精品解析：北京市北京大学附属中学行知学院2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期北大附中行知学院高一期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式性质化简集合，进而求交集. 【详解】因为，且， 所以. 故选：A. 2. 记命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的否定的概念直接可得解. 【详解】由命题：，， 可知：，， 故选：C. 3. 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果. 【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同. 故选：B 4. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式的性质逐项分析并适当放缩可得ABD，平方后作差可得C； 【详解】A：由，得，故A正确； B：由，得，故B正确； C：由，得， 两边平方后作差可得， 所以，故C正确； D：由，，又，故D错误； 故选：D. 5. 若定义域为的函数满足：对，都有，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知为偶函数，根据偶函数性质以及函数单调性分析判断. 【详解】因为， 令，可得，可知为偶函数， 则， 又因为在上单调递增， 则，即，故A正确，C错误； 因为不知道在上的单调性，故无法判断的大小关系，故BD不一定正确； 故选：A. 6. 我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义，利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当，时，满足， 此时，，即， 所以“”不是“”的充分条件； 当，时，，， 此时，，即，此时， 所以“”不是“”的必要条件， 综上所述“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D. 7. 若函数同时满足： ①对于定义域上的任意x，恒有； ②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列三个函数：（1）（2）（3） 其中是“理想函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给三个函数的奇偶性和单调性，即可得到结果； 【详解】由①可得，函数为奇函数；由②得，函数为减函数； 所以“理想函数”既是奇函数，又是减函数， 中不是减函数，所以不是理想函数； 中为偶函数，所以不是理想函数； 中函数满足，且由二次函数的性质可得在对应的定义域内都为减函数，所以是理想函数； 综上，理想函数的个数为1个， 故选：B. 8. 若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一次函数的单调性，二次函数的单调性和对称轴知识求解即可； 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故选：D. 9. 已知两个关于x的方程：①，②，且，若、分别是方程①和②的正根，则它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次方程的根可得，即可利用不等式的性质求解. 【详解】由可得， 可得， 由于，所以，故， 因此，故 故选：B 10. 已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为奇函数，可得函数为偶函数，再根据，可得在上单调递减，即为或，根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由已知当，， 则， 设，， 则在上单调递减； 由是定义在上的奇函数， 则，所以当时，，不满足题意； 当时，为偶函数，且， 又函数在上单调递减， 则在上单调递增， 当时，由，可得，则； 当时，由，可得，则； 综上所述， 故选：B. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 设，，若，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】由得，解得或， ，可得, 故， 故答案为： 12. 已知函数是上的偶函数，当时，，则时，函数的解析式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的定义分析求解即可. 【详解】当，则，则， 且函数是上的偶函数，则. 故答案为：. 13. 若x，，且，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】由且可得， 所以， 当且仅当即时取等号， 故答案为：9. 14. 设函数关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】画出函数图象，数形结合求解即可； 【详解】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根， 分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上， 不妨设，显然，关于对称，故， 另一个交点位于一次函数图象上，令，解得，显然它在和以及的交点和之间， 故，所以， 故答案为： 15. 设非空集合，，，且，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由一次函数的性质可得，根据，结合函数，可得，即可列不等式求实数的取值范围； 【详解】由，，得， 即， 由于，故，且， 又，故， 即，解得， 故的取值范围为； 故答案为： 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设全集，集合，集合. （1）若对任意，都有，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据集合的包含关系的定义求解． （2）根据充分不必要条件的定义得出关于的不等关系，然后求解； 【小问1详解】 由对任意，都有可知， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以实数的取值范围． 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得， 又，， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为； 17. 为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. （1）该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ （2）该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 【答案】（1） （2）能获利，最大利润为 【解析】 【分析】（1）根据月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式可得，再根据基本不等式可得解； （2）设利润为，则，再根据二次函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式， 则每吨的平均处理成本为， 当且仅当，即时取等号， 即当月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 设利润为，则， 又， 则当时，取最大值为， 该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能获利，且最大利润为. 18. 已知函数，且定义域为. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义判断即可； （2）根据函数的单调性定义证明即可； （3）根据函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. 【小问2详解】 ，且， ， 因为，，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 因为为奇函数， ，即， 又在上单调递减， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 19. 已知集合，若集合A是U的含有k（）个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”.将U的所有“k元零子集”的个数记为. （1）写出U的一个“2元零子集”和一个不含数字0的“3元零子集”； （2）求证：当，且时，； （3）直接写出的值. 【答案】（1） 解：因为， 所以U的“2元零子集”可以是（其中之一即可）； U的不含数字0的“3元零子集”可以是 （其中之一即可）. （2） 当时，设是的任意一个“元零子集”，则中所有元素之和为0， 因为中所有元素之和为0，所以中所有元素之和也为0， 即是集合的“元零子集”； 反之，设是的任意一个“元零子集”， 同理得是的“元零子集”； 综上所述：. （3）151 【解析】 【分析】（1）根据“k元零子集”的定义列举； （2）根据“k元零子集”的定义结合的含义即可得证； （3）根据“k元零子集”的定义列举求出的值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 的“1元零子集”只有，即； 的“2元零子集”有：，即； 的“3元零子集”有：， ， 即； 的“4元零子集”有：， ， ， ， ，， 所以； 的“5元零子集”有：， ， ，， ， ， ，， 所以； 由（2）知:， 显然， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期北大附中行知学院高一期中考试 数学试卷 考生须知 1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分. 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答. 3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记命题：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若定义域为的函数满足：对，都有，且在上单调递增，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我们用记号表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数同时满足： ①对于定义域上的任意x，恒有； ②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列三个函数：（1）（2）（3） 其中是“理想函数”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 若函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知两个关于x的方程：①，②，且，若、分别是方程①和②的正根，则它们的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 已知是定义在上的奇函数，若对任意，均有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共60分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 设，，若，则实数__________. 12. 已知函数是上的偶函数，当时，，则时，函数的解析式为__________. 13. 若x，，且，则的最小值为______. 14. 设函数关于的方程有三个不等实根，，，则的取值范围是________. 15. 设非空集合，，，且，则实数a的取值范围是__________. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 设全集，集合，集合. （1）若对任意，都有，求实数a的取值范围； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 17. 为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）和处理量（吨）之间的函数关系式为，且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为元. （1）该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？ （2）该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小亏损. 18. 已知函数，且定义域为. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）求不等式的解集. 19. 已知集合，若集合A是U的含有k（）个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”.将U的所有“k元零子集”的个数记为. （1）写出U的一个“2元零子集”和一个不含数字0的“3元零子集”； （2）求证：当，且时，； （3）直接写出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $