第21章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•惠山区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3x﹣1＝0 B．x+2y＝3 C．x2+2x﹣1＝0 D．x4﹣1＝0 2．（2024秋•青山区期中）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数为正，则一次项系数是（　　） A．1 B．6 C．﹣6 D．﹣1 3．（2024秋•无锡期中）关于x的方程（a﹣1）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠1 B．a＞﹣1且a≠1 C．a≥﹣1且a≠1 D．a为任意实数 4．（2024秋•银川期中）若x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两根，则x1+x2＝（　　） A．5 B．﹣5 C．2 D．3 5．（2024秋•锡山区校级期中）一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是160m2时，设所围的羊舍与墙平行的边长为x m，则根据题意可得方程为（　　） A．x（34﹣x）＝160 B． C． D．x（18﹣x）＝160 6．（2024秋•罗湖区期中）某市2022年底森林覆盖面积为a km2，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖面积为b km2 （b＞a），如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是（　　） A．a（1+x）＝b B．a（1+x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+2x）2＝b 二．填空题（共8小题） 7．（2024秋•中原区校级期中）一元二次方程（x+7）（x﹣3）＝0的较小的根是 　 　． 8．（2024秋•东莞市校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x1＝2，则x2的值为 　 　． 9．（2024秋•海淀区校级期中）已知a是方程x2+2x﹣2＝0的一个根，则代数式（a+1）2的值为 　 　． 10．（2024秋•江夏区校级期中）关于x的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为 　 　． 11．（2024•运城模拟）志愿服务是现代社会文明进步的重要标志，在国家政策支持下，全社会参与志愿服务的热情高涨．中国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达1.9亿，截止到2023年10月注册志愿者人数达到2.3亿，求平均每年的增长率．设平均每年的增长率为x，则可列方程 　 　． 12．（2024秋•江汉区期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了6条航线，这个航空公司共有 　 　个飞机场． 13．（2024秋•思明区校级期中）有四组一元二次方程： ①x2+7x+8＝0和8x2+7x+1＝0； ②x2﹣x﹣6＝0和﹣6x2﹣x+1＝0； ③2x2﹣5＝0和﹣5x2+2＝0； ④4x2﹣9x+3＝0和3x2﹣9x+4＝0． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：　 　． 14．（2024秋•蒙阴县校级月考）某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长5米、宽3米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余全部用来种植，要使种植面积为10平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　 　． 三．解答题（共5小题） 15．（2024秋•北辰区期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 16．（2024秋•晋江市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝0，求m的值． 17．（2024秋•商洛期中）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了3万辆，第三季度销售了4.32万辆：求该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率． 18．（2024秋•简阳市期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 19．（2024秋•鼓楼区期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别为x1和x2， 那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2， 比较系数得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 类比推广： （1）设x3+px2+qx+r＝0的三个根分别为x1，x2，x3，求x1x2+x2x3+x1x3的值． 问题解决： （2）若x3﹣5x2﹣12x﹣3＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则++的值是 　 　． 拓展提升： （3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，且abc＝，求正数b的最小值． 第21章一元二次方程同步练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•惠山区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A．3x﹣1＝0 B．x+2y＝3 C．x2+2x﹣1＝0 D．x4﹣1＝0 【解答】解：A．3x﹣1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．x+2y＝3，是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．x2+2x﹣1＝0，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．x4﹣1＝0，是一元四次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024秋•青山区期中）将一元二次方程3x2+1＝6x化成一般形式后，二次项系数为正，则一次项系数是（　　） A．1 B．6 C．﹣6 D．﹣1 【解答】解：∵一元二次方程3x2+1＝6x可化为3x2﹣6x+1＝0， ∴一次项系数是﹣6． 故选：C． 3．（2024秋•无锡期中）关于x的方程（a﹣1）x2+x+1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠1 B．a＞﹣1且a≠1 C．a≥﹣1且a≠1 D．a为任意实数 【解答】解：依题意得：a﹣1≠0， 解得a≠1． 故选：A． 4．（2024秋•银川期中）若x1，x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两根，则x1+x2＝（　　） A．5 B．﹣5 C．2 D．3 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝5． 故选：A． 5．（2024秋•锡山区校级期中）一农户要建一个长方形羊舍，羊舍的一边利用长18m的住房墙，另外三边用34m长的栅栏围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽2m的木门，当羊舍的面积是160m2时，设所围的羊舍与墙平行的边长为x m，则根据题意可得方程为（　　） A．x（34﹣x）＝160 B． C． D．x（18﹣x）＝160 【解答】解：根据题意可得方程为：， 故选：B． 6．（2024秋•罗湖区期中）某市2022年底森林覆盖面积为a km2，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖面积为b km2 （b＞a），如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是（　　） A．a（1+x）＝b B．a（1+x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+2x）2＝b 【解答】解：根据题意得：a（1+x）2＝b． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 7．（2024秋•中原区校级期中）一元二次方程（x+7）（x﹣3）＝0的较小的根是 　x＝﹣7　． 【解答】解：∵（x+7）（x﹣3）＝0， ∴x+7＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝﹣7，x2＝3， ∵﹣7＜3， ∴较小的根是x＝﹣7． 故答案为：x＝﹣7． 8．（2024秋•东莞市校级期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根，若x1＝2，则x2的值为 　4　． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝6， ∵x1＝2， ∴x2＝4． 故答案为：4． 9．（2024秋•海淀区校级期中）已知a是方程x2+2x﹣2＝0的一个根，则代数式（a+1）2的值为 　3　． 【解答】解：由条件可知：a2+2a﹣2＝0，即a2+2a＝2， ∴（a+1）2＝a2+2a+1＝3； 故答案为：3． 10．（2024秋•江夏区校级期中）关于x的方程的两实数根互为倒数，则两根之和为 　﹣2　． 【解答】解：∵关于x的方程的两实数根互为倒数， ∴a2＝1， ∴a＝±2， 当a＝2时，Δ＜0，不符合题意舍去， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 11．（2024•运城模拟）志愿服务是现代社会文明进步的重要标志，在国家政策支持下，全社会参与志愿服务的热情高涨．中国志愿系统显示2021年10月注册志愿者总人数达1.9亿，截止到2023年10月注册志愿者人数达到2.3亿，求平均每年的增长率．设平均每年的增长率为x，则可列方程 　1.9（1+x）2＝2.3　． 【解答】解：根据题意得，1.9（1+x）2＝2.3， 故答案为：1.9（1+x）2＝2.3． 12．（2024秋•江汉区期中）某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟了一条航线，一共开辟了6条航线，这个航空公司共有 　4　个飞机场． 【解答】解：设这个航空公司共有x个飞机场， 依题意得：x（x﹣1）＝6， 整理得：x2﹣x﹣12＝0， 解得：x1＝4，x2＝﹣3（不合题意，舍去）， 即这个航空公司共有4个飞机场， 故答案为：4． 13．（2024秋•思明区校级期中）有四组一元二次方程： ①x2+7x+8＝0和8x2+7x+1＝0； ②x2﹣x﹣6＝0和﹣6x2﹣x+1＝0； ③2x2﹣5＝0和﹣5x2+2＝0； ④4x2﹣9x+3＝0和3x2﹣9x+4＝0． 这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“关系方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“关系方程”的一元二次方程：　x2﹣x＝0（答案不唯一）　． 【解答】解：根据题中“关系方程”的定义，四组方程的共同特征是满足ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0，c≠0）且常数项不为零，故没有常数项的一元二次方程一定没有“关系方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，x2﹣x＝0是满足条件的一元二次方程． 故答案为：x2﹣x＝0（答案不唯一）． 14．（2024秋•蒙阴县校级月考）某课外生物小组拟定在桃花岭上建立一个实验园地，其形状是长5米、宽3米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），其余全部用来种植，要使种植面积为10平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x米，则可列方程为 　（5﹣2x）（3﹣x）＝10　． 【解答】解：把阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（5﹣2x）米，宽为（3﹣x）米， ∴可列方程为（5﹣2x）（3﹣x）＝10， 化简得，（5﹣2x）（3﹣x）＝10， 故答案为：（5﹣2x）（3﹣x）＝10． 三．解答题（共5小题） 15．（2024秋•北辰区期中）解方程： （1）x2﹣2x﹣2＝0； （2）5x2﹣3x＝x+1． 【解答】解：（1）原方程移项得：x2﹣2x＝2， ∴x2﹣2x+1＝2+1， ∴（x﹣1）2＝3， ∴， 解得：，； （2）原方程整理得：5x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝16﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， 则， 解得：x1＝1，． 16．（2024秋•晋江市期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2+x1x2＝0，求m的值． 【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m﹣1）＝4m2+5， ∵m2≥0， ∴Δ＝4m2+5＞0， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由根与系数的关系得：，， ∵x1+x2+x1x2＝0， ∴2m+1+m﹣1＝0， 解得m＝0． 17．（2024秋•商洛期中）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了3万辆，第三季度销售了4.32万辆：求该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率． 【解答】解：设该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为x， 依题意：3（1+x）2＝4.32， 解得：x1＝0.2或x2＝﹣2.2（舍去）， ∴该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为20%， 答：该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为20%． 18．（2024秋•简阳市期中）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． （1）若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ （2）商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【解答】解：（1）设售价应定为x元， 由题意可得：8000＝（x﹣20）[500﹣（x﹣30）]， x2﹣100x+2400＝0， 解得：x1＝40，x2＝60， ∵更大优惠让利消费者， ∴x＝40， 答：售价应定为40元； （2）设这两周的平均增长率为y， 由题意：[500﹣（40﹣30）]（1+y）2＝484， 解得：y1＝0.1＝10%，y2＝﹣2.1（不合题意舍去）， 答：这两周的平均增长率为10%． 19．（2024秋•鼓楼区期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别为x1和x2， 那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2， 比较系数得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 类比推广： （1）设x3+px2+qx+r＝0的三个根分别为x1，x2，x3，求x1x2+x2x3+x1x3的值． 问题解决： （2）若x3﹣5x2﹣12x﹣3＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则++的值是 　49　． 拓展提升： （3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，且abc＝，求正数b的最小值． 【解答】解：（1）根据学习材料提示得，x3+px2+qx+r＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3） ＝[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]（x﹣x3） ＝ ＝， ∴﹣（x1+x2+x3）＝p x1x2+x2x3+x1x3＝q， ∴x1x2+x2x3+x1x3 的值为q； （2）x3﹣5x2﹣12x﹣3＝0 的三个根分别为 x1，x2 x3， ∵﹣（x1+x2+x3）＝p，x1x2+x2x3+x1x3＝q，x1+x2+x3＝﹣p＝5，x1x2+x2x3+x1x3＝﹣12， ∴， 故答案为：49； （3）∵a+b+c＝0，， ∴a+c＝﹣b，， ∵ac是方程 的两根， ∴， ∴． ∵b＞0， ∴b3﹣27≥0， ∴（b﹣3）（b2+3b+9）≥0， ， ∴b﹣3≥0，即b≥3， 正数b的最小值为3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$