精品解析：福建省泉州第五中学2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

泉州五中2024—2025学年上学期初三年期中考试 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的值不可以取（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键． 2. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 3. 如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点 D，E，且，那么A，B两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵ 的中点分别是点 D，E, ∴． 故选：C． 4. 在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义：邻边比斜边，是解本题的关键．根据三角函数的知识进行解答即可． 【详解】解：在中，，，， ， 解得：， 故选：A． 5. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动2个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动2个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动2个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动2个单位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 抛物线的顶点坐标是． 则由二次函数的图象向左移动1个单位，向下移动2个单位，可得到的图象． 故选：C 6. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将代入方程中得到，进而即可得到的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个解， ， 即， ， 故选：D． 7. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】图中，符合该结果的频率在和之间 A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率约为，不合题意； C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为； 故选：C． 【点睛】本题考查频率的计算，理解频数与频率的概念是解题的基础． 8. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、根据概率公式求概率，由一元二次方程的定义以及一元二次方程根的判别式得出且，从而得出的取值可以是3，，最后再由概率公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ，， 解得：，且， 的取值可以是3，， 使一元二次方程有实数根的概率， 故选：D． 9. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. 是的中位线 B. 点O为的重心 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定、平行线分线段成比例等知识，本题中根据作图方法判断出“是线段的垂直平分线”是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，则，所以，再结合可得，则，同理，所以即，据此即可解答． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，同理：， ∴， ∴，即D选项一定成立，符合题意； ∵，但点E不一定是的中点，则不一定是的中位线，故A选项不符合题意； 平分，二重心是三角形三边中线的交点，故B选项不符合题意； 不能说明点F是的中点,故C选项不符合题意． 故选D． 10. 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1， ∴二次函数的图象过点， ∴， ∴，， 则，， ∵二次函数的图象的顶点在第一象限， ∴，， 将，代入上式得： ，解得：， ，解得：或， 故：， 故选D． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式、同类次根式即可求得的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 若四边形与四边形的相似比为，且四边形的面积为4，则四边形的面积是__________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，得到四边形与四边形的面积比为，根据四边形的面积为4，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， ∵四边形的面积为4， ∴四边形的面积是9． 故答案为：9． 13. 如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、正弦等知识，熟练掌握正弦的定义是解题关键．结合网格，取的中点为格点，先利用勾股定理分别求出的长，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后根据正弦的定义求解即可得． 【详解】解：如图，结合网格，取的中点为格点， 设网格纸中的每个小正方形的边长为1， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 14. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为______ 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AE与BF的长度，然后求出EF的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC=56，∠PCA=30°， 由对称性可知：BF=AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=56+10=66； 故答案为：66cm． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型． 15. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据新定义运算列出一元二次方程，再结合根与系数的关系求出和的值，最后通过对完全平方公式变形求出分式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m，n是方程的两根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，将线段绕点A顺时针旋转150°得到，连接交于点E．过点C作于点F，交于点G．给出下列四个结论： ①，②，③，④． 其中正确的结论是_______．（请写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先由，，，得出，结合线段绕点A顺时针旋转150°得到，得，即在中，，得出；由于旋转，得，则，得，因为，证明是等边三角形，则；易得，，所以；通过等面积法求出的值，再通过等角对等边，得，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴ ∵线段绕点A顺时针旋转150°得到， ∴ 则 ∵ ∴ 则， 故①是正确； ∵线段绕点A顺时针旋转150°得到， ∴， 则 ∵ ∴， 则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ 则 故②是正确的； ∵ ∴ ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转150°得到， ∴， ∴； 故③是错误的； 过点B作垂直于直线，过点A作，如图： ∵ ∴在中，， ∵ ∴ 解得； ∵线段绕点A顺时针旋转150°得到， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 即 则 解得（负值已舍去） 则 ∴ 则 ∴ 故④是正确的． 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、解直角三角形、旋转性质、等边对等角：综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题：本大题共9小题，共86分． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先化简二次根式，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解： ， 或， 解得：，． 18. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出． ，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ． ． ． 19. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 【答案】的长为9． 【解析】 【分析】根据已知条件证明，得到求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴． 故的长为9． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解． 20. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）先求出小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得； （2）先画出树状图，则可得小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种，再利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：∵小红从四个实验中任意选一个实验，共有4种等可能的结果，其中，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 所以实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小红从四个实验中任意选两个实验，共有12种等可能的结果，其中，两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有2种， 则两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是， 答：两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率是． 21. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）；（2）证明：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）直接把x=1代入方程求出m的值； （2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可． 【详解】解：（1）根据题意，将x=1代入方程， 得：， 解得：m=． （2）略 22. 如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． （1）以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧； （2）在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）点E的坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换作图，三角形的面积，坐标与图形，解题的关键是掌握位似变换的性质正确作出图形是解题的关键． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，D的对应点，，，顺次连接，，得出，即可解题； （2）根据建立等式，求出的长，进而即可得到点E的坐标． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：， ， 解得， 点A的坐标为， 点E的坐标为或． 23. 【项目式学习】 【项目主题】太阳能路灯支撑杆长度的检测 【项目背景】寻找生活中的数学，幸福小区的初三学生们组成数学兴趣小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享． 【项目素材】 素材一： 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响． 素材二： 甲小组对小区周边的太阳能路灯（如图1所示）与水平地面的夹角建立数学模型，对日平均太阳辐射量y（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．利用数据，甲小组计算出该函数的解析式为：． 素材三： 图3是太阳能路灯安装后的示意图，在保证太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大时，乙小组对支撑杆的长建立数学模型进行测算．如图3，为太阳能板与水平地面的夹角，已知，C是的中点，．在延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为，，该测角仪支架的高为． 任务一：该路段太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ 任务二：求支撑杆的长．（结果保留根号） 【答案】任务一：夹角为30度； 任务二：求支撑杆的长． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）求出二次函数的对称轴，在对称轴处取最值即可； （2）延长与过点A作的线交于点H，令，根据三角函数进行计算，求出即可得到答案 【详解】解：（1）函数解析式为， 对称轴， 故太阳能板与水平地面的夹角为30度时，日平均太阳辐射量最大； （2）延长与过点A作的线交于点H，令， ∵，， ，， ， ， ， ， ， 延长交与J点， ， ， ， ， ， ． 24. 如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，平分， 且是的中点， 直线是线段的垂直平分线， ． （2） ①证明：连接，如图2． ，是的中点， 中位线， ， ． ，， ，． ， ， ， ． ②9 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一的性质得到，平分，故是的垂直平分线，进而通过垂直平分线的性质即可证得． （2）①根据题目中的提示构造三角形中位线：连接，再通过等角的三角函数值相等得到三角形边的比例关系，进而化比例式为等积式即可得证． ②连接，．先利用等腰三角形的性质及平行线的性质定理等证得，利用在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程进而求得的值，再根据在直角三角形中边的比例关系得到，根据勾股定理构建关于的方程，即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：连接，如图3． ， ， ． ， ． ，H是的中点， ． ， ， ， ， ． 连结． ，H是的中点， ． ． ． ． ． ． ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，三角函数等，能够根据题目构造辅助线，综合利用多个知识点，通过线段之间的比例及勾股定理建立方程求解是本题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，过点作，垂足为，求周长的最大值； （3）如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）或或． 【解析】 【分析】把，的坐标代入，得到关于、的方程组，解方程组得到：，从而得到抛物线的表达式； 利用待定系数法求出直线的解析式为，设点的横坐标为，则点的横坐标为，可以得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，根据点、的坐标求出的周长为，利用可得它们的相似比为，根据相似三角形的周长比等于相似比可得，整理可得，可得有最大值且最大值为； 点在对称轴上，设点的坐标为，分三种情况：当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；当点恰好落在矩形对角线所在的直线上时，当点落实在矩形对角线的延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如下图所示， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把、代入， 得到：， 解得：， 直线的解析式为， 点的横坐标为，则点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ， 在中， 在中， ， ， 在和中，，， ， ，， ， ，的周长为， ， ， 整理得：， ， ， 有最大值， 最大值为； 【小问3详解】 解：如下图所示， 抛物线的解析式为， 对称轴为， 点在对称轴上，设点的坐标为， 抛物线的对称轴交轴于点，交边于点， 则，，， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时， 则是的垂直平分线， ， ， 又四边形是矩形，，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； 当点恰好落在矩形对角线所在的直线上时， 如下图所示，连接交于点， 点和点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 、关于对称轴对称， 点是的中点，且， 点是的中点， 点的坐标是， ，， 在中，， ， 解得：，， 点的坐标为； 如下图所示，当点落实在矩形对角线的延长线上时， 过点作轴于点，连接交于点， 点和点关于直线对称， 是的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， 解得：，， ， 点的坐标为， 点是的中点， 点的坐标是 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； 综上所述点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2024—2025学年上学期初三年期中考试 数学试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使二次根式有意义，则的值不可以取（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点 D，E，且，那么A，B两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 8 D. 5. 通过平移的图象，可得到的图象，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动2个单位 B. 向右移动1个单位，向上移动2个单位 C. 向左移动1个单位，向下移动2个单位 D. 向右移动1个单位，向下移动2个单位 6. 若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值是（ ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 7. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 8. 如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程有实数根的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 9. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ） A. 是的中位线 B. 点O为的重心 C. D. 10. 关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为__________． 12. 若四边形与四边形的相似比为，且四边形的面积为4，则四边形的面积是__________． 13. 如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则的值是___________． 14. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为______ 15. 对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：，例如．若m，n是方程的两根，则的值为__________． 16. 如图，在中，，，，将线段绕点A顺时针旋转150°得到，连接交于点E．过点C作于点F，交于点G．给出下列四个结论： ①，②，③，④． 其中正确的结论是_______．（请写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共9小题，共86分． 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知，，求的值． 19. 如图，在中，D为上一点，．求的长． 20. 化学课上，小红学到：将二氧化碳气体通入澄清石灰水，澄清石灰水就会变浑浊，以下为四个常考的实验： A．高锰酸钾制取氧气： B．碳酸钙制取二氧化碳： C．电解水： D．一氧化碳还原氧化铜：； （1）若小红从四个实验中任意选一个实验，实验产生的气体不会使澄清石灰水变浑浊的概率是多少？ （2）若小红从四个实验中任意选两个实验，请用列表或树状图的方法求两个实验产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 21. 已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，求m的值； (2)求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 22. 如图，在直角坐标平面内，点A的坐标为． （1）以O为位似中心，画出的位似图形，相似比为，且位于位似中心异侧； （2）在x轴上找一点E，使得的面积，求点E的坐标． 23. 【项目式学习】 【项目主题】太阳能路灯支撑杆长度的检测 【项目背景】寻找生活中的数学，幸福小区的初三学生们组成数学兴趣小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享． 【项目素材】 素材一： 在光伏发电系统运行时，太阳能板（如图1）与水平地面的夹角会对太阳辐射的接收产生直接影响． 素材二： 甲小组对小区周边的太阳能路灯（如图1所示）与水平地面的夹角建立数学模型，对日平均太阳辐射量y（单位：）和太阳能板与水平地面的夹角进行统计，绘制了如图2所示的散点图，已知该散点图可用二次函数刻画．利用数据，甲小组计算出该函数的解析式为：． 素材三： 图3是太阳能路灯安装后的示意图，在保证太阳能板与水平地面的夹角使得日平均太阳辐射量最大时，乙小组对支撑杆的长建立数学模型进行测算．如图3，为太阳能板与水平地面的夹角，已知，C是的中点，．在延长线上选取一点M，在D，M两点间选取一点E，测得，在M，E两点处分别用测角仪测得太阳能板顶端A的仰角为，，该测角仪支架的高为． 任务一：该路段太阳能板与水平地面的夹角为多少度时，日平均太阳辐射量最大？ 任务二：求支撑杆的长．（结果保留根号） 24. 如图1，在中，，平分交于点D，点E是线段上一点，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点F，取的中点H，过点H作，交于点G，交于点M， ①如图2，若，求证：； ②如图3，若，，求的长． 25. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，过点作，垂足为，求周长的最大值； （3）如图，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $