精品解析：省级重点 福建省福州第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

福州一中2024-2025学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上） 1. 若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵两个相似图形的相似比是， ∴它们的面积比是， 故选：D． 2. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像的平移，解题的关键是：熟记平移规律，根据平移规则“左加右减，上加下减”，即可求解． 【详解】解：把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为． 故选：C． 3. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查运用一元二次方程的根求参数，掌握一元二次方程根据的代入计算求参数的方法是解题的关键．把一个根为代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程有一个根为， ∴，解得， 故选：C． 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．根据旋转的性质可得，，证明是等边三角形，即可得的长． 【详解】解：连接，如图所示： 将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， 则， 故选：A． 5. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，从而求出∠BAC，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出∠BDC． 【详解】解：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点， ∴∠ACB=90°， ∵∠ABC=25°， ∴∠BAC=90°-25°=65°， ∴∠BDC=∠BAC=65°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法． 6. 近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由题意根据某市2021年及2023年的数字阅读市场规模，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市年平均增长率为x， 依题意，得：． 故选：C． 7. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，”由此即可得出结论． 【详解】解：当时，；当时，， ∴方程的一个近似根x的范围是， 故选：A． 【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键． 8. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 9. 把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对图上各边标上字母，由题意可证得△ADH∽△GCH，利用相似三角形对应线段成比例可知，可求得阴影部分面积的高DH，进而求得阴影部分面积. 【详解】 ∵∠CHG=∠DHA，∠HCG=∠ADH ∴△ADH∽△GCH ∴ 即 解得DH= ∴阴影部分面积=1××= 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求阴影部分的面积，解本题的关键是求得阴影部分的高进而即可解题. 10. 点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是通过得到；由，可得，再解不等式组即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 故选：． 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上） 11. 在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题的关键． 利用概率的意义直接得出答案． 【详解】∵连续抛掷一枚硬币，有种等可能结果：正面朝上，反面朝上，其中正面向上的只有种情况， ∴正面朝上的概率为：． 故答案为：． 12. 点A坐标为，点A与点B关于原点中心对称，点B坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数”即可求解． 【详解】解；∵点与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 13. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点个数问题，根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由抛物线与x轴只有一个交点得到的方程的根的判别式为0，解方程即可． 【详解】解：当时，， 由题意得，， 解得：， 故答案为：1． 14. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出是解题的关键．先由抛物线，可得抛物线的对称轴为直线，从而得到以a、b为横坐标的点关于直线对称，进而得到，再把代入，即可求解． 【详解】解：由抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当或时，代数式的值相等， ∴当或时，抛物线的函数值相等， ∴以a、b为横坐标的点关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， 即时，代数式的值为． 故答案为：． 16. 中，，，D在线段上运动，以为斜边作，使，点E和点A位于的两侧，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】作，过点A作于F，连接，证明得到，则点E在直线上运动；设直线交于G，交于K，过点B作直线的垂线，垂足为H，连接，证明，进而证明，得到，则可求出；再证明，得到，由垂线段最短可知，当点E与点H重合时，有最小值，最小值为． 【详解】解：如图所示，作，过点A作于F，连接， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为定点， ∴点E在直线上运动， 设直线交于G，交于K，过点B作直线的垂线，垂足为H，连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当点E与点H重合时，有最小值，最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确推出点E的轨迹是直线是解题的关键． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，整理方程，再直接开平方即可求解； （2）先整理方程，再根据公式法求解即可． 【小问1详解】 解：整理方程得：， 解得； 【小问2详解】 解：整理方程得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 【答案】 ∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC． 又∵CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CEB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△ABD∽△CBE． 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键． 