精品解析： 浙江省杭州建兰中学2024-2025学年上学期九年级期中学业质量检数学试题

2024学年第一学期九年级期中学业质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 3. 在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（ ） A. 7 B. 3 C. 10 D. 65 4. 二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ） A. B. C. D. 7. 在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，连接交于点E，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于______． 13. 的半径长为5，弦，则的弦心距为______． 14. 某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为______米． 15. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________． 16. 如图，在中，，，，点D为边上一动点，将沿直线折叠，得到．E为边上一点，，连接，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点，，并以直线为对称轴，求该二次函数的表达式． 18. 2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是______； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 19. （1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，求外接圆的半径长． 20. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求弧的长和扇形的面积． 22. 有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： （1）若为，求此时窗户的透光面积？ （2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上． （1）求出直线l的解析式； （2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围． 24. 如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点C作交于点D，连接． （1）若，，求的半径； （2）求证：； （3）小聪发现，如果将条件“”改为“点D在弧上”，过点A作于E，能得到一个一般性的结论“”．请同学们完成证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期中学业质量检测 数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、班级、学号、姓名、试场号、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． 4．考试结束后，只需上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，代入所求式子中化简求解即可． 【详解】解：由设，， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查比例性质、分式求值，根据比例性质巧妙设未知数求解是解答的关键． 2. 将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．直接将原函数写成顶点式，再利用二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式，再把各选项的点代入判断即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度得到的抛物线解析式为：， 当时，，故不在此抛物线上，故A选项不合题意； 当时，，故在此抛物线上，故B选项符合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故C选项不合题意； 当时，，故不在此抛物线上，故D选项不符合题意； 故选：B． 3. 在一个暗箱里放有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为（ ） A. 7 B. 3 C. 10 D. 65 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握“利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率”．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，进而利用概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，，解得， 故可以推算出m约为10． 故选：C． 4. 二次函数均为常数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可知图象开口向下，求出对称轴，图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小． 【详解】解：∵二次函数的解析式为，， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ∴，，到对称轴的距离分别为：3，1，2． ∵函数图象开口向下， ∴图象上的点到对称轴的距离越远，纵坐标越小，即函数值越小， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查比较二次函数函数值的大小，解题的关键是求出二次函数图象的对称轴． 5. 如图，点、、在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：． 故选：D． 6. 如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，只有是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握“根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”是解题的关键． 7. 在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出． 根据作图可知，，，设，则，，求出，得出，即可得出结论． 【详解】解：根据作图可知，，， 设，则， 根据勾股定理可得：， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，故正确． 故选：A． 8. 如图，在四边形中，，连接交于点E，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，先证明，再证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：B． 9. 如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用垂径定理得到，再利用三角形中位线定理得到，接着证明，得到，设，则，，利用半径为5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 10. 已知二次函数．当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到该抛物线的开口向下，对称轴为直线，得到对称轴只能在y轴右侧，则．由当时函数的最大值为2，当时，，求出b、c，即可得到答案． 【详解】解：由得该抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵当时，函数的最大值为2；当时，函数的最大值为1， ∴根据二次函数图象的特点可知，抛物线的对称轴只能在y轴右侧，则， 由当时，，则， 由得，解得或（舍去）， ∴， 则， 故选：D 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，根据顶点式，为顶点即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则两个数的和是4的概率等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，先列表得到所有等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有16种等可能的结果数，其中两个数的和是4的为，，，有3种， ∴两个数的和是4的概率为， 故答案为：． 13. 的半径长为5，弦，则的弦心距为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意先画出图，然后利用垂径定理和勾股定理的定义，即可求出答案． 【详解】解：根据题意画出图形， 如图：， ∵，是圆心，， ∴（垂径定理）， ∵在中，， ∴（勾股定理）， 故答案为：3． 14. 某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为______米． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解． 【详解】解：对于， 令，由得，， ∴足球从离地到落地的水平距离为米， 故答案为：12． 15. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值． 【详解】解：如图所示，过作，交于， 则，即：，， ，即：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 16. 如图，在中，，，，点D为边上一动点，将沿直线折叠，得到．E为边上一点，，连接，若，则的长为______． 【答案】或10 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、折叠性质，分类讨论是解答的关键．分点F落在内部时和点F落在外部时，利用折叠性质、矩形的判定与性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当点F落在内部时，如图，过F作于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴， 在中，， 由得， 解得； 当点F落在外部时，如图，过F作交延长线于H， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴， 在中，， 由得， 解得， 综上，的长为或10， 故答案为：或10． 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17. 已知二次函数的图象经过点，，并以直线为对称轴，求该二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，先根据对称轴方程求得b，再代入坐标求解a、c即可． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， ∵直线为对称轴， ∴，则， ∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的表达式为． 18. 2024年4月23日是第29个世界读书日．某校开展丰富多彩的阅读活动，每位学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类、B：文学类、C：政史类、D：艺术类、E：其他类），甲同学从A、B、C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种． （1）乙同学恰好选中B的概率是______； （2）求甲、乙两位同学选择相同类别书籍的概率．（用树状图或列表法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率． （1）直接运用概率公式解答即可． （2）画树状图共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：乙同学从B、C、D、E四类书籍中随机选择一种，则乙同学恰好选中B的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即， ∴甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 19. （1）尺规作图，作出的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，求外接圆的半径长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了作三角形的外接圆．熟练掌握基本尺规作图——作线段的垂直平分线，圆周角定理及推论，等腰直角三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）分别作边的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径作圆，即可； （2）连接并延长交于点D，连接，则，，得到，得，（方法不唯一）． 【详解】（1）分别以点A、B为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于M、N两点， 作直线， 分别以点B、C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于P、Q两点， 作直线，交于点O， 以O为圆心长为半径画圆， 即为所求作，如图． （2）如图，连接并延长交于点D，连接， 则， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴外接圆的半径长为． 20. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义证明，再根据相似三角形的判定定理证得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴，又， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E．若点D是中点，连接． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求弧的长和扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）, 【解析】 【分析】（1）连接，由为直径，得到，继而得出是线段的中垂线，即可求解； （2）由等边对等角及三角形外角的性质求出，，再根据弧长公式和扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ∵为直径， ∴，即， 又∵D是的中点， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，弧长公式和扇形公式，垂直平分线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 22. 有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： （1）若为，求此时窗户的透光面积？ （2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 【答案】（1） （2）当时，窗户透光面积最大，与例题相比透光的最大面积变大 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及矩形和正方形的性质，二次函数的性质，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据矩形和正方形的性质求解即可； （2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，利用二次函数的性质求得最大面积为，进而通过比较可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，，， ∴， ∴此时窗户的透光面积为； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， 则窗户的透光面积， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大； ∵， ∴与例题相比透光的最大面积变大． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上． （1）求出直线l的解析式； （2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）m=-3或m=3；（3）≤a＜或a≤-2； 【解析】 【分析】（1）用待定系数法直接将点A和B代入直线l中然后得到关于k和b的二元一次方程没然后解方程即可得到k和b的值，然后得到l的解析式； （2）根据题意可得，y=-x2+2x-1，当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，x=-1或x=3； ①在x=1左侧，y随x的增大而增大，x=m+2=-1时，y有最大值-4，m=-3； ②在对称轴x=1右侧，y随x增大而减小，x=m=3时，y有最大值-4； （3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2； ②a＞0时，x=-3时，y≥-3，即a≥，直线AB的解析式为y=x-，抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-，△=-2a＞0，则a＜，即可求a的范围； 【详解】解：（1）点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b可得： 解得： ∴l的解析式为：； （2）根据题意可得，y=-x2+2x-1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1， ∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4， ∴当y=-4时，有-x2+2x-1=-4， ∴x=-1或x=3， ①在对称轴直线x=1左侧，y随x的增大而增大， ∴x=m+2=-1时，y有最大值-4， ∴m=-3； ②在对称轴直线x=1右侧，y随x增大而减小， ∴x=m=3时，y有最大值-4； 综上所述：m=-3或m=3； （3）①a＜0时，x=1时，y≤-1， 即a≤-2； ②a＞0时，x=-3时，y≥-3， 即a≥， 直线AB的解析式为y=x-， 抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-， ∴ax2+x+=0， △=-2a＞0， ∴a＜， ∴a的取值范围为≤a＜或a≤-2． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． 24. 如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点C作交于点D，连接． （1）若，，求的半径； （2）求证：； （3）小聪发现，如果将条件“”改为“点D在弧上”，过点A作于E，能得到一个一般性的结论“”．请同学们完成证明． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：如图，在上截取，连接、、，设直线交于G， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理和勾股定理求解即可； （2）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，再证明得到，进而可得结论； （3）在上截取，连接、、，设交于G，先利用线段垂直平分线和圆周角定理得到，，再证明得到，然后根据等腰三角形的三线合一得到即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图，设交于G，连接， ∵直径所在的直线垂直于弦，， ∴，， 在中，，则， 设的半径为r，则，， 在中，由得， 解得，即的半径为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线、勾股定理、等腰三角形的性质、等弧所对的弦相等、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，熟知“截长补短”模型，添加合适辅助线构造全等三角形是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $