精品解析：湖北省湖北省知名教联体联盟2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋季九年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 2. 已知点、点关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可． 【详解】解：点、点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值得到，再整体代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5. 已知点，点，点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数得抛物线的对称轴为，其开口向上，进而可得的对称点为，再根据二次函数的增减性即可求解，熟练掌握其图象及性质是解题的关键． 【详解】解：依题意得：抛物线的对称轴为，其开口向上， 的对称点为， ， ， 故选：B． 6. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 8. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键． 9. 如图，是的直径，是上两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据邻补角互补得到，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，邻补角互补，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得，，解方程即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：2． 12. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】2018 【解析】 【分析】依题意，得，，再代入计算即可．本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， 即 ∴． 故答案为：2018． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______． 【答案】##24度 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．先根据旋转前后图形的对应线段相等、对应角相等得到相关角的关系，再根据等腰三角形的性质得出两个底角相等，最后在中利用三角形内角和得出关系式，计算可得结果． 【详解】解：， ， ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 __ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和三角形外角定理，关键在于熟练掌握圆周角定理．根据，利用圆周角与圆心角关系可求出，再由三角形外角定理即可求得． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法解一元二次方程． （1）先变形得到，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为，然后利用求根公式法解方程． 【小问1详解】 解： ， ， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， 变形得， 其中，，，， ∴， ∴， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示． 点的坐标为． （2） 如图所示． 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）可以由三个顶点的位置确定，只需分别画出这三个顶点关于原点的对应点，依次连接对应点，即可得到；点关于原点的对称点为，据此可求得三个顶点关于原点的对应点． （2）可以由三个顶点的位置确定，只需分别画出这三个顶点绕点逆时针旋转后的对应点，依次连接对应点，即可得到；根据对应点到旋转中心的距离相等，且一个点和对应点分别与旋转中心的连线组成的角为（逆时针旋转），即可求得三个顶点旋转后的对应点． 【小问1详解】 三个顶点关于原点的对应点分别为，，，依次连接，，，所得图形即为， 点的坐标为． 【小问2详解】 三个顶点旋转后的对应点分别为，，，依次连接，，，所得图形即为， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、图形的旋转、图形的中心对称，牢记图形旋转的性质和图形的中心对称的性质是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了方程的根的定义以及根的判别式． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围． （2）是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根 ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵是方程的一个实数根，则，则， 则，即， 解得：（舍去）或． 故的值为． 19. 已知抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求，的值； （2）设是抛物线与轴的交点的横坐标，求的值． 【答案】（1）， （2）2024 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，确定点c，根据求值即可； （2）设是抛物线与轴的交点的横坐标，得到m是非常的根，后整理，整体代入求的值． 本题考查了待定系数法计算，方程的根，求代数式的值，熟练掌握待定系数法，方程的根是解题的关键． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点， ∴. ∵顶点的横坐标为， ∴， 解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线解析式为， ∵是抛物线与轴的交点的横坐标， ∴，即， ∴ . 20. 如图，在中，，cm，cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为？ （2）的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）不能， 理由如下：设y秒时，的面积为， ， 即 ， ， ∴原方程无实数根，即的面积不能是． 【解析】 【分析】本题是一道几何动点问题，考查了三角形的面积公式的运用，一元二次方程解法的运用． （1）由题意，可设P、Q经过t秒，使的面积为，则，，根据三角形面积的计算公式，，列出表达式，解答出即可； （2）将的面积表示出来，根据来判断即可． 【小问1详解】 设后，的面积为， 则， ， ， 解得， ∴或时，的面积为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 22. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的直径，， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，则，，进而可得． （2）如图，连接，连接，设的半径为，由是的直径，可得，由，可得，，则，证明，则，即，可求，则，，由勾股定理得，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，连接， 设的半径为， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 解得， ∴，， 由勾股定理得，， ∵是的直径，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，同弧或等弧所对的弦长相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 23. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1） （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元 （3）每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值． （1）根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围； （3）利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：， 由题意可知：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元； 【小问3详解】 解：根据故意得： ， ，且为整数， 当时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为525． 答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元． 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 【答案】（1），直线l的解析式为； （2）点P坐标为； （3），的面积最大值为． 【解析】 【分析】（1）由点横坐标可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线l的函数表达式； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小，据此求解即可； （3）过作轴交于，用表示出和的坐标，从而可表示出的长，表示出的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时的． 【小问1详解】 解：把代入抛物线解析式可得， ， 把、坐标代入直线l：可得，， 解得， 直线l解析式为； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、坐标代入可得，， 解得， 直线解析式为； 令，则， 点P坐标为； 【小问3详解】 解：过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为． 此时． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积及方程思想等知识．在（3）中用表示出的面积是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季九年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 温馨提醒： 1．答卷前，请将自己的姓名、班级、考号等信息准确填写在指定位置． 2．请保持卷面的整洁，书写工整、美观． 3．请认真审题，仔细答题，诚信应考，乐观自信，相信你一定会取得满意的成绩！ 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知点、点关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 3. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知是方程的一个根，则代数式的值等于（ ） A. 2025 B. 0 C. D. 2023 5. 已知点，点，点均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是上两点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 若是关于x的二次函数，则m的值为_______． 12. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为______． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为______． 14. 如图，在中，直径，弦相交于点．连接．且，若，则的度数为 __ ． 15. 如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．（每个方格的边长均为个单位长度） （1）画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 19. 已知抛物线与轴交于点，顶点的横坐标为． （1）求，的值； （2）设是抛物线与轴的交点的横坐标，求的值． 20. 如图，在中，，cm，cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发． （1）问几秒后，的面积为？ （2）的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由． 21. 如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，是的直径，是的弦，于点，点在上且 ，连接． （1）求证：； （2）连接．若，求的长． 23. 企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件． （1）求与之间的函数关系式． （2）若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元? （3）设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 24. 如图，抛物线与x轴交于，两点，直线l：与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2． （1）求点C的坐标和直线l的解析式； （2）点P是y轴上的一点，求满足的值为最小的点P坐标； （3）点Q是直线l下方抛物线上一动点，动点Q运动到什么位置时，的面积最大?求出此时Q点坐标和的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $