第15章轴对称图形和等腰三角形单元复习题2024-2025学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形单元复习题 一、单选题(共10题；共40分) 1．（4分）下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（4分）古彝文是世界六大仍在使用的古文字之一，下列意为“古风歌”的四个古彝文中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（4分）如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．11 5．（4分）如图，平分，，分别是，上的点，，则与的数量关系一定满足的是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为7和11，则的面积为（　　） A．18 B．20 C．22 D．36 7．（4分）如图，在中，，，点为中点，直角绕点旋转，，分别与边，交于，两点，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．是等腰直角三角形 8．（4分）如图，将一张长方形纸条折叠．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 9．（4分）已知直线，将一块含角的直角三角板ABC按如图方式放置，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（4分）如图，，平分，平分，且，下列结论正确的有（　　） ①平分；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共4题；共20分) 11．（5分）已知等腰三角形的一个角为80度，则顶角为　 　． 12．（5分）在ABC中，AB＝AC＝7，∠C＝60°，则BC的长为　 　． 13．（5分）如图，在中，，，，CD平分交AB于点D．点E为CD的中点．在BC上有一动点P，则的最小值是　 　． 14．（5分）如图，，，，…，都是等腰直角三角形，其中点，，…，在轴上，点，，…，在直线上，若，则点的坐标为　 　． 三、解答题(共4题；共32分) 15．（8分）如图，在中，，点是的中点，．求的长． 16．（8分）在等边三角形ABC中，点在内，点在外，且. （1）（4分）求证：. （2）（4分）请判断是什么形状的三角形?试说明你的理由. 17．（8分）如图，点A，C，E在同一条直线上，和都是等边三角形，连接，，分别交，于点P，Q，与交于点. （1）（4分）求证：. （2）（4分）求的度数. 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别在边长为1的格点上． （1）（4分）作出关于y轴对称的； （2）（4分）在x轴上找出一个点P，使点P刚好在线段的垂直平分线上，则点P的坐标为 ． 四、综合题(共5题；共58分) 19．（10分）如图，，交于点，，． （1）（5分）求证：； （2）（5分）若，求的度数． 20．（10分）如图，直线和直线都经过x轴负半轴上一点B，分别与y轴的交点分别为A、C，且． （1）（5分）求直线的解析式； （2）（5分）点E在x轴上，为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． 21．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC， （1）（6分）求证：△ABE≌△ACF； （2）（6分）若∠BAE=30°，则∠ADC=　 　°． 22．（12分）如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． （1）（4分）求证：； （2）（4分）求证：； （3）（4分）若，，求四边形的面积． 23．（14分）已知一次函数，． （1）（4分）若关于的方程的解为负数，求的取值范围； （2）（4分）若关于的不等式组的解集为，求的值； （3）（6分）在(2)的条件下，若等腰三角形的两边分别为和，求该三角形的面积． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 【解析】【解答】解：分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N ∵平分 ∴EM=EN ∵EF=EG ∴△EMF≌△BGE ∴ ∴ 故答案为：B 【分析】分别作EM⊥AB，EN⊥BC于点M，N，根据角平分线性质，全等三角形判定定理可得△EMF≌△BGE，则，即可求出答案. 6．【答案】B 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵∠B=45°，AB=AC， ∴Rt△ABC是等腰直角三角形， ∵点D为BC中点， ∴AD=CD=BD，AD⊥BC，∠CAD=45°， ∴∠CAD=∠B=45°， ∵∠MDN是直角， ∴∠ADF+∠ADE=90°， ∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°， ∴∠ADF=∠BDE， 在△BDE和△ADF中， ∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴C选项正确， ∴DE=DF，BE=AF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴D选项正确， ∵AE=AB-BE，CF=AC-AF， ∴AE=CF， ∴A选项正确， ∵BE+CF=AF+AE， ∴BE+CF＞EF， ∴B选项错误， 故答案为：B. 【分析】根据等腰直角三角形性质得∠CAD=∠B=45°，根据同角余角相等求出∠ADF=∠BDE，利用全等三角形判定出△BDE和△ADF全等，再根据全等三角形性质判断出△DEF是等腰直角三角形，即可求出AE=CF，再根据三角形三边关系即可判定出BE+CF＞EF，即可知道本题答案． 8．【答案】C 9．【答案】B 【解析】【解答】解：∵a∥b， ∴∠1+∠BAC+∠2=180°， ∵∠BAC=90°，， ∴∠2=66°， 故答案为：B 【分析】先根据平行线的性质得到∠1+∠BAC+∠2=180°，进而根据等腰直角三角形的性质结合∠1的度数即可求解。 10．【答案】D 11．【答案】或 12．【答案】7 【解析】【解答】解：在ABC中，∵AB＝AC＝7，∠C＝60°， 为等边三角形， 故答案为： 【分析】通过说明为等边三角形，可求得BC. 13．【答案】 【解析】【解答】解：如图，由题意可得： A（0，6），B（8，0） 直线AB的解析式为： CD平分∠ACB 直线CD的解析式为y=x 由，解得： ∴ ∵CE=DE ∴ 作点E关于BC的对称点，连接DE'交BC于点P，此时PD+PE的值最小为DE'的长 故答案为： 【分析】建立坐标系，根据一次函数构建方程组求出点D、E坐标，作点E关于BC的对称点E'，连接DE'交BC于点P，此时PD+PE的值最小为DE'的长即可求出答案。 14．【答案】 【解析】【解答】解： 点，，…，在直线上 ， ∴∠A1OB1=45°， ∵OA2=2， ∴OA1=A1B1=A1A2=1 ∵，，，…，都是等腰直角三角形， ∴，，，…，都是等腰直角三角形， ∴A2B2=2A1B1=2， A3B3=2A2B2=4A1B1=4=22， A4B4=2A3B3=8A1B1=8=23， ······ A2023B2023=22022，即 点的坐标为 ， 故答案为： 【分析】 由点，，…，在直线上 ，可得∠A1OB1=45°，由，，，…，都是等腰直角三角形，可得，，，…，都是等腰直角三角形，据此分别求出A2B2、A3B3、A4B4的长，据此找出规律求出A2023B2023的长即可求解. 15．【答案】6 16．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， 在△ABP和△ACQ中， ， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）. （2）解：△APQ为等边三角形；理由如下： ∵△ABP≌△ACQ， ∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ， ∵∠BAP+∠CAP=60°， ∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°， ∴△APQ是等边三角形. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边都相等，三个角都是60°可得AB=AC，∠BAC=60°；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△ABP≌△ACQ即可； （2）根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得∠BAP=∠CAQ，AP=AQ；根据题意可得∠PAQ=60°；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求解. 17．【答案】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即. 在和中，， ， （2）解：由（1）得， ， 在中，. ，. 在中，. 【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，推出，证明，由全等三角形的性质得出； （2）由（1）得，根据全等三角形的性质得出，结合根据三角形的外角性质求出，再根据三角形内角和定理，即可求解． 18．【答案】（1）解：如图：即为所求； ； （2） 【解析】【解答】（2）解：如图：点P到B、C两点的距离相等，点P的坐标为， 故答案为：． 【分析】 此题考查轴对称的性质及作图，线段的垂直平分线的性质． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征作出A1，B1，C1，再依次连接即可求出答案. （2）利用网格的特点，作线段的垂直平分线，与x轴的交点即为点P． （1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图：点P到B、C两点的距离相等，点P的坐标为， 故答案为：． ． 19．【答案】（1）证明：在 和 中， ， ∴ ； （2）解：∵ ， ， ∴ ， 由（1）可得 ， ∴ ， ∴ ． 【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠C=∠D=90°，AC=BD，由对顶角的性质可得∠AEC=∠BED，然后利用全等三角形的判定定理进行证明； （2）由余角的性质可求出∠AEC的度数，根据全等三角形的性质可得AE=BE，然后根据外角的性质以及等腰三角形的性质进行计算. 20．【答案】（1）解：当时，， 即点坐标为：，， ∵， ∴， ∴即点坐标为：， ∴设直线解析式为，得： ，解得：， ∴直线解析式为． （2）∵直线交轴于点， ∴点坐标为， 又∵点坐标为， ∴，如图： 当时，点的坐标为，点的坐标为； 当时，点与点是关于轴对称，点的坐标为， 当时，设点坐标为， 则，解得： 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为、、、． 【解析】【分析】（1）令y=x+8=0，求出x的值，得到点B的坐标，然后求出OB的值，根据OB=2OC可得OC的值，然后表示出点C的坐标，接下来将B、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的值，据此可得直线CB的解析式； （2）易得A（0，8），由勾股定理可得AB的值，然后分BE=AB=10、AB=AE、EA=EB，结合勾股定理进行计算就可求出点E的坐标. 21．【答案】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）75 【解析】【解答】解：（2）由（1）得△ABE≌△ACF， ∴∠BAE=∠CAF=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC=， 故答案为：75． 【分析】 （1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB=AC，∠B=∠ACF，BE=CF，从而可以证明结论成立； （2）根据（1）中的结论得出∠BAE=∠CAF=30°，再根据等腰三角形的性质求得∠ADC的度数． 22．【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴四边形的面积． 【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质即可得到，进而即可求解； （2）先根据角平分线的性质即可得到； （3）先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到是线段的垂直平分线，再根据四边形的面积公式即可求解。 23．【答案】（1）解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， ， ； （2）解：，， ， 由得：， 由得：， ， ， ， 解之得：，， ； （3）解：分两种情况：是腰，是底， ， 能构成三角形， 如图所示：，，， 过点作， ，， ，， 由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为：， ：是腰，是底， 能构成三角形， 如图所示：，，， 过点作， ，， ，， 由勾股定理得： ， 等腰三角形的面积为：， 综上可知：等腰三角形的面积为或． 【解析】【分析】（1）根据已知条件，换元得：再根据负数的定义，即可求出a的取值范围； （2）分别解两个一元一次不等式组，再根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"求出公共解集，结合题意即可求出a和b的值，进而求出的值； （3）根据等腰三角形的定义知：需分两种情况：①是腰，是底，过点作，根据勾股定理和"三线合一"即可求出AD，进而求出三角形的面积，②是腰，是底，过点作，根据勾股定理和"三线合一"即可求出AD，进而求出三角形的面积. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$