精品解析： 北京市顺义区仁和中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

仁和中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初三年级 数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意选项只有一个． 1. 下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，若在四条线段中，存在其中两条线段长度的比，等于另外两条线段长度的比，则称这四条线段是成比例线段，逐一判断即可． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故四条线段成比例，故本选项符合题意； D、，故四条线段不成比例，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 3. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，得出宽与长的比例即可得出答案． 【详解】解：黄金矩形的宽与长的比等于黄金数， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查新定义题型，给一个新的定义，根据定义来解题，对于这道题是基础题型． 4. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，根据抛物线的平移规律进行作答即可．抛物线的平移规律：上加、下减、左加、右减． 【详解】解：因为先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 所以， 故选：D． 5. 已知点都在函数的图像上，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像与性质，结合确定开口向下，确定对称轴为轴，看到对称轴的距离，当二次函数图像开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小，比较各点到对称轴的距离即可确定函数值大小． 【详解】解：∵点都在函数的图像上，由确定开口向下，且对称轴为轴， ∴当二次函数图像开口向下时，点离对称轴距离越近函数值越大；越远函数值越小， ∵到轴的距离为；到轴的距离为；到轴的距离为； ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握利用二次函数图像与性质比较函数值大小的方法是解决问题的关键． 6. 对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而减小 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：A、当 时， ，即图象必经过，故本选项正确，不符合题意； B、因为 ，所以在每一象限内，随的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、因为 ，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； D、若，图象位于第四象限内，随的增大而增大，此时，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与（0，2）的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵由图象可得抛物线的对称轴为x=-1.5， ∴点（0，2）关于直线x=-1.5的对称点为（-3，2）， 当-3＜x＜0时，y＞2， 即当函数值y＞2时，自变量x的取值范围是-3＜x＜0． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． 8. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，写出一个的解析式即可 【详解】解：根据题意， 故符合题意 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 10. 已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________． 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 11. 把二次函数化成的形式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．熟练掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象与一元二次方程根的关系，根据二次函数图象与一元二次方程的关系“二次函数图象与x轴的交点个数等于对应的一元二次方程根的个数，与x轴横坐标等于对应一元二次方程的解”，即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：1． 13. 某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，月平均增长率为x，则九月份的产量为万件，十月份医用防护服的产量为万件，从而可得答案. 【详解】解：十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为 故答案为： 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“两次变化后的量=原来量（1+增长率）2”是解本题的关键. 14. 二次函数的部分图像如图所示，由图像可知，方程的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】：观察图像得：二次函数的图像与x轴的交点为，对称轴为直线，从而得到二次函数的图像与x轴的另一个交点为，即可求解． 【详解】解：观察图像得：二次函数的图像与x轴的交点为，对称轴为直线， ∴二次函数的图像与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数的性质及方程的解，解题的关键是利用函数图象在平面直角坐标系中的位置确定函数的对称轴及利用对称性求解． 15. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即蜡烛火焰的高度是， 故答案为：4． 16. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴判断①；根据二次函数的图象与x轴的交点个数判断②；根据对称轴判断③；根据抛物线经过判断④；根据当时函数取最大值判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确． ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， ∴②错误． ∵， ∴③正确． ∵当时，， ∴． ∴④错误． 当时，有最大值为， ∴对于任意实数m，总有， ∴对于任意实数m，总有． ∴⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 三、解答题（本题共12小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 已知是二次函数图象上两点，求二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】将A、B两点坐标代入解析式求出b、c即可得到答案． 【详解】解：∵是二次函数图象上两点， ∴， ∴， ∴此二函数的解析式为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）求该二次函数的图象与x轴交点． 【答案】（1）直线， （2）， 【解析】 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）令，有，解出方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴二次函数的图象的对称轴为直线和顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，有， 解得：，， ∴该二次函数的图象与x轴交点为，． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19. 如图，在中，，点是上一点，于点，求证：． 【答案】 证明：于点， ∴ ， 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形判定，本题属于中等题型． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m，n的值； （2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围． 【答案】（1），， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数解析式；利用待定系数法求函数的解析式． （1）把代入反比例函数，求出的值即可；把代入反比例函数的解析式可求出； （2）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象都在反比例函数的图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴． ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 【小问2详解】 观察函数图象可知，自变量取值范围是：或． 21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F， （Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD； （Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长． 【答案】 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥DC， ∴∠FAE＝∠FCD，∠FEA＝∠FDC， ∴△AFE∽△CFD， （Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据矩形对边平行，有AE∥DC，可知△AFE∽△CFD； （Ⅱ）根据相似三角形的性质可得，再利用已知线段的长代入即可求出CF的长． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）由（1）知△AFE∽△CFD， ∴， 而E是边AB的中点，且AB＝4，AD＝3， ∴AE＝2，AC＝5， ∴， 而AC＝5， ∴AF＝，CF＝， 故CF的长为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例即可利用已知线段求出未知线段的长度． 22. 抛物线的顶点的坐标为，且过点，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点的坐标为，设抛物线的函数表达式：，将代入中求出就可； （2）利用，求出的坐标，再利用分割的思想，把求不规则的图形面积转化为规则的图形的面积． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的函数表达式：， 将代入中， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：， 当时，，， 当时，，该函数的顶点坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 连接，如下图所示， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 四边形的面积是：． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【解析】 【分析】首先建立直角坐标系，设抛物线为，把点（2，-2）代入求出解析式可解． 【详解】解：如图，建立直角坐标， 可设这条抛物线为， 把点（2，-2）代入，得 ， ∴， 当y=-3时，． ∴水面下降1m,水面宽度增加（）m． 【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 24. 在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 1 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）若，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 抛物线的图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的图象与性质． （1）利用表中的数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为：，把点代入求出的值即可； （2）利用描点法画二次函数的图象即可； （3）根据时的值，再结合函数图象得出时，的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入得，， 故抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线顶点为，对称抽为直线，过原点， 根据抛物线的对称性可得抛物线过． 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 结合函数图象，当时，或． 25. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【小问1详解】 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 26. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：），竖直高度为y（单位：），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 0 10 20 30 40 50 60 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们： （2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为________（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； （3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点________（填写“高”或“低”）． 【答案】（1） 如图所示： （2）抛物线； （3）高 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）根据图表求解即可； （3）根据图表求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据所学函数，（1）中的曲线可以看作是抛物线的一部分； 结合图象，图象的最高点在到之间，可推断出水平距离约为时，甲运动员起跳后达到最高点； 故答案为：抛物线，； 【小问3详解】 由图可知，乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到61m，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点高． 故答案为：高． 27. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： （1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求y的值； （2）当，时，求抛物线的对称轴； （3）若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线的对称轴 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； 【小问3详解】 ， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁和中学2024—2025学年度第一学期期中考试 初三年级 数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意选项只有一个． 1. 下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 4. 若将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在函数的图像上，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 对于反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而减小 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 7. 已知二次函数的部分图象如图所示，则使得函数值大于的自变量的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________． 10. 已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值________． 11. 把二次函数化成的形式________． 12. 若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则__________． 13. 某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为______． 14. 二次函数的部分图像如图所示，由图像可知，方程的解为_________． 15. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图（1）所示．如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度________． 16. 已知二次函数的图象如图所示．则有以下5个结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数m，总有．其中正确的结论是______．（填序号） 三、解答题（本题共12小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 已知是二次函数图象上两点，求二次函数的表达式． 18. 已知二次函数． （1）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （2）求该二次函数的图象与x轴交点． 19. 如图，在中，，点是上一点，于点，求证：． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求m，n的值； （2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，请写出自变量x的取值范围． 21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F， （Ⅰ）求证：△AFE∽△CFD； （Ⅱ）若AB＝4，AD＝3，求CF的长． 22. 抛物线的顶点的坐标为，且过点，与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）求四边形的面积． 23. 如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面，水面宽，水面下降，水面宽度增加多少？ 24. 在平面直角坐标系中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 0 1 0 … （1）求这个二次函数的表达式； （2）画出这个二次函数的图象； （3）若，结合函数图象，直接写出x的取值范围． 25. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 26. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．记运动员在该项目的运动过程中的某个位置与起跳点的水平距离为x（单位：），竖直高度为y（单位：），下面记录了甲运动员起跳后的运动过程中的七组数据 0 10 20 30 40 50 60 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 33.0 16.8 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）为观察y与x之间的关系，建立坐标系，以x为横坐标，y为纵坐标，描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们： （2）观察发现，（1）中的曲线可以看作是________的一部分（填“抛物线”或“双曲线”），结合图象，可推断出水平距离约为________（结果保留小数点后一位）时，甲运动员起跳后达到最高点； （3）乙运动员在此跳台进行训练，若乙运动员在运动过程中的最高点的竖直高度达到，则乙运动员运动中的最高点比甲运动员运动中的最高点________（填写“高”或“低”）． 27. 感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： （1）如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． （2）如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 28. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． （1）当时，求y的值； （2）当，时，求抛物线的对称轴； （3）若对于，，都有，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $