1.3正方形的性质与判定 课时作业2024-2025学年北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册数学1.3正方形的性质与判定 课时作业 一、单选题 1．如图，E，F分别是正方形的边，上的点，连接，，，，则下列结论中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 2．如图所示，正方形中，E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于G，交于F，若，，则的长为(　　) A． B． C．10 D．12 3．如图①，点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图②是点运动时，的面积（）随着时间（）变化的关系图象，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，假命题是（    ） A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D．对角线相等的梯形是等腰梯形 5．如图，在边长为3的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为（  ） A． B． C．2 D． 6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直平分 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 7．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（　　） A． B． C． D． 8．下列命题中，真命题的个数是（    ） ①平行四边形是轴对称图形，也是中心对称图形； ②一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ④对角线相等且互相平分的四边形是菱形； ⑤四个内角都相等的四边形是矩形； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形AnBnDnEn的边长是 ． 10．如图，在边长为的正方形中，是边上的点，且，点为对角线上的动点，则的周长的最小值为 ．    11．如图，正方形的边长为6，点E是边上一动点，点F在边上，，则的最小值为 ． 12．如图所示，在正方形中，E、F分别为对角线上的两点，且，若，，则的长为 ． 13．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD为对角线，将△ABD沿BD对折，A点刚好落在BC边的Aˊ处，∠C=60°，BC=12，则等腰梯形ABCD的周长为= ． 三、解答题 14．（1）【问题原型】小伟遇到这样一个问题：如图①，在等边三角形内部有一点，，，，求的度数．小伟是这样思考的：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你计算图①中的度数． （2）【类比迁移】如图②，在正方形内有一点，且，，．的度数． 15．如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C）．延长AE交CE'于点F，连接DE． 猜想证明： (1)四边形BE'FE的形状是______； (2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明； (3)如图①，若AB＝15，CF＝3，求DE的长． 16．（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合）．连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______． （2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索线段、、之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请直接写出线段的长． 17．如图所示，正方形的边长为1，点在线段上运动，平分交边于点． 求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C B B D B B 1．A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 延长到G，使，连接，先证明，再证明，得到，则，即可判定A选项正确，B、C、D选项错误． 【详解】解：延长到G，使，连接， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ 故A选项一定成立，符合题意； ∵ 而与不一定相等 ∴不一定成立， 故B选项不一定成立，不符合题意； ∴不一定成立， 故C选项不一定成立，不符合题意； ∴不一定成立， 故D选项不一定成立，不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2．首先证明△ABE≌△GHF，推出BE=FH=x-2，在Rt△BGE中，根据GE2=BG2+BE2，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】如图，连接GE，作GH⊥CD于H．则四边形AGHD是矩形，设AG=DH=x，则FH=x-2． ∵GF垂直平分AE，四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE=∠GHF=90°AB=AD=GH，AG=GE=x， ∵∠BAE+∠AGF=90°，∠AGF+∠FGH=90°， ∴∠BAE=∠FGH， ∴△ABE≌△GHF， ∴BE=FH=x-2， 在Rt△BGE中，∵GE2=BG2+BE2， ∴x2=42+（x-2）2， ∴x=5， ∴AB=9，BE=3， 在Rt△ABE中，AE=， 故选：B． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．C 【分析】根据图②可以发现点E运动5秒后△ABE的面积停止了变化，且为最大面积，由此结合图①，当点E在CD上运动时，△ABE面积最大，从而得出AC=5，CD=，然后根据△ABE最大面积为2得出△ABC面积为2，所以菱形ABCD面积为4，从而再次得出△ABC的高为4，然后进一步利用勾股定理求出菱形边长即可. 【详解】 如图，过C点作AB垂线，交AB于E， 由题意得：△ABC面积为2，AC=5，DC=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=DC=BC=, ∴△ABC面积==2， ∴CE=4， ∴在Rt△AEC中，AE==3， ∴BE=， ∴在Rt△BEC中，， 即， 解得：. ∴菱形边长为. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了菱形与三角形动点问题的综合运用，熟练掌握相关性质是解题关键. 4．B 【分析】利用矩形、菱形、正方形及等腰梯形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意； D、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，是真命题，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形、菱形、正方形及等腰梯形的判定定理，难度不大． 5．B 【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，勾股定理等知识，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明，利用角平分线的性质及三角形全等的判定及性质，证明，设，则，，，在中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质和角平分线的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ， ∴在和中， ， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ，， 设，则，， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 6．D 【分析】因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：根据矩形、菱形、正方形的对角线相互平分的性质，可知选D． 故选：D． 【点睛】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 7．B 【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可． 【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴添加，能使矩形成为正方形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键． 8．B 【分析】本题考查了真假命题，平行四边形的性质与判断，矩形、菱形、正方形的判定等知识，利用平行四边形的性质判断①；利用平行四边形的判定判断②、③；利用矩形、菱形的判定判断③、④；利用正方形的判定判断⑤即可． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故原命题是假命题； ②一组对边平行，一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题是假命题； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，，故原命题是真命题； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是假命题； ⑤四个内角都相等的四边形是矩形，故原命题是真命题； ⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是真命题． 故选：B． 9． 【详解】试题分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形AnBnDnEn的边长： ∵∠C=90°，∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B．∴第一个内接正方形的边长=AB=1． 同理可得： 第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=； 第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=； …… ∴第n个小正方形AnBnDnEn的边长=AB=． 10． 【分析】先根据题意画出图形，连接，，得出的长即为的最小值，再根据勾股定理求出的长，最后求出的最小周长． 【详解】解：连接，， 四边形是正方形， 点与点关于直线对称， 的长即为的最小值， 正方形边长为， ， ， ，， ， 的周长为：． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了最短路径的知识、勾股定理的知识、正方形的知识，有一定的难度． 11．/ 【分析】由于，则点G在以为直径的半圆O上，当O、G、C共线时，取得最小值，最小值为，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点G在以为直径的半圆O上，当O、G、C共线时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，判断出点G在以为直径的半圆O上是解题的关键． 12． 【分析】过点B作，取，连接，，证明，得出，，根据勾股定理得出，证明，得出即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，取，连接，， 则， 四边形是正方形， ，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 13．30 【分析】根据等腰梯形的性质，根据翻折变换的性质，得出,为等边三角形,继而即可求出等腰梯形的周长． 【详解】解：根据等腰梯形的性质， 根据翻折变换的性质， ∴，为等边三角形， ∴ ∴等腰梯形ABCD的周长为： 故答案为30． 【点睛】考查等腰梯形的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握含的直角三角形的性质是解题的关键． 14．（1）【问题原型】；（2）【类比迁移】 【分析】（1）【问题原型】将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出； （2）【类比迁移】将绕点B逆时针旋转，得到，推出，，，，利用勾股定理证得是直角三角形，求出，即可得到的度数． 【详解】解：（1）【问题原型】将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、， ∴， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）【类比迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，正确掌握各知识点是解题的关键． 15．(1)正方形 (2)CF＝FE' (3) 【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形； （2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论； （3）过点D作DG⊥AE于点G，由旋转及四边形BE′FE是正方形可得如下关系：AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，在Rt△BAE中根据勾股定理求出BE、AE的长，由（1）可知，△ADG≌△BAE，得到DG＝BE，AG＝BE，再由勾股定理求出DE的长． 【详解】（1）四边形BE′FE是正方形． 理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， 由旋转得，BE′＝BE， ∴四边形BE′FE是正方形． （2）CF＝FE'， 证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°， ∵DA＝DE， ∴AG＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠ADG＝∠BAE， 在△ADG和△BAE中 ， ∴△ADG≌△BAE（AAS）， ∴AG＝BE； ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝FE′， ∴AG＝FE′， 由旋转得，AE＝CE′， ∴AE＝CE′， ∴FE′＝AE＝CE′， ∴CF＝FE'． （3）如图3，过点D作DG⊥AE于点G， ∵BE＝FE′，CF＝3， ∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3， ∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝， ∴(BE+3)2+BE2＝()2， 解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去）， ∴AE＝9+3＝12， 由（2）得，△ADG≌△BAE， ∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9， ∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3， ∵∠DGE＝90°， ∴DE＝＝＝． 【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形． 16．（1）BD=CE，BD⊥CE，理由见解析；（2）DE2=BD2+CD2，理由见解析；（3）2． 【分析】（1）问题：证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答即可； （2）探索：证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可； （3）拓展：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAD≌△CAG，得到BD=CG=3，证明△CDG是直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【详解】 解：（1）问题：在Rt△ABC中，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠B=∠ACE=45°, ∵∠B=∠ACB=45°， ∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°， ∴BD⊥CE． 故答案为：BD=CE，BD⊥CE； （2）探索：结论：DE2=BD2+CD2， 理由是：如图2中，连接EC． ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ∵， ∵△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°， ∴DE2=CE2+CD2， ∴DE2=BD2+CD2； （3）拓展：如图3，将AD绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、DG， 则△DAG是等腰直角三角形， ∴∠ADG=45°， ∵∠ADC=45°， ∴∠GDC=90°， 同理得：△BAD≌△CAG， ∴CG=BD=3， Rt△CGD中，∵CD=1， ∴DG=， ∵△DAG是等腰直角三角形， ∴AD=AG=2． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17．见解析． 【分析】延长至点，使得，连接，可以求证△ADF≌△ABG，再证得∠GAE=∠DAE=∠GEA，即可求证AG=EG，即求EG=DF+BE即可． 【详解】如图所示，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，． 又∵是的角平分线． ∴， ∴． 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行线的性质，关键是运用转化思想，把AF转化到其全等三角形里面，根据等腰三角形腰长相等的性质求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$