第17讲 数列的概念（八大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第17讲 数列的概念 学习目标： 1.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断； 2.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式； 3.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式； 4.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 重点难点： 重点：1.理解数列的概念，了解数列是一种特殊函数； 2.能够根据数列的前n项写出该数列的通项公式。 难点：能够辨别数列，体会类比、归纳的数学思想， 知识点一、数列的概念与表示 1.数列的概念 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项. （3）分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 2.数列的表示方法 （1）一般形式:数列的一般形式是简记为. （2）其他方法:解析式法、表格法、图象法. 3.数列的通项公式 （1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. （2）数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. 4.数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值. 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点二、数列的递推公式 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 2.数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 考点01数列的概念及分类 1．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 2．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 3．（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 【答案】AD 【详解】对于选项A，因为数列是一类特殊的函数，其自变量， 所以数列的图象是一群孤立的点，故A正确； 对于选项B，常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故B错误； 对于选项C，当时，，故C错误； 对于选项D，因为， 所以该数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：AD. 4．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 【答案】BD 【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误； 对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确； 对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误； 对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确. 故选：BD. 5．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 【答案】 ②④⑤ ②⑤ ④ 【详解】①是集合，不是数列，③不能构成数列，因为无法把所有的无理数按照一定顺序排列起来， 根据数列定义知：是数列的是②④⑤；是有穷数列的是②⑤；是无穷数列的是④． 故答案为：②④⑤；②⑤；④． 考点02由数列的前几项写出通项公式 6．已知数列，，，，，则是它的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 【答案】C 【详解】数列，即数列的通项公式是， 令，所以是它的第13项. 故选：C. 7．已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列为， 所以该数列的通项公式为，得到， 故选：D. 8．数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于数列的符号正负项间隔出现，故符号为， 且每项为，故数列的一个通项公式为. 故选：D. 9．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得的一个通项公式为. 故选：D. 10．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是 【答案】35 【详解】由题意可发现：，，，， 总结规律，该数列第项为， 所以. 故答案为：35. 11．数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 【答案】12 【详解】观察，易知数列的一个通项公式为，． 所以. 故答案为：12. 12．数列的一个通项公式 ． 【答案】 【详解】由题意可知，数列的奇数项为负，偶数项为正，分母为的指数幂，分子为项数的倍， 则通项公式为. 故答案为： 考点03通项公式的简单应用 13．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 14．已知数列的通项公式为，则该数列是（   ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 【答案】A 【详解】由数列通项公式为知，数列奇数项为负，偶数项为正， 故数列为摆动数列， 故选：A 15．已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（   ） A．数列从第3项起各项数值逐渐增大 B．当时，取最大值 C．是该数列的项 D．数列的图象与的图象相同 【答案】C 【详解】对于A，，由二次函数的性质可知从起起各项数值逐渐增大，故A错误； 对于B，由，可知时，取最大值，无最大值，故B错误； 对于C，令，可得，解得或， 所以是数列中的项，故C正确； 对于D，数列的图象是函数的图象中横坐标为正整数的孤立的点， 所以数列的图象与的图象不相同，故D错误. 故选：C. 16．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以． 故选：D. 17．已知数列的通项公式为，则 ，若，则 ． 【答案】 12 【详解】∵，∴． 由，得，解得或（舍去）． 故答案为：；12. 18．已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 【答案】(1)不是数列中的项 (2)数列中的项都在区间内 【详解】（1）， 由，解得， 又因为，所以不是数列中的项； （2）， 因为，所以，所以， 所以， 所以数列中的项都在区间内. 考点04递推公式的应用 19．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得， 则， 即， 故选：D. 20．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，所以，A项正确； 对于B，由，得当2时，， 将以上各式相加得， 所以， 又当时符合上式，所以，由二次函数的性质可知不为递减数列，B项错误； 对于C，因为，所以当或时，取得最小值-20，C项正确； 对于D，当时，，解得，所以当时，的最大值为8，D项正确. 故选：ACD. 21．数列满足，且，则 . 【答案】/ 【详解】由题意得， 则. 故 . 故答案为： 22．在数列中，，则的通项公式为 ． 【答案】； 【详解】， 故， 所以 . 故答案为： 23．数列中，若，，则 . 【答案】 【详解】由题意，，可得，所以， 所以. 故答案为：. 24．已知数列满足，，求. 【答案】， 【详解】因为， 所以，即. 所以， 又也符合上式， 所以，. 考点05前n项和公式Sn与an的关系 25．已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 26．已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为数列的前项和，，则. 故选：D. 27．已知为数列的前n项和，若，则的值为 . 【答案】4047 【详解】数列中，，所以. 故答案为：4047 28．设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题意时，， 又也满足上式， 所以． 故答案为：. 29．记为数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】因为为数列的前项和，且， 则. 故答案为：. 30．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】因为，所以当时，， 两式作差可得， 整理得， 因为，， 令，则，所以， 所以，所以， 则， 当时，也符合上式，综上，. 31．已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 【答案】 【详解】当时，，解得， 当时，， 两式相减可得，， 则， 累加可得，，则， 而时也符合题意， 所以数列的通项公式为． 考点06数列单调性的判断 32．已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由已知得，即，解得. 故选：B. 33．已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 【答案】A 【详解】设（k为常数），所以， 因为，所以， 令，则， 所以，所以单调递减， 所以，所以， 所以， 所以， 所以数列为递增数列． 故选：A. 34．已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】C 【详解】数列，则，， 因此，数列是摆动数列. 故选：C 35．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 则的取值范围为，故C正确. 故选：C． 36．（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为， 由二次函数的单调性可得数列为递增数列； 对于B，因为， 由一次函数的单调性可得数列是递减数列； 对于C，因为， 由指数函数的单调性可得数列是递减数列； 对于D，因为， 当时，数列是递增数列， 当时， 数列为递增数列， 而，所以数列是递增数列. 故选：AD. 考点07数列的最大项与最小项 37．数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．7或8 D．6或7 【答案】D 【详解】由，得当时，数列递减，当时，数列递增， 由，得，因此，当时，， 所以当该数列的前项和取得最小值时，的值为6或7. 故选：D 38．已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 39．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 【答案】2和3 【详解】 在上单调递减，单调递增， 且故该数列的最大项是第二项和第三项. 故答案为：2和3 40．（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 考点08周期数列 41．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】B 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 42．在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 【答案】B 【详解】由，， ，可知以3为周期，依次为，显然B正确. 故选：B 43．已知函数的部分对应值如表所示.数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（   ）. 1 2 3 4 3 1 2 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意，同理，，……, 所以是周期为3的周期数列，所以. 故选：C. 44．已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为， 令，可得； 令，可得； 令，可得； 令，可得； 故选：C. 45．若数列满足，若，则的值为 【答案】 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 46．数列满足：为正整数，，若，则 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，， 以此类推，可知，即数列是周期为的周期数列， 所以 . 故答案为：. 基础试炼 一、单选题 1．在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 【答案】B 【详解】由数列1，，4，，16，…，可知通项公式为， 所以. 故选：B 2．数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以， 故选：D 3．已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【详解】因为. 故选：D 4．数列中，对所有的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得时，， 因此当时，，故，，所以， 故选：A 三、填空题 5．已知数列满足，则其前9项和 . 【答案】 【详解】 . 故答案为：. 6．已知数列中，，且是递增数列，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】恒成立， ∴，， ∵，∴，∴． ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 二、多选题 7．下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故A正确； 对于B，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，故D正确； 故选：ABD. 8．已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为周期数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为常数列 【答案】AC 【详解】依题意，，， 对于A，，则，A正确； 对于BCD，显然，则，即恒成立， 因此数列为单调递增数列，不是周期数列，也不是常数列，C正确，BD错误. 故选：AC 9．斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题设，，，A错； 由，则，故，B对； 由，结合B的结论有，，，， 所以，C对； ，D对； 故选：BCD 四、解答题 10．试写出前4项为7，77，777，7777的一个通项公式. 【答案】， 【详解】由题可知，， ，， 所以前4项为7，77，777，7777的一个通项公式为，. 11．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意对任意正整数，有， 令时，，即，可得； 令时，，即，可得. 由猜想：. （2）由（1）可知； 当时，由得，则， 即，即， 故时，， 且也适合上式，所以. 12．已知数列的通项公式为． (1)求． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)在区间内有该数列中的项，且只有一项. 【详解】（1）因为， 所以． （2）由（1）知，令，解得． 因为，所以无正整数解，即不是该数列中的项． （3）由（1）知，令， 则，解得． 因为，所以， 所以在区间内有该数列中的项，且只有一项． 高阶突破 1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①②得，所以，所以． 故选：C． 2．数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，当时，；当时，；当时，无周期性，故A错误； 对于B，当时，；当时，；当时，所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确； 对于C，当时，；当时，；当时，无周期性，故C错误； 对于D，当时，；当时，；当时，无周期性，故D错误； 故选：B. 3．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 【答案】C 【详解】∵为正项数列的前项积， ， ∴当时，， 时，，又， ∴，即， ∴是首项为3，公差为2的等差数列，且. 由，得 若，则，∴ 所以，正整数的最小值为1001. 故选：C. 4．若数列满足关系，则 ． 【答案】 【详解】由，， 往前递推依次得到，，. 故答案为：. 5．（多选）已知首项为1的正项数列满足，则（    ） A．为递增数列 B． C． D．数列为递减数列 【答案】ACD 【详解】对A，由，，，可得， 即，可得数列为递增数列，故A正确； 对B，由数列为递增数列，可得，即有，故B错误； 对C，由A知，为递增数列，且，， 所以，故C正确. 对D，由，可得，则数列为递减数列，故D正确． 故选：ACD． 6．已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 7．某个软件公司对软件进行升级， 将序列升级为新序列， 中的第项为， 若的所有项都是，且，则 ． 【答案】8 【详解】由题意得，，， ， ∵的所有项都是， ∴， 由得，解得， 由得，解得， 由得，解得. 故答案为：. 8．在数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由可得①， 又， ①两边同取以2为底的对数得， ， 而，故， 得． （2）， 故 ， 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第17讲 数列的概念 学习目标： 1.掌握数列的两种分类,能对具体数列作出判断； 2.理解数列通项公式的概念,能根据数列的前几项写出数列的通项公式； 3.理解数列的递推公式是数列的表示方法的一种形式； 4.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法. 重点难点： 重点：1.理解数列的概念，了解数列是一种特殊函数； 2.能够根据数列的前n项写出该数列的通项公式。 难点：能够辨别数列，体会类比、归纳的数学思想， 知识点一、数列的概念与表示 1.数列的概念 （1）定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列. （2）项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示,……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用表示.其中第1项也叫做首项. （3）分类: 若数列的项数有限，则该数列为有穷数列；若数列的项数无限，则该数列为无穷数列 2.数列的表示方法 （1）一般形式:数列的一般形式是简记为. （2）其他方法:解析式法、表格法、图象法. 3.数列的通项公式 （1）如果数列的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. （2）数列与函数的区别和联系： 数列是离散型函数，自变量是正整数，定义域是正整数集及其子集，图象是一些离散的点； 函数多是连续型，自变量是实数，图象(除有间断点的)一般为不间断的曲线. 4.数列的单调性 与函数的单调性类似,项数n相当于自变量x,项相当于函数值. 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点二、数列的递推公式 1.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 数列的递推公式与其通项公式的异同： 相同点 不同点 通项公式 均可确定一个数列,求出数列中的任意一项 给出n的值,可求出数列中的第n项 递推公式 由前一项(或前几项),通过一次(或多次)运算,可求出第n项 2.数列的前n项和 （1）数列的前n项和:把数列从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列的前n项和,记作,即. （2）数列的前n项和公式:如果数列的前n项和与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 3.与的关系式： ①当时，若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，若不适合，则用分段函数的形式表示. 考点01数列的概念及分类 1．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 2．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 3．（多选）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 C．数列0，2，4，6，8，…的一个通项公式为 D．数列的一个通项公式为 4．（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（    ）． A．1，，，，…，，… B．，，，，…，，… C．，，，…，，… D．1，，，…，，… 5．下列各式是数列的是 ；是有穷数列的是 ；是无穷数列的是 ． ①；②4，3，2，1，0；③所有无理数；④1，2，3，4，…；⑤2，2，2，2，2． 考点02由数列的前几项写出通项公式 6．已知数列，，，，，则是它的（   ） A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项 7．已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 8．数列，…的一个通项公式（    ） A． B． C． D． 9．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 10．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x，48，63，……中，x的值是 11．数列，，，，，…中，按此规律，是数列的第 项． 12．数列的一个通项公式 ． 考点03通项公式的简单应用 13．已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 14．已知数列的通项公式为，则该数列是（   ） A．摆动数列 B．递减数列 C．递增数列 D．常数数列 15．已知数列的通项公式为，下列说法正确的是（   ） A．数列从第3项起各项数值逐渐增大 B．当时，取最大值 C．是该数列的项 D．数列的图象与的图象相同 16．如果，那么等于（    ） A． B． C． D． 17．已知数列的通项公式为，则 ，若，则 ． 18．已知数列的通项公式为. (1)判断是不是数列中的项； (2)试判断数列中的项是否都在区间内． 考点04递推公式的应用 19．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 20．（多选）已知数列满足，则（    ） A． B．为递减数列 C．的最小值为-20 D．当时，的最大值为8 21．数列满足，且，则 . 22．在数列中，，则的通项公式为 ． 23．数列中，若，，则 . 24．已知数列满足，，求. 考点05前n项和公式Sn与an的关系 25．已知数列的首项，前n项和，满足，则（    ） A． B． C． D． 26．已知为数列的前项和，，则（    ） A． B． C． D． 27．已知为数列的前n项和，若，则的值为 . 28．设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 29．记为数列的前项和，若，则 . 30．已知数列的前项和为，，，求数列的通项公式． 31．已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； 考点06数列单调性的判断 32．已知数列的通项，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（    ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．先递增后递减 D．先递减后递增 34．已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 35．已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（多选）下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 考点07数列的最大项与最小项 37．数列的通项公式为，则当该数列的前项和取得最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．7或8 D．6或7 38．已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．已知数列满足为正整数，则该数列的最大项是第 项. 40．（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 考点08周期数列 41．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 42．在数列中，若，则下列数是中的项的是（   ） A．4 B．4 C． D．3 43．已知函数的部分对应值如表所示.数列满足，且对任意，点都在函数的图象上，则的值为（   ）. 1 2 3 4 3 1 2 4 A．1 B．2 C．3 D．4 44．已知数列满足，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 45．若数列满足，若，则的值为 46．数列满足：为正整数，，若，则 . 基础试炼 一、单选题 1．在数列1，，4，，16，…中，这个数列的第7项是（    ） A． B．64 C．128 D． 2．数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 3．已知数列的前项和，则（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 4．数列中，对所有的都有，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．已知数列满足，则其前9项和 . 6．已知数列中，，且是递增数列，则实数a的取值范围为 ． 二、多选题 7．下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，设数列的通项公式，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为周期数列 C．数列为单调递增数列 D．数列为常数列 9．斐波那契数列又称“兔子数列”，在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，.则（   ） A． B． C． D． 四、解答题 10．试写出前4项为7，77，777，7777的一个通项公式. 11．记数列的前项和为，对任意正整数，有，且. (1)求和的值，并猜想的通项公式； (2)证明第（1）问猜想的通项公式； 12．已知数列的通项公式为． (1)求． (2)是不是该数列中的项？为什么？ (3)在区间内是否有该数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 高阶突破 1．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D． 2．数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．记正项数列的前项积为，已知，若，则的最小值是（   ） A．999 B．1000 C．1001 D．1002 4．若数列满足关系，则 ． 5．（多选）已知首项为1的正项数列满足，则（    ） A．为递增数列 B． C． D．数列为递减数列 6．已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是 ． 7．某个软件公司对软件进行升级， 将序列升级为新序列， 中的第项为， 若的所有项都是，且，则 ． 8．在数列中，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，为数列的前项和，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$