19. 如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有，、、均在小正方形的顶点上． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）在（1）的旋转过程中，求点运动的路径的长度． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，求弧长： （1）根据旋转的性质，画出即可； （2）根据旋转，得到点运动的路径为的长，利用弧长公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由勾股定理，得：， ∴点运动的路径的长度为． 20. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； 【答案】（1） 证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2） 证明：线段是的直径， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可； （2）根据题意证得，再根据等边对等角即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 21. 已知抛物线经过点，，且有最大值4． （1）求抛物线的表达式； （2）若，求函数值y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，掌握当时，离对称轴越远，y值越小是解题的关键； （1）由待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）根据当时，离对称轴越远，y值越小可知，当时，函数有最小值，而当时，函数有最大值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵函数有最大值4， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， 离对称轴越远，y值越小， ， 当时，函数有最小值，最小值为， 当时，函数有最大值为， ． 22. 一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． （1）若从袋中随机摸出一球，求该球是红球的概率； （2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由． 【答案】（1） （2） 解：当往袋中加入1个红球时，列表如下： 红1 红2 黑1 黑2 红1 —— （红1，红2） （红1，黑1） （红1，黑2） 红2 （红2，红1） —— （红2，黑1） （红2，黑2） 黑1 （黑1，红1） （黑1，红2） —— （黑1，黑2） 黑2 （黑2，红1） （黑2，红2） （黑2，黑1） —— 共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有4种， 抽取的这两球颜色相同的概率为； 当往袋中加入 1个黑球时，列表如下： 红 黑1 黑2 黑3 红 —— （红，黑1） （红，黑2） （红，黑3） 黑1 （黑1，红） —— （黑1，黑2） （黑1，黑3） 黑2 （黑2，红） （黑2，黑1） —— （黑2，黑3） 黑3 （黑3，红） （黑3，黑1） （黑3，黑2） —— 共有12种等可能的结果，其中抽取的这两球颜色相同的结果有6种， 抽取的这两球颜色相同的概率为， ， 应往袋中加入黑球． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）当往袋中加入1个红球时，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得此时抽取的这两球颜色相同的概率，当往袋中加入1个黑球时，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得此时抽取的这两球颜色相同的概率，作比较即可． 【小问1详解】 解：由题意得，该球是红球的概率为； 【小问2详解】 略 23. 正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形的边长为．如图，圆O的半径1，和是相互垂直的直径，直线l是过点C的圆的切线． （1）尺规作图：①作的中点E，②以C为圆心，的长为半径交切线于点F，③以F为圆心，的长半径交切线于点G，且F、G在直线的两侧，连接、． （2）结合材料，在线段、、中，判断哪条线段的长度等于圆O的内接正五边形的边长，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 的长度等于圆的内接正五边形的边长，理由如下： 由题意可知，，， ∵点为的中点， ∴， 由以C为圆心，的长为半径交切线于点F，可知， ∴，， 由以F为圆心，的长半径交切线于点G，可知， ∴， 则 ， ∴的长度等于圆的内接正五边形的边长． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作垂直平分线的步骤，结合题中要求作图即可求解； （2）由题意可知，，，根据题意，结合勾股定理求出、、比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图作垂直平分线，切线的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识点，理解题意，明白作图意图是解决问题的关键． 24. 根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃： 素材：有一堵长米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃． 素材：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图），求解决过程如下： 设平行于墙面的篱笆长为米，则垂直于墙面的篱笆长为米 依题意得： ∵函数开口向下，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大 ∴时，的最大值为 素材：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图） 设墙左端篱笆长为米，解决下列问题： 任务：当时，对于乙的方案，则可知 （用含的代数式表示），花圃面积 （用含的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：对于丙的方案，设所用墙的长度为米（），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由． 【答案】任务：；，该方案对应的花圃面积的最大值为平方米 任务：平方米 任务：∵甲方案：的最大值为； 乙方案：，， ，， ， ∴花圃面积， 即， ∴当时，的最大值； 丙方案：最大值； ∵， ∴丙方案的最大值一定小于乙方案的最大值， ∴排除丙方案， 设的最大值函数为，的最大值函数为， 令，则， 即， ∴， ∴与仅有一个交点， ∵当时，， ∴在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方， ∴乙方案设计出的花圃面积更大． 【解析】 【分析】任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为 ，，故当时，的最大值为； 任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为 ，，故当时，花圃面积取最大值； 任务：根据，可得丙方案的最大值一定小于乙方案的最大值，排除丙方案， 设的最大值函数为，的最大值函数为，令，得，根据，可得与仅有一个交点，因为当时，，在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方，故乙方案设计出的花圃面积更大． 