专题27.3 平行线分线段成比例（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.3 平行线分线段成比例（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一给平行线的截，所得的对应线段成比例. 【要点说明】平行线分线段成比例定理的常见变形图 【知识点2】平行线分线段成比例定理的推论 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例. 【知识点3】“A型图模型”与“8字型图模型” 【题型目录】 【题型1】利用平行线分线段成比例进行判断.................................3 【题型2】利用平行线分线段成比例定理求线段的长...........................4 【题型3】利用平行线分线段成比例定理求比值...............................5 【题型4】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值....................5 【题型5】通过“中间比搭桥”求值或证明...................................6 【题型6】直通中考.......................................................7 【题型7】拓展延伸.......................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用平行线分线段成比例进行判断 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，交于交于D，A，B，以下结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【题型2】利用平行线分线段成比例定理求线段的长 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【变式1】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ． 【题型3】利用平行线分线段成比例定理求比值 【例3】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【变式2】（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【题型4】构造“A字模型”或“8字模型”求线段长或比值 【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ． 【题型5】通过“中间比搭桥”求值或证明 【例5】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； (2)求证：． 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【例2】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【题型7】拓展延伸 【例1】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知在中，D是上一点，P是上一点． (1)当D是的中点，若，证明：； (2)当D是的中点，若，猜想与之间的数量关系； (3)如果D是上任一点，P是上任一点，若，，猜想与之间的数量关系． 【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.3 平行线分线段成比例（3大知识点7类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】平行线分线段成比例定理 定理：两条直线被一给平行线的截，所得的对应线段成比例. 【要点说明】平行线分线段成比例定理的常见变形图 【知识点2】平行线分线段成比例定理的推论 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例. 【知识点3】“A型图模型”与“8字型图模型” 【题型目录】 【题型1】利用平行线分线段成比例进行判断................................3 【题型2】利用平行线分线段成比例定理求线段的长...........................5 【题型3】利用平行线分线段成比例定理求比值...............................8 【题型4】构造“A字模型”或“8字模型”求值或证明.......................10 【题型5】通过“中间比搭桥”求值或证明..................................15 【题型6】直通中考......................................................17 【题型7】拓展延伸......................................................19 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用平行线分线段成比例进行判断 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，交于交于D，A，B，以下结论错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理推论，熟记并灵活运用平行线分线段成比例定理及推论是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理推论逐项判断即可得． 解：由平行线分线段成比例定理推论得：，则A项正确； 由得：， ∴，即， ∴，则B项正确，C项错误； 由得：， ∴，即， ∴，则D项正确； 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（2022·安徽·模拟预测）如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断即可得到答案． 解：由题意知， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故A项正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故B项正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故C项正确； 根据已知条件推不出，故D项错误． 故选：D． 【点拨】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键， 【题型2】利用平行线分线段成比例定理求线段的长 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，，． (1)若，，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1); (2); 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． （1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 解：（1）， ， ，，， ， 解得； （2），， . ， ， 解得． 【变式1】（2024·河南安阳·模拟预测）如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得到比例式，代入已知数据计算即可． 解：∵， ∴ ∴, 解得， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点D是的边的中点，交于点E，的平分线交于点F，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，掌握中位线定理是解题的关键． 由可证是的中位线，从而，根据角平分线的定义、平行线的性质可得，从而，由即可求解． 解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴为的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3】利用平行线分线段成比例定理求比值 【例3】（23-24九年级上·江西萍乡·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上，且．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可求，，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·浙江·周测）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点拨】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【题型4】构造“A字模型”或“8字模型”求值或证明 【例4】（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【分析】本题考查平行线分线段成比例的推论，过点作，交于点，中，根据，可得，得出．中，根据，可得，等量代换可得． 证明：如图，过点作，交于点． ∵是的中线， ∴， ∵中，， ∴， ∴． ∵中，， ∴， 即， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 【变式2】（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，在中，D为的中点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，若点F恰好为的中点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，线段中点的含义，如图，过作，证明与，从而可得答案，熟记平行线分线段成比例是解本题的关键． 解：如图，过作， ∴， ∵为的中点，即， ∴， ∵， ∴， ∵D为的中点，即， ∴， ∴， 故答案为： 【题型5】通过“中间比搭桥”求值或证明 【例5】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：； (2)求证：． 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论； （2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． （1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根据平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例得到，，再根据平行线分线段成比例定理得到，然后根据等量代换得到，于是有． 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知四边形是菱形，点E是对角线上的一点，连接并延长交于点F，交的延长线于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【分析】（1）证明，得出，根据平行线的性质得出，即可证明结论；（2）根据平行线分线段成比例定理进行证明即可． （1）证明：由菱形可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【例2】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 解:∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【题型7】拓展与延伸 【例1】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知在中，D是上一点，P是上一点． (1)当D是的中点，若，证明：； (2)当D是的中点，若，猜想与之间的数量关系； (3)如果D是上任一点，P是上任一点，若，，猜想与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】（1）过D作交于点E，则利用条件可知是的中位线，是的中位线，利用三角形中位线定理可证得结论； （2）过D作交于点E，利用平行线分线成比例的性质可得，，可得到其关系； （3）过D作，交于点E，找到和的关系及和的关系可得到结论． 解：（1）如图1，过D作交于点E， ∵D是的中点， ∴E为中点， ∵， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴； （2）关系式为：， 证明如下：如图2，过D作交于点E， ∵D是的中点， ∴E为中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴； （3）证明如下： 如图3，过D作，交于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查平行线分线段成比例，利用条件找到和的关系及和的关系是解题的关键．注意比例性质的应用． 【例2】（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，在中，，，．连接交于点，求的值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例线段的基本性质，根据共高两三角形的底边之比等于面积比将线段的比转化为面积的比是解题的关键． 解： 如图，连接、， 则， ，，， ，，，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$