精品解析：福建省泉州第五中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

泉州五中2024−2025学年上学期初二年期中考试数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 等于（　　） A. 2 B. ﹣ C. 2 D. ﹣2 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则“□”是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（　　） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 9. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 10. 如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二．填空题（共6小题） 11. 命题“等角的余角相等”是______命题．（填“真”或“假”） 12. 计算__________． 13. 若，则的值为______． 14. 已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则等腰三角形的周长为_____． 15. 若，则的值是_________． 16. 如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则_______． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 18. 因式分解： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED． 21. 我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． （1）如果，其中、为有理数，那么 ， ； （2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 22. 如图，长方形中，为的中点．小明过点E作的垂线交边于点F （1）请在图中作出点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； （2）连接，求证：． 23. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1） ；若，则 ； （2）已知，，，试求a，b，c满足的数量关系． 24. 综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则 （用图中字母表示）． ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）． 问题探究过程 提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算． 迁移应用 （3）已知x、y、z满足，，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）． 25. 【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2024−2025学年上学期初二年期中考试数学试卷 一．选择题（共10小题） 1. 等于（　　） A. 2 B. ﹣ C. 2 D. ﹣2 【答案】C 【解析】 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】∵2的立方等于8， ∴8的立方根等于2， 即等于2． 故选C. 【点睛】考查了立方根定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方，理解积的乘方和幂的乘方的运算法则是解答关键． 根据积的乘方，幂的乘方的运算法则来进行计算求解． 【详解】解：． 故选：B． 3. 若，则“□”是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除互化，由得到，从而得到答案． 【详解】解：， ， “□”是， 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，根据条件将同底数幂的乘法转化为同底数幂的除法是解决问题的关键． 4. 如图，是一个的正方形网格．根据图中标示的各点位置，在下列三角形中，与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，观察可知点与点关于对称，即可求解． 【详解】解： 由图可知：点与点关于对称， 由轴对称的性质可知： 故选：C 5. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，用直尺和圆规作的平分线，能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图的原理可证明求解． 本题考查了作图—基本作图，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 在和中， ， ∴ ∴， 故选：A． 7. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 8. 如图，在△ABC中，AC＝5，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，则△ABC的面积为（　　） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB于点F，利用角平分线的性质得出，将的面积表示为面积之和，分别以AB为底，DF为高，AC为底，DE为高，计算面积即可求得． 【详解】过点D作DF⊥AB于点F， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB， ∴, ∴ , 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，熟记性质作出辅助线是解题关键． 9. 已知，则的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 10. 如图，由8个全等的小长方形拼成一个大正方形，线段AB的端点都在小长方形的顶点上，若点 C是某个小长方形的顶点，连接CA，CB，那么满足△ABC是等腰三角形的点C的个数是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：如图所示，使△ABP为等腰三角形的点P的个数是6， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11. 命题“等角的余角相等”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】根据余角的定义，相等角的余角也相等．本题考查了命题：正确理解余角的定义是解决问题的关键． 【详解】解：命题“等角的余角相等”是真命题． 故答案为：真． 12. 计算__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：4． 13. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再等号的左右对比系数即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知等腰三角形一边长为2，一边的长为4，则等腰三角形的周长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．分腰长为2和腰长为4两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解． 【详解】解：当腰长为时2时，三边分别为2、2、4，不能构成三角形， 当腰长为时4时，三边分别为2、4、4，，能构成三角形，周长为：， 故答案为：10． 15. 若，则的值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，先求出的值，再利用平方差公式把所求式子去括号，最后利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 16. 如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则_______． 【答案】##39度 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，再证明，由全等三角形的性质可得、，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答． 【详解】解：如图：连接，过E作于R，交于Q，交于O， ∵是线段的中垂线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、绝对值，根据立方根、算术平方根、绝对值进行化简，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）根据平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因数2，然后根据十字相乘法因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简求值．熟练掌握完全平方公式，整式的化简求值是解题的关键． 根据完全平方公式，多项式乘以多项式计算，然后合并同类项，进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED． 【答案】 证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ECD， 在△ABC和△CED中， ， ∴△ACB≌△CED（AAS）， ∴BC＝ED． 【解析】 【分析】利用AAS定理证明△ACB≌△CED，根据全等三角形的对应边相等证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键． 21. 我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数，那么，且，运用上述知识可解决下列问题：若，其中、为有理数，那么，且． （1）如果，其中、为有理数，那么 ， ； （2）如果，其中、为有理数，求的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出，的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出，的方程，解方程求得，的值，再利用平方根的意义解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ，， 解得：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 ， ， 即， ， ， 的算术平方根为． 22. 如图，长方形中，为的中点．小明过点E作的垂线交边于点F （1）请在图中作出点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如图，点即为所求， ； （2） 证明：延长交的延长线于， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据要求作出图形即可； （2）证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1） ；若，则 ； （2）已知，，，试求a，b，c满足的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算，乘方，同底数幂相乘， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），先根据新定义得，再根据，结合同底数幂相乘法则整理即可. 【小问1详解】 解：∵，我们规定，， ∴，. 故答案为：5，−8； 【小问2详解】 ∵，我们规定， ∴. ∵， ∴， 即， ∴． 24. 综合实践． 活动主题：借助图形直观，感受数与形之间的关系 初步应用 （1）①如图1，大长方形的面积可以看成4个小长方形的面积之和，由此得到多项式乘多项式的运算法，则 （用图中字母表示）． ②如图2，借助①，写出一个我们学过的公式： （用图中字母表示）． 问题探究过程 提出问题 （2）仿照图2，构造图形并计算． 迁移应用 （3）已知x、y、z满足，，，求的值（用含m、n的式子表示，直接写出答案即可）． 【答案】（1）①； ②； （2）如图：已知大正方形的边长为， ， 大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①用两种方法表示出大长方形的面积求解即可；②用两种方法表示出正方形的面积求解即可； （2）用两种方法表示出正方形的面积求解即可； （3）利用（2）中的公式得出，两边同时平方可得，再将式子变形为，代入计算即可得解． 【详解】解：（1）①大长方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； ②大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴； （2）略 （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 25. 【问题背景】 在四边形中，，，，，分别是、上的点．且，试探究图1中线段、、之间的数量关系； 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是 ； 【探索延伸】 在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，请证明【初步探索】中的结论是否仍然成立； 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（）为，试求此时两舰艇之间的距离． 【问题发现】 如图4，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请直接写出与的数量关系． 【答案】初步探索：； 探索延伸：仍然成立，证明：如图2，延长到，使，连接， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴. ∴， 在和中，， ∴ ∴， ∴； 故结论仍然成立． 结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里；问题发现：． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 初步探索：根据全等三角形的判定可得，推得，，根据，，推得，根据全等三角形的判定可得，推得，即可推得； 探索延伸：延长到，使，连接，证明，和，得到答案； 结论运用：连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可； 问题发现：延长到H，使，利用邻补角可得，利用可证明，可得，，根据角的和差关系可得，根据可得，利用可证明，可得，根据周角的定义即可得答案． 【详解】解：初步探索：线段、、之间的数量关系为：； 证明：延长到，使，连接，如图1： 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故线段、、之间的数量关系为：． 故答案为：． 探索延伸：略 结论运用：解：连接，延长交于点，如图3： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是210海里； 问题发现：延长到H，使，如图4， ∵， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $