第18讲 等差数列的概念（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版2019）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第18讲 等差数列的概念 学习目标： 1．通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义； 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算； 3．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 重点难点： 重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。 难点：等差数列的通项公式的应用 知识点一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为， 通项公式为 知识点二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 考点01等差数列的判断 1．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．（多选）下列数列是等差数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．，，，1，2 3．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有 个. 4．已知有限数列各项为1，7，13，19，25，则该数列是否为等差数列． 5．判断下列数列是否为等差数列： (1)； (2) 考点02等差数列的通项公式及其应用 6．在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 7．在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 8．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 9．已知数列满足， 且 ，则等于（   ） A． B． C． D． 10．等差数列中，，，则 ． 11．等差数列中，若，则的值为 ． 12．已知等差数列1，，，，…，． (1)求该数列的通项公式与项数； (2)是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 考点03等差数列的证明 13．已知数列满足：，，，.证明：数列为等差数列，并写出数列的通项； 14．已知数列中，，，数列满足，求数列的通项公式； 15．设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列； 16．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列等差数列. 17．已知数列满足：，. (1)计算数列的前4项； (2)求证：是等差数列； (3)求的通项公式. 18．已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式. 考点04等差中项及应用 19．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 20．在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 21．已知是实数，则“”是“为和的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 23．已知数列是等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 24．已知647 和 895的等差中项为，则 . 考点05有关等差数列的数学文化 25．南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 26．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 27．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．17 C．18 D．19 28．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 29．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 . 30．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为 . 考点06等差数列性质的应用 31．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．不能确定 32．已知为等差数列，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 33．设是公差为3的等差数列，且，若，则（    ） A．21 B．25 C．27 D．31 34．已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 35．已知无穷等差数列的首项为，公差为，将所有序号为3的倍数与序号为7的倍数的项取出分别组成新的等差数列，记为，其公差分别为，则 ． 36．已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 考点07等差数列中对称设项法的应用 37．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为 ． 38．已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 39．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 40．已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 41．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 基础试炼 一、单选题 1．已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（    ） A．52 B．62 C． D． 2．已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列是公差不为的等差数列，则“”是“”成立的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 5．已知等差数列的首项为，公差为，若 是该数列中的一项，则公差可能的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．若一个等差数列的首项，末项，且公差为整数，则项数n的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 三、填空题 7．我国数学著作《九章算术》中很早就有有关数列问题的记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”，译文为：“现有人分钱（一种单位），要使分得钱数最多的两人所得的钱数和与其他三人所得的钱数和相等，且五人分得的钱数的某种排列成等差数列，问各得多少钱.”在上述问题中随机取一人，这个人得到的钱数可能为： .（写出一种可能即可）. 8．已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间插入1项，使其与原数列的数构成新的等差数列，则数列的通项公式为 ． 9．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 四、解答题 10．在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 11．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 12．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 高阶突破 1．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）已知，且成等差数列（    ） A．也成等差数列 B．也成等差数列 C． D． 3．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 4．已知平面四边形的四个内角、、、由小到大依次排列恰成公差不为零的等差数列，，则的取值范围是 5．若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 6．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 7．已知各项为正数的数列的前项和为，满足．求数列的通项公式； 8．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第18讲 等差数列的概念 学习目标： 1．通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义； 2．能根据等差数列的定义推出等差数列的性质,并能运用这些性质简化运算； 3．能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 重点难点： 重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式。 难点：等差数列的通项公式的应用 知识点一、等差数列的概念与通项公式 1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 2.等差中项 由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,. 3.等差数列的递推公式及通项公式 已知等差数列的首项为,公差为d，则递推公式为， 通项公式为 知识点二、等差数列的性质与应用 1.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 2.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 3.下标性质 在等差数列中,若,则.特别的,若,则有 考点01等差数列的判断 1．下列数列是等差数列的是（   ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【详解】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2．（多选）下列数列是等差数列的是（    ） A．1，1，1，1，1 B．4，7，10，13，16 C．，，1，， D．，，，1，2 【答案】ABC 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列的定义得， A选项，故是等差数列； B选项，故是等差数列； C选项，故是等差数列； D选项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列． 故选：ABC 3．从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有 个. 【答案】32 【详解】当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个； 当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个； 当公差时，数列有1，4，7；2，5，8；3，6，9共3个； 当公差时，数列有1，5，9共1个， 同理，当时，有7个， 当时，有5个， 当时，有3个， 当时，有1个， 故共有． 故答案为：. 4．已知有限数列各项为1，7，13，19，25，则该数列是否为等差数列． 【答案】是 【详解】因为， 所以根据等差数列的定义可知，该数列是以1为首项，6为公差的等差数列． 5．判断下列数列是否为等差数列： (1)； (2) 【答案】(1)是等差数列 (2)不是等差数列 【详解】（1）当时，， 所以这个数列是等差数列． （2）由通项公式，知，，． ，所以该数列不是等差数列． 考点02等差数列的通项公式及其应用 6．在等差数列中，，公差，则首项（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【详解】. 故选：D. 7．在公差为的等差数列中，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为公差为的等差数列， 所以 故选：D 8．已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，即，则． 故选：A． 9．已知数列满足， 且 ，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以知数列是等差数列，首项为，公差为， 所以， ， 所以. 故选：A. 10．等差数列中，，，则 ． 【答案】0 【详解】由题意设公差为，则，所以. 故答案为：0. 11．等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由，得，即， 所以. 故答案为：. 12．已知等差数列1，，，，…，． (1)求该数列的通项公式与项数； (2)是不是该数列的项？如果是，是第几项？ 【答案】(1)，46 (2)是，第项 【详解】（1）因为，， 所以． 由，得． （2）由(1)知，， 令，得． 所以是该数列的项，是第项． 考点03等差数列的证明 13．已知数列满足：，，，.证明：数列为等差数列，并写出数列的通项； 【答案】证明见解析， 【详解】将左右同时除以得： ， 整理得，即是等差数列， 因为，，得，故公差为1， 所以，故； 14．已知数列中，，，数列满足，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 又，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故． 15．设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【详解】数列的前n项和为，因为， 所以，即 所以 （为常数）， 所以数列是等差数列． 16．已知数列的前项和满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列等差数列. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）设，其中， 因此，则，数列是等差数列， 所以数列是首项为12，公差为的等差数列. 17．已知数列满足：，. (1)计算数列的前4项； (2)求证：是等差数列； (3)求的通项公式. 【答案】(1)，，，； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）数列中，，，则，，， 所以数列的前4项为，，，． （2）由（1）知，，将等号两端取倒数得，，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）知，即， 所以数列的通项公式为. 18．已知数列满足，且.证明：数列是等差数列，并求的通项公式. 【答案】证明见解析， 【详解】证明：在等式两边同时除以，可得， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 因此，，故. 考点04等差中项及应用 19．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C．4.5 D．3 【答案】D 【详解】，， ，， 和的等差中项是. 故选：D. 20．在等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【详解】因为在等差数列中，， 所以， 所以， 故选：B. 21．已知是实数，则“”是“为和的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若为和的等差中项，等价于，等价于， 所以“”是“为和的等差中项”的充要条件. 故选：C. 22．已知数列是公差为d的等差数列，对正整数m，n，p，若，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【详解】因为数列是公差为d的等差数列，若，等价于， 等价于，等价于， 所以是的充要条件. 故选：D. 23．已知数列是等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查等差数列的性质和简单的三角运算． 由，故，则， 所以． 故选：B 24．已知647 和 895的等差中项为，则 . 【答案】 【详解】因为647 和 895的等差中项为A， 则，所以. 故答案为：. 考点05有关等差数列的数学文化 25．南宋数学家杨辉详解九张算法和算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前项分别，，，，，，，则该数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令数列：为数列，于是， 依题意，数列为：，于是 数列为：是等差数列，， 则，因此， 所以该数列的第项为. 故选：B 26．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【详解】由题意知， 所以，，， 故选：B 27．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（    ） A．15 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【详解】前几项为3、5、7、9、11， 所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以，所以， 故选：B. 28．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】设羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次为，由题意得 通过等差中项可判断羊、骡子、马、牛吃的禾苗数依次成等差数列， 设该数列为，公差为，则．由题意得 即解得 故选：B. 29．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为 . 【答案】 【详解】依题意既是的倍数也是的倍数还是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： 30．在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为 . 【答案】12.5尺 【详解】由题意得：为等差数列，公差为，则， 则，故春分的日影长为尺. 故答案为：尺 考点06等差数列性质的应用 31．等差数列的前项和为，若为定值时也是定值，则的值为（    ） A．9 B．11 C．13 D．不能确定 【答案】C 【详解】因为为定值且，故为定值，故为定值，其中为公差. 而， 故当且仅当即时，为定值. 故选：C. 32．已知为等差数列，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为数列为等差数列，所以， 解得， ， ， 故选：. 33．设是公差为3的等差数列，且，若，则（    ） A．21 B．25 C．27 D．31 【答案】D 【详解】由，得，则， 从而. 故选：D 34．已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时，（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 则，，得， 则，， 因此当时，，当时，，则最小， 故取得最小值时，． 故选：C． 35．已知无穷等差数列的首项为，公差为，将所有序号为3的倍数与序号为7的倍数的项取出分别组成新的等差数列，记为，其公差分别为，则 ． 【答案】 【详解】由题可得数列中所包含的项分别为，即公差； 数列中所包含的项分别为， 即公差，所以． 故答案为：. 36．已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，为方程的两根， 所以， 又，，，成等差数列， 所以. 故答案为： 考点07等差数列中对称设项法的应用 37．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为 ． 【答案】2，5，8，11或11，8，5，2． 【详解】设这四个数依次为(公差为)． 因为四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40， 所以，解得：或， ∴这个数列为或 故答案为：2,5,8,11或11,8,5,2． 38．已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 【答案】等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 【详解】设四个数为,则 所以解得，， 此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1. 39．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列． 【答案】详见解析. 【详解】设这四个数分别为， 由题意得， 即， 解得或或或， 当时，这个等差数列为：-1，2，5，8； 当时，这个等差数列为：8，5，2，-1； 当时，这个的等差数列为：-8，-5，-2，1； 当时，这个等差数列为1，-2，-5，-8. 40．已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 【答案】1 【详解】因为，则， 因为构成等差数列，则，即，即， 因为构成等差数列，则，即，解得． 41．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 【答案】－，，1，，或，，1，，－ 【详解】 设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为，由已知有 ， 整理得，所以. 当时,这5个数分别为－，，1，，； 当时,这5个数分别为，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. 基础试炼 一、单选题 1．已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为（    ） A．52 B．62 C． D． 【答案】A 【详解】由题意设等差数列的首相和公差分别为， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 2．已知等差数列的前3项分别为，，，则此数列的通项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，为等差数列， 则，解得， 可知等差数列的前3项分别为，1，，即首项为，公差为2， 所以此数列的通项为. 故选：B. 3．已知数列是公差不为的等差数列，则“”是“”成立的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 当时，则，故充分性满足； 当时，有， ， 即，且，则， 即，故必要性满足； 所以“”是“”成立的充分必要条件. 故选：A. 4．公差不为的等差数列满足，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，，则，所以， 所以， 当且仅当且时，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 二、多选题 5．已知等差数列的首项为，公差为，若 是该数列中的一项，则公差可能的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】ABC 【详解】由题意，等差数列的首项为，公差为， 若 是该数列中的一项，可得，所以， 因为和都是正整数，所以时，，所以A正确； 当时，，所以B正确； 当时，，所以C正确； 当时，，所以D不正确. 故选：ABC. 6．若一个等差数列的首项，末项，且公差为整数，则项数n的取值可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】AD 【详解】由，得，解得. 又d为整数，，则 故选：AD. 三、填空题 7．我国数学著作《九章算术》中很早就有有关数列问题的记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”，译文为：“现有人分钱（一种单位），要使分得钱数最多的两人所得的钱数和与其他三人所得的钱数和相等，且五人分得的钱数的某种排列成等差数列，问各得多少钱.”在上述问题中随机取一人，这个人得到的钱数可能为： .（写出一种可能即可）. 【答案】或. 【详解】根据题意，设这五人所得钱数从少到多依次为：， 则有 解的：，则这五人所得钱数依次为：. 故答案为：或. 8．已知等差数列的首项，若在中每相邻两项间插入1项，使其与原数列的数构成新的等差数列，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 设数列的公差为，由题意可知， 故数列是以3为首项，4为公差的等差数列，所以． 故答案为：. 9．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 四、解答题 10．在等差数列，，，，…每相邻的两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列. (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列的项吗？若是，是第几项？ 【答案】(1) (2)是，第45项. 【详解】（1）原数列的公差， 所以新数列的公差，所以新数列的通项公式为. （2）是.设28是新数列的第项，令， 解得，所以28是新数列中的项，且是第45项. 11．四个数成递减的等差数列，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40．求这四个数． 【答案】11，8，5，2 【详解】设这四个数为，，，（公差为2d）， 依题意，得，解得或， 又四个数成递减的等差数列，即，因此． 所以所求的四个数为11，8，5，2. 12．在等差数列中， (1)已知，，求和d； (2)已知，公差，，求n； (3)已知，，求的通项公式． 【答案】(1)，． (2) (3)． 【详解】（1）因为，所以公差． 由，所以， 故，． （2）由，，公差，，得， 解得． （3）由已知可得，解得 所以． 高阶突破 1．设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 2．（多选）已知，且成等差数列（    ） A．也成等差数列 B．也成等差数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以，D选项正确； 因为，所以，C选项正确； 因为，所以,A选项正确； 设成等差数列，得出, 若成等差数列， 则 已知矛盾，所以B错误. 故选： ACD . 3．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【详解】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 4．已知平面四边形的四个内角、、、由小到大依次排列恰成公差不为零的等差数列，，则的取值范围是 【答案】 【详解】依题意，设内角、、、所成等差数列的公差为， ，而，解得， 则，由，得， 因此， 而函数在上递减，，即函数在上都递减， 则在上递减，当时，， 当时，，于是， 所以的取值范围是. 故答案为： 5．若关于的方程和（且）的四个根组成首项为的等差数列，则数列的公差 ，的值为 ． 【答案】 【详解】设的根为，的根为， 则（，）． 设数列的首项为， 则根据等差数列的性质，数列的第4项为． 由题意知，则，数列的公差； 所以数列的中间两项分别为，． 可得，， 所以． 故答案为：；. 6．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 【答案】(1) (2)或,证明见解析 【详解】（1）已知，根据等差数列通项公式可得. 又因为，根据等差数列前项和公式， 可得，即. 联立方程组，可得，即. 将代入，可得. 所以数列的通项公式为. （2）由，， 可得. 所以. 因为，，成等差数列，则. . . . 故：.解得或； 当时，. ，为常数； 当时，，为常数； 所以或，为等差数列. 7．已知各项为正数的数列的前项和为，满足．求数列的通项公式； 【答案】 【详解】， 两式相减得：， 由于，则， 当时，，得， 所以，则， 所以是首项和公差均为2的等差数列， 故． 8．已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得解得 ∴，． （2）由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立． 当时，取得最小值1， ∴，即的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$