （2）（4分）当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标； （3）（6分）连接，过点作直线，交轴于点，连接试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点A(-3，4)与点B(2，a)都在反比例函数的图象上， ∴-3×4=2a， ∴a=-6. 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数图象上任意两点的横纵坐标的乘积等于比例系数k，列出方程，求解即可. 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】A 【解析】【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1， ∴S△POB＝2-1＝1． 故答案为：A． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA−S△BOA进行计算即可． 6．【答案】B 【解析】【解答】解：根据“左加右减”， 抛物线先向左平移个单位 得到抛物线； 根据“上加下减”，抛物线再向上平移个单位 得到抛物线 . 故答案为：B. 【分析】根据函数图象平移法则“左加右减，上加下减”即可求得. 7．【答案】D 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵A（﹣3，4）， ∴OA= =5， ∵四边形OABC是菱形， ∴AO=CB=OC=AB=5， 则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8， 故B的坐标为：（﹣8，4）， 将点B的坐标代入y= 得，4= ， 解得：k=﹣32． 故选C． 【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可． 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】 12．【答案】（满足都可以） 【解析】【解答】解：由题意得必然经过第二、四象限， ∵， ∴反比例函数的一次函数的交点在同一个象限， ∴反比例函数（且）的图像经过第一、三象限， ∴6-3k＞0， ∴， ∴满足条件的k值为1.5， 故答案为：（满足都可以） 【分析】先根据一次函数的性质即可得到必然经过第二、四象限，进而根据题意即可得到反比例函数经过第一、三象限，再根据反比例函数的性质即可得到，进而即可得到满足条件的k值为1.5。 13．【答案】 【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为，即． 故答案为：． 【分析】根据平移的性质先求出，再求解即可。 14．【答案】-6 【解析】【解答】解：如图，连接，作轴，轴， 点，在反比例函数的图象上， ， ， ， 点是的中点， 的面积等于， ， 设， ， ，，， ， ， ， 故答案为：-6. 【分析】先利用反比例函数比例系数k的几何意义得到梯形的面积，再利用点坐标表示出梯形面积的表达式，然后计算k值. 15．【答案】（1）①；②，，，，，，， （2） 16．【答案】（1）解：∵vt=480， ∴. （2）解：① 8点至12点48分时间长为小时， 8点至14点时间长为6小时， 把t=6代入得v=80， 把t=代入得v=100， ∴ 小汽车行驶速度v的取值范围80≤v≤100. ②不能. 理由：8点至11点30分时间长为小时， 把t=代入得v=＞120， ∴方方能否在当天11点30分前到达B地 . 【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间进行列式，再变形即可； （2）①8点至12点48分时间长为小时， 8点至14点时间长为6小时，把t值分别代入中求出v值，继而得解； ②8点至11点30分时间长为小时，将t值代入求出v值再与120km/h比较即可判断. 17．【答案】（1）； （2）6 （3） 18．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为：， 将点（4，100）代入反比例函数表达式得：k＝4×100＝400， 故函数的表达式为：， 当y＝20时，，则x＝20＝a， 即函数的表达式为：； （2）解：设时，函数的表达式为：y＝mx＋20， 将点（4，100）代入上式得：100＝4m＋20，解得：m＝20， 即一次函数的表达式为：y＝20x＋20， 令y＝20x＋20＝40，则x＝1，解得：x＝1， 在降温过程中，水温为40℃时，，解得：x＝10， ∵10－1＝9，∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间为9min． 【解析】【分析】（1）观察图象，可得点（4，100），用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出一次函数的表达式，再求出时，对应两个函数自变量x的值，据此求解． 19．【答案】（1）解：设， 将代入中得：， ， ， （2）解：， ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， ， 解得：或， ． 【解析】【分析】（1）由正方形的性质可设，再将代入中可求出m值，即得结论； （2）利用待定系数法求出直线BD解析式，再联立为方程组并解之即得结论. 20．【答案】（1）； （2）． 21．【答案】（1）解：把A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为y＝x2+4x﹣1； （2）解：过P作PQ∥y轴交AB于Q，如图： 设直线AB为y=kx+b， 把A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）分别代入得 ， 解得 ∴直线AB解析式为y＝x﹣1， 设P（t，t2+4t﹣1），其中﹣3＜t＜0，则Q（t，t﹣1） ∴PQ＝t﹣1﹣（t2+4t﹣1）＝﹣t2﹣3t， ∴S△PAB＝（﹣t2﹣3t）×3＝﹣t2﹣t＝﹣（t+）2+， ∵﹣＜0， ∴当t＝﹣时，S△PAB取最大值， ∴△PAB面积的最大值为； （3）解：抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5， ∴抛物线y＝x2+4x﹣1的对称轴为直线x＝﹣2， 设M（﹣2，m），N（n，n2+4n﹣1）， 又A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）， ①当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合， ∴， 解得， ∴N（﹣1，﹣4）； ②当MA，NB为对角线时， ， 解得， ∴N（﹣5，4）； ③当MB，NA为对角线时， ， 解得， ∴N（1，4）； 综上所述，N的坐标为（﹣1，﹣4）或（﹣5，4）或（1，4）． 【解析】【分析】（1）把A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式； （2）过P作PQ∥y轴交AB于Q，首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据点的坐标与图形性质，设P（t，t2+4t﹣1），其中﹣3＜t＜0，则Q（t，t﹣1），由两点间的距离公式表示出PQ，进而根据三角形面积计算公式建立出△PAB的面积关于t的函数解析式，进而根据所得函数解析式的性质求解即可； （3）抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：首先将抛物线的解析式配成顶点式，得到其对称轴直线，然后根据点的坐标与图形性质，设M（﹣2，m），N（n，n2+4n﹣1），进而分类讨论：①当MN，AB为对角线时，MN，AB的中点重合，②当MA，NB为对角线时，MA，NB的中点重合，③当MB，NA为对角线时，MB，NA的中点重合，分别借助中点坐标公式表示出各条线段的中点，由中点重合建立方程，求解即可. 22．【答案】（1）（5，5）；（-1，5） （2）解：∵抛物线的表达式为：， 把，代入，得， ， ， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：①由题意得，，， 当时 ， ∴矩形的中心的坐标为 把代入，得 解，得，（舍）； 当时 ， ∴矩形的中心的坐标为 把代入，得 解，得，（舍）； 综上，或； ②或． 【解析】【解答】解：（1）∵过点且平行于x轴的直线与直线 交于点 ∴ 即 ∵点P关于直线的对称点为点 故 故答案为：（5，5），（-1，5）； （3）②由题意知， ∵抛物线与交于点E， ∴， ， 又， ∴设， ∴， 即 当时， (舍去） 当时 (舍去） 综上所述：或． 【分析】（1）先求出，再根据点P关于直线的对称点为点求解即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）①分类讨论，列方程求解即可； ②先求出，再分类讨论，列方程求解即可。 23．【答案】（1）解：在中， 令得，令得或， ，，， 设直线解析式为，将代入得： ， 解得， 直线解析式为； （2）解：过作于，如图： 设， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ，， ∽， ，即， 解得舍去或， ； （3）或 【解析】【解答】解：（3）存在点，使得，理由如下： 过作于，如图： 设， 由，可得直线解析式为， 根据，设直线解析式为，将代入得： ， ， 直线解析式为， 令得， ， ， 同可得四边形是矩形， ， ， ≌， ， ， ， ， ，即， 或， 解得或或或， 在第一象限， 或． 【分析】（1）先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式即可； （2）过作于，先证出∽，可得，即，再求出m的值，可得点P的坐标； （3）过作于，设，先求出直线PF的解析式，可得，再结合，可得，即，再求出m的值即可. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$