27.2.2相似三角形的性质 课时作业2024-2025学年人教版数学 九年级下册

人教版九年级下册数学27.2.2相似三角形的性质 课时作业 一、单选题 1．如图，中，，在上，且，连接，作分别交于，于，为的中点，连接交于．现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在正方形中，，点是边的中点，连接与交于点，点为的中点，点为上的动点．当时，则的长为(    ) A． B． C． D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AC=6，BC=8，则AD的长为（　　　） A．5 B．7 C．3 D． 4．如图，正方形ABCD的边长为3，将等腰直角三角板的45°角的顶点放在B处，两边与CD及其延长线交于E、F，若CE=1，则BF的长为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为（     ） A．4 B．8 C．6 D．12 6．如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为(    ) A． B． C． D．6 7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=6，AD=4，则该四边形的面积为【    】 A．9 B．12 C．8 D．8 8．如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连结AG并延长，交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长是（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 二、填空题 9．如图，，，相交于点，若，，则的长为 ． 10．如图，正方形中，，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，连接，交于点G，将沿翻折，得到，连接，交于点N，若点F是边的中点，则的周长是 ． 11．如图，如果，，，那么 ． 12．如图，反比例函数y＝(x＞0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为 ． 13．如图，在中，D是上一点，，边上的中线交于点F，如果，，那么的值为 ． 三、解答题 14．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求FG的长． 15．两个以点O为圆心的半圆如图放置，AB、CD分别是直径，点E为大半圆上异于C的一点，连接OE交小半圆于点F，点P为CE上异于C、E的一点，连接OP交CE于点H，交AF于点G． (1)①求证：AFCE； ②若＝，求； (2)若＝2，且大半圆的直径CD＝4，点P为CE上异于C、E的动点，当阴影部分面积最小时，直接写出的长为 ． 16．如图1，平行四边形ABCD中，以B为坐标原点建立如图所示直角坐标系，AB⊥AC，AB=3，AD=5，点P在边AD上运动（点P不与A重合，但可以与D点重合），以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点． （1）设AP为x，P点坐标为（______，______）（用含x的代数式表示） （2）当⊙P与边CD相切于点F时，求P点的坐标； （3）随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，直接写出公共点的个数与相对应的AP的取值之间的关系． 17．如图1，直线：与轴、轴分别交于，两点，过点作交轴于点，将直线沿着轴正方向平移个单位得到直线交直线于点，交轴于点，将沿直线翻折得到点． （1）若，求点． （2）若的面积等于，求的解析式 （3）在（1）的条件下，将绕点旋转得到，点是直线上一点，在直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是矩形．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B B C A C 1．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，取中点，连接，过点C作交延长线于点N，过点D作，交于点P，根据同角的余角相等可以判断①，由点G，H，分别是的中点，证明，即可判断②，由，，证明，得到，即可判断③，由，得到，得到，再证明，得到即可判断④． 【详解】解：如图，取中点，连接，过点C作交延长线于点N，过点D作，交于点P， ， ，故①正确； 点G，H，分别是的中点， ， ， ， ， ， ，即， ，故②正确； ， ， ， ， ， 和，和不一定相等， 和不一定相等，故③错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，在直角中，利用勾股定理求出的长度，由于为的中点，得到的长度，由于，易得，从而求得的长度，由于，可以证明，即可解决． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 为边的中点， ， ， 为的中点， ， ， ，， ∴， ， ， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， 故选：D． 3．D 【分析】先利用勾股定理求得AB的长，根据DE是AB的垂直平分线得到DA=DB，然后通过证得△BED∽△BCA，得到，即可求解． 【详解】解：∵∠C=90°，BC=8，AC=6， ∴AB=， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DA=DB，DE⊥AB，AE=BE=5， ∴△BED∽△BCA， ∴，即 解得，BD=， ∴AD=， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是综合运用相关知识解题． 4．B 【详解】 作FH⊥BE于点H. ∴△BCE∽△FHE, , , . ∵BC=3，CE=1， 设，则 . ， ， 解之得 . 故选B. 5．B 【详解】试题分析：因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=∠D=∠AEF =90°，所以∠BAE=∠CEF=∠DFG ，又AE=EF=4， GF=2，所以△ABE≌△BCF，△BCF∽△GFD，所以AB=CE，BE=CF，DF：CE=FG：EF=1：2，设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理，得x2+4x2=16，x=，所以AB=，BC= ，所以矩形ABCD的周长=2（+）=．故选B． 考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质；4．勾股定理． 6．C 【分析】根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB＝AD：AC，即AC2＝AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长． 【详解】解：在△ADC和△ACB中， ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB（两角对应相等，两三角形相似）； ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AB•AD． ∵AD＝2，AB＝AD+BD＝2+3＝5， ∴AC2＝5×2＝10， ∴AC（负值已舍去）． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，用到的知识点为： ①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）； ②相似三角形的对应边成比例． 7．A 【分析】根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠3，然后得到∠1=∠3，再根据等角对等边可得CD=AD=4，过点D作DE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AC，根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例求出BC，然后利用勾股定理求出AC，从而得出DE的长，最后根据四边形的面积=S△ABC+S△ADC，即可得出答案． 【详解】∵CA是∠BCD的平分线， ∴∠1=∠2， ∵AD∥BC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∵AD=4， ∴CD=AD=4， 过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC， ∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC， ∴△ABC∽△EDC， ∴， 即 ， ∴BC=8， 在Rt△ABC中，AC= ， ∴四边形的面积为：AC•DE= ． 故选A． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理、三角形的面积公式，作辅助线构造出相似三角形并求出BC的长是解题的关键． 8．C 【分析】根据正方形的性质可得出，进而可得出，根据相似三角形的性质和全等三角形的性质可求出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴ ∴ ∴， ∴， 又∵G为CD的中点 ∴ ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为C 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的长度是解题的关键． 9．5 【分析】由平行线的性质求出∠B＝∠C，∠A＝∠D，得△EAB∽△EDC，再由相似三角形的性质求出线段CD即可． 【详解】解：∵， ∴∠B＝∠C，∠A＝∠D， ∴△EAB∽△EDC， ∴AB：CD＝AE：DE＝1：2， 又∵AB＝2.5， ∴CD＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 10． 【分析】如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD=3，如图2，由平行相似证明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG和CG的长，从而得EG的长，根据△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DE//GM证明△DEN∽△MNH，则，得EN=，从而计算出△EMN各边的长，相加可得周长． 【详解】解：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE， ∵∠BCD=∠ABC=90°， ∴四边形BCPQ是矩形， ∴BC=PQ， ∵DC//AB， ∴PQ⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD=45°， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴PE=PC， ∴PD=EQ， ∵∠PED+∠FEQ=90°，∠EFQ+∠FEQ=90°， ∴∠PED=∠EFQ， 在△DPE和△EQF中 ， ∴△DPE≌△EQF， ∴DE=EF， ∵DE⊥EF， ∴△DEF是等腰直角三角形， 在△DEC和△BEC中 ， ∴△DEC≌△BEC， ∴DE=BE， ∴EF=BE， ∵EQ⊥FB， ∴FQ=BQ=BF， ∵AB=4，F是AB的中点， ∴BF=2， ∴FQ=BQ=PE=1， ∴CE=，PD=4-1=3， Rt△DAF中，DF=， DE=EF=， 如图2， ∵DC//AB， ∴△DGC∽△FGA， ∴， ∴CG=2AG，DG=2FG， ∴FG=， ∵AC=， ∴CG=， ∴EG=， 连接GM、GN，交EF于H， ∵∠GFE=45°， ∴△GHF是等腰直角三角形， ∴GH=FH=， ∴EH=EF-FH=， 由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=， ∴∠EHM=∠DEF=90°， ∴DE//HM， ∴△DEN∽△MNH， ∴， ∴， ∴EN=3NH， ∵EN+NH═EH=， ∴EN=， ∴NH=EH-EN=， Rt△GNH中，GN=， 由折叠得：MN=GN，EM=EG， ∴△EMN的周长=EN+MN+EM=． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE的长是关键． 11．15 【分析】先由判断，利用相似三角形的性质得到，再证得到，把两式相加后利用比例的性质即可得到，然后把AB和CD的值代入计算即可. 【详解】解：， ， ①， ， ， ②， ①②得， ， ； 故答案为：15． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的性质得出比例是解题的关键． 12．8 【详解】如图，过D点作x轴的垂线交x轴于H点， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k>0， ∴△ODH的面积=△OBC的面积=， ∵△OAC的面积为5， ∴△OBA的面积=． ∵AD：OD=1：2， ∴OD：OA=2：3． ∵DH∥AB， ∴△ODH∽△OAB． ∴，即． 解得：k=8． 故答案为：8 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 13．/ 【分析】过B作，延长，与之交于点G，得到，则有，进一步推出，再证明，可得，等量代换即可得到线段之比． 【详解】解：如图，过B作，延长，与之交于点G， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中线，平行线的性质，解题的关键是通过相似得到线段的比，通过全等得到相等线段． 14．(1)证明见解析；(2)FG=2. 【分析】(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案； (2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案. 【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形， ，， ， ∴， ∵BE=AB，AE=AB+BE， ， ， ； (2)四边形ABCD是平行四边形， ， ， ，即， 解得，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键. 15．(1)①见解析② (2) 【分析】（1）①根据已知条件证明得出∠OAF＝∠OCE，即可判断AFCE； ②由AFCE，得出△AOG∽△COH，＝，同理：＝，则＝，结合已知条件即可求解； （2）根据已知条件求得，根据，可知的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小，当时，当最小时，最大，此时证明是等边三角形，可得，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】（1）证明①∵∠AOF＝∠COE，AO＝FO，CO＝EO， ∴， ∴， ∴∠OAF＝∠OCE，∴AFCE； ②∵AFCE， ∴△AOG∽△COH， ∴＝， 同理：＝， ∴＝， ∴＝， ∵＝， ∴＝； （2）∵＝2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积一定，当取得最大值时，阴影部分的面积最小， ∴当时，当最小时，最大， 此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴是等边三角形， ∴, ∴, ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键． 16．（1）；（2）；（3）当 或 时，⊙P与平行四边形ABCD的边的2个公共点，当 时，⊙P与平行四边形ABCD的边的3个公共点，当 时，⊙P与平行四边形ABCD的边的4个公共点，当 时，⊙P与平行四边形ABCD的边的5个公共点，当 时，⊙P与平行四边形ABCD的边的6个公共点． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，由勾股定理可求AC=4，由三角形的面积公式可得AE=，由勾股定理可求BE的长，可得点A坐标，即可求点P坐标； （2）连接PF，由切线的性质可得PF⊥CD，由平行四边形的性质，可得PF∥AC，由相似三角形的性质可得，可求AP的长，即可求点P坐标； （3）通过图形可求解． 【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E ∵AB⊥AC，AB=3，AD=5， ∴AC=4（勾股定理） ∵S△ABC=AB×AC=BC×AE ∴3×4=5AE ∴AE= ∴BE=（勾股定理） ∴点A坐标为（，） ∵AP=x， ∴点P坐标为（，） 故答案为（，） （2）如图，连接PF ∵⊙P与边CD相切于点F ∴PF⊥CD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，且AB⊥AC ∴AC⊥CD ∴PF∥AC ∴△DPF∽△DAC ∴ ∴ ∴AP= ∴点P坐标为 （3）∵当AP=时，⊙P与边CD相切， 当AP=时，⊙P与边BC相切， ∴当 或时，⊙P与平行四边形ABCD的边的2个公共点，如图所示， 当AP=时，⊙P与平行四边形ABCD的边的3个公共点，如图所示， 当＜AP＜时，⊙P与平行四边形ABCD的边的4个公共点，如图所示， 当AP=时，⊙P与平行四边形ABCD的边的5个公共点，如图所示， 当时，⊙P与平行四边形ABCD的边的6个公共点．如图所示， 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 17．（1）；（2）或；（3），，， 【分析】（1）由直线求出A(0,6)，，证明△AOC∽△BOA，得出OC的长，由对称性可得OF=OC，由勾股定理求出AC=12，可知∠ACO=30°，∠FOG=60°，得∠OFG=30°，因此，，，从而可得点F的坐标． （2）求出直线AC的解析式y=-x+6，根据求出F点的纵坐标，代入AC的解析式求出F的横坐标，进而求出中点D的坐标，代入l2的解析式即可得到结论； （3））△ABO绕点C旋转60°得到△A1B1O1，得到△BCB1，△OO1C都是等边三角形，当B1RSA1是矩形时，B1R⊥B1A1，R在y=x上，R（2，6）；当B1RA1S是矩形时，B1R⊥RA1，R与O1重合，R（3，9）． 【详解】（1）对于，令x=0，则y=6；y=0，则x=， ∴， ∴AO=6，BO= ∵向右平移个单位过点 ∴ ∵， ∴∠BAO+∠CAO=90°, 又∠OBA+∠BAO=90， ∴∠OBA=∠CAO ∵∠AOB=∠AOC ∴△AOC∽△BOA ，即 ∴OC= ∴ 作，，与重合，即 在直角三角形AOC中，AO=6，OC=，∠AOC=90° ∴AC= ∴∠ACO=30°， ∴∠FOG=60° ∴∠OFG=30° ∴， ∴ （2）设直线AC的解析式为：y=mx+n, 把A（0，6），分别代入得m=，n=6， 所以，直线AC的解析式为：y=-x+6， ∵， ∴ ∵在上 ∴代入解析式，得， ∵是中点 ∴， 在上，设解析式 代入点坐标得：或 （3）△ABO绕点C旋转60°得到△A1B1O1， ∴△BCB1，△OO1C都是等边三角形， ∴B1（2，12），O1（3，9），A1（6，12）， 当B1RSA1是矩形时，B1R⊥B1A1，R在y=x上， ∴R（2，6）； ∴S（6，6） 当B1A1RS是矩形时，A1B1⊥B1R，R在y=x上， ∴R（6，18）， ∴S（2，18）， 当B1RA1S是矩形时，B1R⊥RA1，R与O1重合， ∴R（3，9），R（5，15）， ∴S（5，15），S（3，9）， 故存在R使得以点A1、B1、R、S为顶点的四边形是矩形，S（6，6），S（2，18），S（5，15），S（3，9）． 【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数的平移，矩形的性质，直角三角形，直线的平行于垂直，探索点的存在性；能够结合直角三角形知识解决点的问题是难点，数形结合是探究矩形存在的有效手段． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$