【详解】解：任务：∵，， ∴， 又∵篱笆总长为，， ∴， ∵乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分， ∴，， ∴， ∴花圃面积， 即， ∵函数开口向下，对称轴为直线， ∴时，最大值， 故答案为：；，该方案对应的花圃面积的最大值为平方米； 任务：∵，， ∴， 又∵篱笆总长为，， ∴， ∵丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分， ∴，， ∴， ∴花圃面积， 即， ∵函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，花圃面积取最大值平方米； 任务：略 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上． （1）如图，将沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接． ①若，，求对角线的长； ②若，求的度数及此时的值． （2）如图，若，，连接，将沿折叠，点的对应点为点，当线段与线段交于点且为直角三角形时，求此时的长． 【答案】（1）①；②，； （2）或 【解析】 【分析】（）①由矩形的性质可得，由直角三角形的性质及勾股定理可得，由折叠的性质可得，，证明为等边三角形，得出，求出， 再由直角三角形的性质即可得解； ②连接，由折叠的性质可得，，从而得出，由等边对等角得出，设，则，，由直角三角形的性质可得，得出，由三角形内角和定理得出，即，，再由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，证明，由相似三角形的性质得出，，即可求解； （）由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得， 再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵为直角三角形， ∴当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴； 当时，如图， 同理可得，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得， ∴， 解得或， ∴或， ∵， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024-2025学年度第一学期期中考试 初三数学试卷 （完卷120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分，请把答案写在答题卷上） 1. 若两个相似图形的相似比是，则它们的面积比是（ ） A. B. C. D. 2. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度后所得的图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的方程有一个根为，则a的值为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的一个近似解x的范围是（　　） 　x … ﹣3 ﹣2　 ﹣1　 0　 1　 … 　y … ﹣11 ﹣5　 ﹣1　 1　 1　 … A. B. C. D. 8. 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 9. 把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 点，在抛物线上，且满足，，，则m的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（每题4分，共24分，请把答案写在答题卷上） 11. 在做抛掷均匀硬币实验时，抛一次硬币，正面朝上的概率为____________． 12. 点A坐标为，点A与点B关于原点中心对称，点B坐标为____________． 13. 已知抛物线与x轴只有一个交点，则______________． 14. 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为________cm． 15. 当与时，代数式的值相等，则时，代数式的值为____________． 16. 中，，，D在线段上运动，以为斜边作，使，点E和点A位于的两侧，连接，则的最小值为____________． 三、解答题（共86分，请把答案写在答题卷上） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE． 19. 如图，每个小正方形的边长均为1，方格纸中画有，、、均在小正方形的顶点上． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）在（1）的旋转过程中，求点运动的路径的长度． 20. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； 21. 已知抛物线经过点，，且有最大值4． （1）求抛物线的表达式； （2）若，求函数值y的取值范围． 22. 一个不透明的袋中装有1个红球、2个黑球，它们除颜色不同外其余都相同． （1）若从袋中随机摸出一球，求该球是红球的概率； （2）先往袋中加入1个红球或黑球（它们与袋中的球大小、质地完全一样），再从袋中依次抽取两球（不放回），若要使得抽取的这两球颜色相同的概率较大，则应往袋中加入红球还是黑球？请利用树状图或列表法说明理由． 23. 正五边形是一个具有和谐美的几何图形，其尺规作图法引起了学者们的关注，里士满提出了一个构造圆内接正五边形的尺规作图方法，并且通过计算得到，当圆的半径为1时，其内接正五边形的边长为．如图，圆O的半径1，和是相互垂直的直径，直线l是过点C的圆的切线． （1）尺规作图：①作的中点E，②以C为圆心，的长为半径交切线于点F，③以F为圆心，的长半径交切线于点G，且F、G在直线的两侧，连接、． （2）结合材料，在线段、、中，判断哪条线段的长度等于圆O的内接正五边形的边长，并说明理由． 24. 根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃： 素材：有一堵长米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃． 素材：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图），求解决过程如下： 设平行于墙面的篱笆长为米，则垂直于墙面的篱笆长为米 依题意得： ∵函数开口向下，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大 ∴时，的最大值为 素材：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图） 设墙左端篱笆长为米，解决下列问题： 任务：当时，对于乙的方案，则可知 （用含的代数式表示），花圃面积 （用含的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：对于丙的方案，设所用墙的长度为米（），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由． 25. 如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上． （1）如图，将沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接． ①若，，求对角线的长； ②若，求的度数及此时的值． （2）如图，若，，连接，将沿折叠，点的对应点为点，当线段与线段交于点且为直角三角形时，求此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $