精品解析：广州市花都区秀全外国语学校2024-2025学年 八年级上学期期中数学试题

2024学年第一学期八年级（期中）学业质量监测 数学（问卷） （满分120分，120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，用2B铅笔将答案涂在答题卡上，并写在答卷的方框内．） 1. 下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，10，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．如果，，那么的周长是（　　） A. B. C. D. 7. 若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 8. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 9. 我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，，以O为圆心，任意长为半径作弧交于点M，于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，过P作于点F，交于点E．若，，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，空调外机支架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有______． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 13. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 14. 如图，在中，D是上一点，，则________°． 15. 如图，，是的中线，点E、F是中线上的两点，若，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 三、解答题（本大题共9题，共72分．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 已知，四边形中，，，求和的度数． 18. 滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小夏买来通过测量得到一组数据：，.你能帮助小夏找到一组全等的三角形并证明它吗？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶角的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）已知点，在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 20. 如图，，，，与交于点．求证：． 21. 如图，在中，，． （1）用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，（保留作图痕迹） （2）求证：． 22. 如图，在中，，于点D，点E在上且． （1）若的周长是，求线段的长； （2）求的度数． 23. 如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． （1）求证： （2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 24. 如图，回答下列问题： （1）填空：如图①，在中，，，是的角平分线，过点作辅助线于点，则可以得到、、三条线段之间的数量关系为___． （2）若将（1）中的条件“在中，，，”改为“在中，”，如图②，请问：（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想． 25. 如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； （2）如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； （3）当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期八年级（期中）学业质量监测 数学（问卷） （满分120分，120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，用2B铅笔将答案涂在答题卡上，并写在答卷的方框内．） 1. 下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形； 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项D的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分能够互相重合． 故D选项是轴对称图形． 故选：D． 2. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，10，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数就可以．根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行判断即可． 【详解】解：A、，能组成三角形，符合题意； B、，不能组成三角形，不符合题意； C、 ，不能组成三角形，不符合题意； D、，不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（ ） A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°． 故选B． 【点睛】考点：三角形的外角性质． 4. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律． 根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标为． 故选：D． 5. 如图，在和中，，，添加一个条件后，仍然不能证明，这个条件可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定，利用、、即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，由可得，故A不符合题意； 当时，则，由可得，故B不符合题意； 当时，则，由可得，故C不符合题意； 当时，不能得出，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定条件并灵活运用． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．如果，，那么的周长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质可得，从而得出的周长是，进而得出结果． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 的周长是：． 故选：C． 7. 若一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，根据“多边形的内角和等于它外角和的3倍”列方程求解即可． 本题主要考查了多边形的内角和定理和外角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为n，则 ， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故选：D． 8. 如图，在中，，分别是边上的中线和高，若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的中线和高线，利用面积公式求出的长，根据中线的定义得到即可．掌握相关定义，是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是边上的中线和高， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 9. 我们称网格线的交点为格点． 如图，在4行×6列的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，分为底和为腰找对应的三角形即可． 【详解】解：当为底时，有和，当为腰时，有、和，共有5个，如图， 故答案为：C． 10. 如图，，以O为圆心，任意长为半径作弧交于点M，于点N，再分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接，过P作于点F，交于点E．若，，那么的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角的平分线，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．由作图知，平分，利用含30度角的直角三角形的性质求得，再推出是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，空调外机支架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查形状对结构的影响，三角形结构具有较好的强度和稳定性． 【详解】三角形结构具有较好的稳定性． 故答案为：稳定性． 【点睛】本题考查了形状对结构的影响，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 13. 等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小． 【详解】解：∵等腰三角形底角相等， ∴180°-50°×2=80°， ∴顶角为80°． 故答案为80°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，即等边对等角．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键． 14. 如图，在中，D是上一点，，则________°． 【答案】25 【解析】 【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可． 【详解】解：∵AC＝AD＝DB， ∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C， 设∠ADC＝α， ∴∠B＝∠BAD＝ ， ∵∠BAC＝105°， ∴∠DAC＝105°﹣， 在△ADC中， ∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°， ∴2α+105°﹣＝180°， 解得：α＝50°， ∴∠B＝∠BAD＝＝25°， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，，是的中线，点E、F是中线上的两点，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，对称的性质，中线的性质计算即可． 【详解】∵，是的中线， ∴直线是线段得垂直平分线， ∴直线是的对称轴， ∴，， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，对称的性质，中线的性质，熟练掌握性质，灵活转化面积是解题的关键． 16. 如图，在中，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动 _____________s时，． 【答案】2或5 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及分类讨论思想；由可证明，从而得；分点E在射线上移动时及点E在射线上移动两种情况；求得，即可求得点E运动的时间． 【详解】解：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的垂线交直线于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ①如图，当点E在射线上移动时，， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； ②当点E在射线上移动时，， ∴， ∵点E从点B出发，在直线上以的速度移动， ∴E移动的时间为； 综上所述，当点E在直线上移动或时，； 故答案为：2或5． 三、解答题（本大题共9题，共72分．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 已知，四边形中，，，求和的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据多边形内角和可得∠A+∠B的度数，根据即可得答案． 【详解】∵四边形内角和，， ∴， ， ∴， 解得：， ∴． 答：和的度数分别是和． 【点睛】本题考查多边形内角和，多边形内角和=（n-2）·180°（n≥3），熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． 18. 滑翔是一项极限运动，有一款滑翔翼的平面图如图所示，小夏买来通过测量得到一组数据：，.你能帮助小夏找到一组全等的三角形并证明它吗？ 【答案】解：，证明如下： ∵，， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶角的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，并写出，，的坐标； （2）已知点，在轴上找一点，使的值最小，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： ，， （2） 如图，点P即为所求， 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据对称点连线被对称轴垂直平分画图，根据图形即可得到的坐标； （2）连接交轴于一点即为点，根据图形求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据对称点连线被对称轴垂直平分分别作、、三点的对称点、、，连接、、， 由图可得：，，； 【小问2详解】 解：由图可得：． 20. 如图，，，，与交于点．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，即可得出． 【详解】略 21. 如图，在中，，． （1）用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，（保留作图痕迹） （2）求证：． 【答案】（1） 解：如图，即为所求， ； （2） 解：∵，， ∴， 由作图知：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，则，然后根据含角的直角三角形的性质可得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，于点D，点E在上且． （1）若的周长是，求线段的长； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形底边上的三线合一结合周长即可得到答案； （2）根据等腰三角形两底角相等及三线合一得到，结合即可得到答案． 本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ∴， 的周长是， ， ， ∴线段的长为； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ∴， ， 的度数为． 23. 如图，在和中，，为锐角，，，连接，与交于点，与交于点． （1）求证： （2）线段与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】（1） 证明：， ，即， 在和中， ； （2） 理由如下： ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形内角和定理，熟悉以上定理是解题的关键． （1）利用“”可判断； （2）利用得到，再根据三角形内角和得到，即可判断． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，回答下列问题： （1）填空：如图①，在中，，，是的角平分线，过点作辅助线于点，则可以得到、、三条线段之间的数量关系为___． （2）若将（1）中的条件“在中，，，”改为“在中，”，如图②，请问：（1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论仍然成立． 理由如下： 是的角平分线， 将沿折叠，点落在边上的处， ， ，，； 又， ， ， ，即． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质以及全等三角形的判定定理知；然后由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的两腰相等的性质推知，即； （2）根据折叠的性质，将沿折叠，点落在边上的处，所以；然后根据全等三角形的对应边、对应角相等的性质推知，，；最后由外角定理以及等腰三角形的性质可以推知（1）的结论仍然成立． 【小问1详解】 解：，理由是： ，是的角平分线， ； 在与中， ， ， ； 又， ， ， ，即； 【小问2详解】 略 【点睛】本题综合考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质．解答（1）时，由已知能够注意到点到的距离与到的距离相等是证明的关键． 25. 如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． （1）如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； （2）如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； （3）当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】（1） （2） 解：全等，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $