陕西西安西北工业大学附属中学2024-2025学年高三上学期大练习七数学试题

西北工业大学附属中学2024-2025学年高三大练习7 2024.11.19 一、单选题（每小题5分，计40分） 1．某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：），分别为，则该组数据的第60百分位数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为（    ） A． B． C． D． 3．若命题“，”为假命题，则实数的最小值是（    ） A． B．0 C．1 D．3 4．有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（    ） A．42种 B．72种 C．78种 D．120种 5．某家族有两种遗传性状，该家族某成员出现性状的概率为，出现性状的概率为，两种性状都不出现的概率为，则该成员两种性状都出现的概率为（    ） A． B． C． D． 6．已知数列为等比数列， ，则 （    ） A． B． C．2 D． 7．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．0 C．3 D．无穷 8. 设a，b，c是非零实数，关于x的方程在上有两个根，满足，则（    ） A. B．2 C． D． 二、多选题（每小题6分，计18分） 9．若（），则（    ） A．z有可能为实数 B．z不可能为纯虚数 C．的最小值为 D．若，则 10．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ） A．存在点，使 B．存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．点A到直线的距离的取值范围为 11．一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题（每小题5分，计15分） 12．已知函数为定义在上的奇函数，则 ． 13. 已知的面积为1，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 则+ 的最小值为 ． 14.已知a，b>0, =1,则 a+b+的最小值为 ． 四．解答题（计77分，15题13分，16，17题各15分，18,19题各17分） 15．一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 16．如图，三棱柱中，，，，，. (1)求证：平面ABC； (2)直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知函数，其中， (1)证明：； (2)探究是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由． 18．已知椭圆C：的右焦点为，离心率为为椭圆的任意内接三角形，点为的外心. (1)求的方程； (2)记直线的斜率分别为，且斜率均存在.求证：. 19．已知正项有穷数列，设，记的元素个数为. (1)若数列，求集合，并写出的值; (2)若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”; (3)若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D C B C A A BCD BC BCD 1．C 【分析】利用百分位数的定义即可得解. 【详解】将该组数据从小到大排列：，共8项， 又，所以该组数据的第60百分位数为第5项，即8. 故选：C. 2．B 【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】因为焦点在轴上的椭圆的焦距为2， 所以，解得， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 3．A 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“，”为真命题，分离参数转化为在上恒成立，构造函数求解最小值即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题，即在上恒成立， 即在上恒成立，记，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以实数可取的最小值是. 故选：D 4．C 【分析】先计算，然后减去不符合题意的情况，由此求得正确答案. 【详解】不符合题意的情况是：甲是最高分或乙是最低分， 所以这5名同学的可能排名有种. 故选：C 5．B 【分析】设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件，进而根据题意得，再结合求解即可. 【详解】解：设该家族某成员出现性状为事件，出现性状为事件， 则两种性状都不出现为事件，两种性状都出现为事件， 所以，，， 所以，， 又因为， 所以，， 故选：B 6．C 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列，则公比， 所以，又， 所以 ，解得， 又，而恒成立， 所以，则，故. 故选：C. 7．A 【分析】根据函数表达式确定函数在（）上是增函数且，零点个数转化为函数与的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论． 【详解】由，得在区间上的函数值都是区间上相应函数值的一半，， 又时，是增函数，即， 所以，因此时，， 令，它在上是减函数，，，， 当时，， 作出和在上图象，如图，由图可知： 在时，的图象与的图象没有交点，所以在上，它们只有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：A． 8． 【分析】利用辅助角公式求得，，利用三角函数对称性求得，代入即可求得结果. 【详解】解：，则，， 关于x的方程在上有两个根， 则，又，则，即，解得，故答案为A 9.BCD 【分析】利用复数的除法运算得，进而，根据实数和纯虚数的概念列方程求解判断AB，根据模的运算判断CD. 【详解】由题意知，，其中. 若z为实数，则（），不合题意，故A不正确； 若z为纯虚数，则（），不合题意，即z不可能为纯虚数，故B正确； 当时，取得最小值，且最小值为，故C正确； 若，则，即（负值已舍去），故D正确. 故选：BCD 10．BC 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，判断是否共线即可；对于B，由即可判断；对于C，将问题转换为四面体即三棱锥的体积即可判断；对于D，举反例说明即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设， 对于A，，而， 所以不可能平行，故A错误； 对于B，，若， 则，解得， 即当重合时，有，故B正确； 对于C，由题意过作交于点， 因为面，所以面， 所以为三棱锥的高， 又三棱锥的底面积为，， 所以四面体，故C正确； 对于D，设点A到直线的距离， 当点与点重合时，则， 由的面积可得，解得，故D错误； 故选：BC. 11．BCD 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 则，坐标原点到直线的距离为， 由图易知，， 对于A，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C， ， ，故C正确； 对于B，， ，故B正确； 对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BCD.    【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 12． 4051 【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则, 且函数关于中心对称，所以, ． 故答案为：4051 14.10 15．(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果； （2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义. 【详解】（1）当时，，且， ∴， ∴ （2）令，则， ∴ 有题意可知当时，风险最小（最合理）的决定， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理以及勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式建立方程，求得点的坐标，根据面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则，解得， 由，则在中，， 因为，平面，，所以平面. （2）易知两两相互垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设，则，，，， 取，，， 设平面的法向量，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设直线与平面的夹角为，则， 可得，解得， 易知，设平面的法向量， 则，可得，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 17．(1)证明见解析 (2)没有，理由见解析 【分析】（1）构造函数，，根据函数在上的单调性，求即可. （2）结合（1）的结论，分析函数在上的单调性，即可说明函数的最小值的情况. 【详解】（1）设函数，其中，则， 令，其中， 所以，， 所以在上单调递增，故， 所以在上单调递增，则，即. （2）由题意可得 因为，则， 由（1）可得， 所以， 因为， 所以 所以对任意的， 故函数在上单调递减，无最小值． 18．(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用右焦点、离心率求出即得解； （2）设A，求出即得证. 【详解】（1）解：由椭圆的右焦点为，离心率为得. 所以. 所以椭圆的方程为. （2）证明：设A，则. 设的外接圆方程为， 得， 两式相减得， 因为，所以， 同理：. 两式相减得：，于是： 所以 将代入得： 因为 所以 所以得证. 19．(1)，； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用集合的定义直接求解即可； （2）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合的定义分析即可； （3）通过分析可知，且，设数列 此时, 然后对数列分别作变换进行分析求解，即可得到答案． 【详解】（1）因为，，，， 故 所以，； （2）充分性：若是等比数列，设公比为． 不妨考虑数列是递增数列，所以． 则当时，． 所以，故，得证. 必要性：若． 因为是递增数列，所以， 所以且互不相等,又， 所以， 又， 所以，且互不相等． 所以，，，． 所以， 所以为等比数列； 若为单调递减数列，同理可证. （3）因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作商（可相等）， 比值只可能为共个不同的值； 又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以． 综上，，且． 设数列 此时，． 现对数列分别作如下变换： 把前面的移动到和后面的之间，得到数列： 此时，． 再把前面的移动到和之间，得到数列： 此时，． 依次类推，最后把前面的移动到最后一项，得到数列： 此时， 综上，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为. 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 答案第6页，共12页 答案第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$