精品解析：江苏省常州市常州市实验中学、二十四中学等学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级期中调研数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. 9，40，41 D. ，， 3. 下列说法错误的是（ ） A. 是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的平方根为 D. 负数没有平方根 4. 如图，和相交于点，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6. 如图，在中，已知是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和都是边长为的等边三角形，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①；②； ③直线与射线所夹的锐角的度数不变； ④随点的移动，线段的值逐渐增大． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. ________________； ________________． 10. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_________m路，却踩伤了花草 11. 如图，点、、都在上，，若，则的度数是________． 12. 若，则________． 13. 一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为_______． 14. 如图，在中，，是中线，若，则的度数为________． 15. 如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 16. 如图，在中，，，垂足为D，E为边上的动点，若是等腰的底角，则的大小为________． 17. 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点O；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有 ______（填序号）． 18. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 三、解答题（第19，22题每题8分，第21，23每题9分，第20，24，25题每题10分，共64分） 19. 已知：如图，，，点在上，，垂足为，，垂足为，求证： （1）是的平分线； （2）． 20. 如图，点、、都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹． （1）画出与关于直线对称的； （2）的面积为________； （3）在直线上标出点，使最小，最小值________； （4）在直线上标出点，使点到、的距离相等． 21. 如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出的长． 22. 如图，在中，，点在的右侧，的垂直平分线交于点，交于点，若点是中点．求证：． 23. 如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由． 24. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． （1）把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． （3）用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 25. 【问题】在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得． （1）如图，延长到点，使得，连接，．若，求证：； （2）依题意补全图，连接，交的延长线于点，连接． 若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【问题】如图，在中，，如果点为射线上一动点，点为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期中调研数学试卷 一、选择题（每小题2分，共16分） 1. 下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列各组数据为勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，2 C. 9，40，41 D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，满足且，，为正整数．根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、，故错误； B、不是正整数，故错误； C、，且9，40，41都是正整数，满足要求，故正确； D、，，不是正整数，故错误； 故选：C． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 是9的平方根 B. 的平方根为 C. 的平方根为 D. 负数没有平方根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意； B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意； C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意； D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，和相交于点，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ，故该选项不符合题意； B、∵，，， 不能判定，故该选项符合题意； C、，，， ，故该选项不符合题意； D、，，， ，故该选项不符合题意；  故选：B ． 5. 如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（　　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得出AP＝BP，CQ＝AQ，求出∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，再求出∠BAP+∠CAQ＝70°，再求出答案即可． 【详解】解：∵∠BAC＝110°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°， ∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线， ∴AP＝BP，CQ＝AQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C， ∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°， ∵∠BAC＝110°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质得出AP＝BP和AQ＝CQ是解此题的关键，注意：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，②等边对等角，③三角形内角和等于180°． 6. 如图，在中，已知是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF=DE=2， 故选A 【点睛】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键． 7. 如图，和都是边长为的等边三角形，点，分别在边，上，将沿直线折叠，点恰好落在边的中点处，则的长度是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据和都是边长为的等边三角形，得到，即可得到，即可得到，利用勾股定理求出，在中，设，则，利用勾股定理求解即可 【详解】解：连接，如图， ∵和都是边长为的等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∵是边长为的等边三角形，为的中点， ∴，， 在中，， 根据翻折变换可知， ∵，， ∴ 在中，设，则， ∴，即 解得， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，平行线的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 8. 如图，点是射线上一个定点，点是射线上的一个动点，，以线段为边在右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①；②； ③直线与射线所夹的锐角的度数不变； ④随点的移动，线段的值逐渐增大． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理“”证明，可判断①正确；由，，得，可判断②正确；延长交轴于点，由三角形外角的性质可判断③正确；由全等三角形的性质可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵ ∴ ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴ ∵， ∴，故②正确； 延长交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与轴的夹角恒为，故③正确； ∵点是轴上一个定点， ∴的长为定值， ∵， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的移动，线段的值不变，故④错误， 故选：B． 二、填空题（每小题2分，共20分） 9. ________________； ________________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义求解即可． 【详解】解：； ． 故答案为：3，． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 10. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_________m路，却踩伤了花草 【答案】4 【解析】 【分析】利用勾股定理求出“捷径”的长度，据此进一步求解即可. 【详解】由勾股定理可得： “捷径”长度=， ∴， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 11. 如图，点、、都在上，，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角及三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键，设，由等边对等角得，，从而求解即可得解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， 故答案为： 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．先根据得出，再根据平方根定义求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理先判定三角形的形状，再根据三角形的面积公式求得其高． 【详解】解：， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 根据等面积法可得，三角形最长边上的高线为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，是中线，若，则的度数为________． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质，熟练掌握性质是解题的关键．利用等腰三角形三线合一性质，直角三角形的两个锐角互余性质计算即可． 【详解】∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图所示，在边长为的正方形网格图中，点、、、均在正方形网格格点上．图中________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格问题，根据网格线段及三角形的特征即可求解．根据勾股定理可得，从而得由图推出得，据此即可求解； 【详解】解：如图， 由图可知：，， ∴， 由图可知： ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16. 如图，在中，，，垂足为D，E为边上的动点，若是等腰的底角，则的大小为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，由题意可知，再根据若是等腰的底角，则当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 若是等腰的底角， 当时，； 当时，， ； 综上，或， 故答案为：或． 17. 如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线、的距离分别是，则称有序实数对是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：①“距离坐标”是的点只有点O；②“距离坐标”是的点只有1个；③“距离坐标”是的点共有4个；正确的有 ______（填序号）． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据“距离坐标”的定义，以及点到直线的距离，角平分线的判定，即可求解． 【详解】解： ①“距离坐标”是的点只有点O，故①正确； ②“距离坐标”是表示点M在直线上且到的距离等于1， ∴“距离坐标”是的点有2个，故②是错误； ③“距离坐标”是表示点M到直线和的距离均等于2， ∴点M在两直线和形成的夹角的平分线上， ∴“距离坐标”是的点共有4个，故③正确． 正确的有：①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，角平分线的判定，理解“距离坐标”的定义是解题的关键． 18. 如图，中，，，，D是线段AB上一个动点，以BD为边在外作等边．若F是DE的中点，当CF取最小值时，的周长为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】连接BF，由△BDE是等边三角形、点F是DE的中点，可得∠DBF=∠DBE=30°，再由∠ABC=30°，可得∠CBF=60°，即射线BF的位置是固定的，再根据点到直线的距离垂线段最短可得到当CF⊥BF时，CF最短，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质列方程求出BD，最后求周长即可． 【详解】解：解：如图，连接BF， ∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点， ∴∠DBF=∠DBE=30°， 又∵∠ABC=30°， ∴∠CBF=60°， ∴即射线BF的位置是固定的， ∴当CF⊥BF时，CF最短，此时∠BFC=90°，∠BCF=180°-90°-60°=30°， ∴BF=BC. ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=6， ∴AB=2AC=12，BC=， ∴BF=， 设BD=2x，则DF=x， ∴，即，解得x=3 ∴BD=6 ∴的周长为18． 故填：18． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，说明射线BF的位置不会随着点D的移动而改变，而点C是射线BF外一点，由此可得当CF⊥BF时，CF的长度最小成为解答本题的关键． 三、解答题（第19，22题每题8分，第21，23每题9分，第20，24，25题每题10分，共64分） 19. 已知：如图，，，点在上，，垂足为，，垂足为，求证： （1）是的平分线； （2）． 【答案】（1） 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2） 解：由（）得是的平分线， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的定义及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键， （1）证明，即可得证； （2）根据角平分线的性质定理即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，点、、都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形的边长均为，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹． （1）画出与关于直线对称的； （2）的面积为________； （3）在直线上标出点，使最小，最小值________； （4）在直线上标出点，使点到、的距离相等． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）； （3）； （4） 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图﹣轴对称变换，线段垂直平分线的判定及三线合一，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及轴对称﹣最短路线问题． （1）分别作出点、、关于直线的对称点，再顺次连接可得； （2）利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可； （3）连接交直线于点，再计算的值即可． （4）取格点，连接交直线于点，则为所求作的图形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求． ∵点与点关于直线对称， ∴， ∴，根据两点之间线段最短，即可得到的最小值为． 此时．即的最小值为． 故答案为：； 【小问4详解】 解∶理由如下：连接，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴平分， ∴点到、的距离相等． 21. 如图，在中，，，，将扩充为等腰三角形，使扩充的部分是以为直角边的直角三角形，请用尺规作图画出图形，并直接写出的长． 【答案】解：分三种情况： 如图1所示，的长为3； 如图2所示，的长为； 如图2所示，的长为2； 【解析】 【分析】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握．分三种情况讨论：①当时，容易得出的长；②当时，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可；③当时，由勾股定理求出，即可得出的长． 【详解】解：分三种情况： ①如图1所示： 当时， 由，可得； ②如图2所示： 当时， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ； ③如图3所示： 当时， 在中，， ， ； 综上所述：的长为3或或2． 22. 如图，在中，，点在的右侧，的垂直平分线交于点，交于点，若点是中点．求证：． 【答案】 解：连接、，如图， ∵，点是中点． ∴ 垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴ 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接、，由直角三角形的性质得，再结合线段垂直平分线得，于是有，，结合三角形的内角和定理即可得证。 【详解】略 23. 如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接，交于点G． （1）求证：垂直平分； （2）在上取点E，连接，交于点F，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴点B、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）为等边三角形， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定得出垂直平分即可； （2）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质求出，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． （1）把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． （3）用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】（1） 证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 如图所示， 25，25 （3）20 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； 【小问3详解】 如图所示， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 25. 【问题】在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得． （1）如图，延长到点，使得，连接，．若，求证：； （2）依题意补全图，连接，交的延长线于点，连接． 若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【问题】如图，在中，，如果点为射线上一动点，点为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为________． 【答案】 问题（1）证明：如图，延长交于点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴； （）补全图形如下， ，理由如下： 如图：延长到，使，连接，， ∵ ∴， ∵， ∴为的垂平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴ ∵， ∴； 问题： 【解析】 【分析】问题1，（1）延长交于点，证明得出，从而推出，结合即可得证； （2）根据题意补全图形，延长到，使，连接，，证明，得，，，从而根据勾股定理的逆定理得利用直角三角形的性质即可得解； 问题，如图，过作于，过作于点，在线段的延长线上取连接、，先证，，再证，得，从而根据两点之间，线段最短及勾股定理即可得解。 【详解】问题，（）略 （）略 问题，如图，过作于，过作于点，在线段的延长线上取连接、， ∵，，， ∴,,, ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，由两点之间，线段最短可得，当、、三点共线时，最小，此时为， ∵， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，勾股定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $