精品解析：辽宁省营口市鲅鱼圈区红旗镇初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

红旗中学2024-2025学年度上学期期中质量检测 九年级数学试卷 时间： 120分钟 满分： 120分 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该方程符合一元二次方程的定义，符合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．该方程中，未知数最高指数为3，它不是一元二次方程，不符合题意； D．该方程不是整式方程，不符合题意； 故选：A． 2. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案． 【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心． 3. 将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键． 对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方． 【详解】解： ∴， 故选B． 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　） A. 12 B. 6 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接B'B，∵将绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°， ∴△AA'C是等边三角形， ∴∠AA'C=60°， ∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到， ∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°， ∴△BCB'是等边三角形， ∴∠CB'B=60°， ∵∠CB'A'=30°， ∴∠A'B'B=30°， ∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°， ∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6， ∴AB=12， ∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6， ∴B'B=6， 故选：D． 【点睛】此题考查旋转问题，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答． 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长． 【详解】解：如图所示，CD⊥AB于点P． 根据题意，得 AB=10cm，CD=6cm． ∴OC=5，CP=3 ∵CD⊥AB， ∴CP=CD=3cm． 根据勾股定理，得OP==4cm． 故选B． 【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦． 9. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确； ②由，又AD∥BC，所以，进而得出，故②正确； ③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确； ④根据相似三角形的边长之比得出△ABF和△ABC的比值，从而得出四边形CDEF和△ABF的面积之比，即可判定④正确. 【详解】过D作DM∥BE交AC于N，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC， ∵BE⊥AC于点F， ∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°， ∴△AEF∽△CAB，故①正确； ∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵， ∴， ∴CF=2AF，故②正确， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形BMDE是平行四边形， ∴BM=DE=， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC于点F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF=DC，故③正确； ∵ ∴， ∵ 设，则，S四边形CDEF= ∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确； 故选：A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键. 10. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点．①；②；③；④若，则；⑤若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；则上述结论中，正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的开口，判断a的符号，根据对称轴，判断b的符号，根据于y轴交点，判断c的符号，即可判断①；把点代入得，整理得到，即可判断②；根据该函数图象与x轴的交点个数，即可判断③；根据可得，则当时，，把和分别代入，消去a，即可判断④；根据函数开口向下，对称轴为直线，可知函数的最大值为对应的函数值，则当时，函数值不大于对应的函数值，即可判断⑤． 【详解】解：∵函数开口向下， ∴， ∵函数对称轴在y轴左侧， ∴，则， ∵函数图象与y轴相交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 把点代入得： ， ∴，则， ∵， ∴，故②正确； ∵该函数图象与x轴有2个交点， ∴，故③不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 把代入得：，即 ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴，故④正确； 把代入得：， ∵抛物线的对称轴是直线，函数图象开口向下， ∴该函数的顶点坐标为：，即该函数最大值为， 当时，， ∴， 整理得：，即，故⑤正确； 综上：正确的有①②④⑤，共4个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和系数的关系． 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据韦达定理得，关于的方程，解方程再根据的判断是否符号题意，符合即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ∴，即，解方程得，，， 当时，原方程为，，原方程无实数根； 当时，原方程为，，原方程有两个不相等的实根，符号题意， ∴的值是． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系求参数，掌握一元二次方程的根与系数的关系，以及根的判别式是解题的关键． 12. 园林绿化处有一块长、宽的矩形空地．现计划在矩形空地的中间设计横竖道路，各与矩形的一条边平行，且横竖道路的宽度比为，余下的种草坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一，若设横向道路的宽为，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设设横向道路的宽为，，则纵向道路的宽度为，余下的部分的面积等同于长为、宽为的矩形的面积，结合草坪的面积占这块空地面积的四分之一，可列出关于的一元二次方程，即可求出结论． 【详解】解：设横向道路的宽为，，则纵向道路的宽度为，余下的部分的面积等同于长为、宽为的矩形的面积， 根据题意得：． 故答案为：． 13. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm． 【答案】10或70 【解析】 【分析】分水位在圆心下以及圆心上两种情况，画出符合题意的图形进行求解即可得． 【详解】如图，作半径OD⊥AB于C，连接OB， 由垂径定理得：BC=AB=×60=30cm， 在Rt△OBC中， 当水位上升到圆心以下时 ，水面宽80cm时， 则， 水面上升的高度为：； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：， 综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm， 故答案为：10或70． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分类讨论的思想是解题的关键． 14. 如图，在中，，把绕点顺时针旋转，得到，是的中点，若，，则线段 的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质及勾股定理，过点作于，于，易证明四边形是矩形，得到，由，，得到，，又由是的中点，根据相似三角形性质可得，，进而得到，由勾股定理可求得的长，构造出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，于， 则，，， 由旋转可得，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 规定：表示x和y两个数中最小值．例如：，．则关于x的函数的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数和一次函数的性质，能够熟练运用数形结合是解答本题的关键．根据题目信息将，和画在同一个坐标系中，利用数形结合确定的最大值． 【详解】解：将，和画在同一个坐标系中，如图所示， 从图中可以得出，当，两个函数图像交点处，取得最大值， 令，解得：， 当时，， 所以关于x的函数的最大值为． 故答案为： 三、解答题： （共75分） 16. （1） 解方程：（因式分解法） （2） 化简： 【答案】（1），；（2）1 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先将分子因式分解、再约分，最后相加可得答案． 【详解】解：（1）， ， ， 则， 或， 解得，； （2）原式 ． 17. 随着2023年杭州亚运会开幕，吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”在电商平台上爆单，在某个电商平台上9月24日的销量为5000个，9月25日和9月26日的总销量是30000个，已知9月25日和9月26日的销量较前一天的平均增长率相同． （1）求25日、26日的销量较前一天的增长率． （2）某线下实体店每个吉祥物的进价为13元，售价为每个14元时，每天可售出220个，经调查，每个吉祥物涨价1元，每天将少销售20个．若销售单价不低于进价且不高于18元，则销售单价定为多少时，该实体店每天所获的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）25日、26日的销量较前一天的增长率是 （2）销售单价定为18元时，该实体店每天所获的利润最大，最大利润为700元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数表达式是解题的关键． （1）设25日、26日的销量较前一天的增长率是，利用25日的销售量+26日的销售量30000，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利润为元，列出二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设25日、26日的销量较前一天的增长率是， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：25日、26日的销量较前一天的增长率是； 【小问2详解】 解：设销售单价定为元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，利润为元， 依题意得：， 销售单价不低于进价且不高于18元， ， ， 故当时，取得最大值，为700， 销售单价定为18元时，该实体店每天所获的利润最大，最大利润为700元． 18. 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． （1）将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． （2）连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． （3）请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】（1） 如图，为所作； （2）如图，为所作； （3） 如图， 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换，旋转及对称作图：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了一次函数． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点，对应点，，从而得到； （2）连接，分别作出点的对应点，将缩小得到； （3）作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，再用待定系数法求出其坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线的函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则，解得：， 19. 如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为，求灯杆的高度． 【答案】灯杆的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由已知易证，从而可得：，即；同理可证，即；由此可得：，解得后即可就得的长； 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴， ∴， 即灯杆的高度为． 20. 如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要把它加工为矩形零件． （1）如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在上，其余两个顶点分别在上，则加工成矩形零件的长和宽分别是多少？ （2）如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长． 【答案】（1）这个矩形零件的长为，宽为 （2）矩形零件面积达到最大时的两边长分别为60，40． 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出正方形的边长与三角形的边与这边上的高的关系是解题的关键． （1）设，则，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可； （2）设，用表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用表示出，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答． 【小问1详解】 解：由题意可设矩形的边长，则， ， ， ， ， 解得， ， 这个矩形零件的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设，矩形的面积为， 由条件可得， ， ， 解得． ， ， 当时，有最大值，此时， 矩形零件面积达到最大时的两边长分别为60，40． 21. 在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： （1）如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； （2）如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值； （2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：如图1，作交于，交于，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 ∴ ∴的长为． 【小问2详解】 解：如图2，延长交于，连接，设半径为 由题意知，由折叠和中点的性质可知， 在中，由勾股定理得，即 解得：，（不合题意，舍去） ∴半径的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. （1）问题发现：如图1，在等腰直角中，．将边绕点B顺时针旋转90度得到线段，连接，则的面积为．（请用含a的式子表示的面积．） （2）类比探究：如图2，在一般的中，．将边绕点B顺时针旋转90度得到线段，连接，则（1）中的结论是否成立，若成立请说明理由． （3）拓展应用：如图3，在等腰中，．将边绕点B顺时针旋转90度得到线段，连接，试直接用含a的式子表示的面积．（不写探究过程．） 【答案】（1）； （2）（1）中结论仍然成立， 理由：如图2，过点作，交的延长线于， ， ， 由旋转知，，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）先由旋转得出，，再根据同角的余角相等判断出，进而判断出，最后用三角形的面积公式即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出，再同（2）的方法即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，过点作，交的延长线于， ， ， 由旋转知，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）如图3，过点作于， ， ， 过点作交的延长线于， 同（2）的方法得，， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，等腰三角形的旋转，构造出全等三角形是解本题的关键． 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、 都是“基准偶和点”． （1）下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是 ；（填序号） ①；②；③； （2）已知抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； （3）抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 是否存在一个常数t，使得当时，w有最小值恰好等于，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够理根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）运用“基准偶和点”的概念作答即可； （2）由题意得，得出，再由抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可； （3）抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得进而可得，再运用二次函数的性质即可求得答案． 【小问1详解】 解：①由得： 直线只有一个“基准偶和点”： ②由无解 ③由无解 由得 故答案为： 【小问2详解】 解：由题意得 即 即 【小问3详解】 由题意得即 有且只有一个“基准偶和点” 即 ， ①当时，即时，w在时取得最小值 即 解得(舍去)或(舍去) ②当时，w时取得最小值， 即 ③当时，w在时取得最小值即 解得或(舍去) 综上所述： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红旗中学2024-2025学年度上学期期中质量检测 九年级数学试卷 时间： 120分钟 满分： 120分 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 将一元二次方程配方成的形式，则a的值为（ ） A. B. C. 4 D. 8 4. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB边上，则点B'与点B之间的距离为（　　） A. 12 B. 6 C. 6 D. 6. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则OP的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点．①；②；③；④若，则；⑤若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则；则上述结论中，正确的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：（每小题3分，共15分） 11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是_______． 12. 园林绿化处有一块长、宽的矩形空地．现计划在矩形空地的中间设计横竖道路，各与矩形的一条边平行，且横竖道路的宽度比为，余下的种草坪，其中草坪的面积占这块空地面积的四分之一，若设横向道路的宽为，可列方程为________． 13. 如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm． 14. 如图，在中，，把绕点顺时针旋转，得到，是的中点，若，，则线段 的长为____． 15. 规定：表示x和y两个数中最小值．例如：，．则关于x的函数的最大值为_______． 三、解答题： （共75分） 16. （1） 解方程：（因式分解法） （2） 化简： 17. 随着2023年杭州亚运会开幕，吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”在电商平台上爆单，在某个电商平台上9月24日的销量为5000个，9月25日和9月26日的总销量是30000个，已知9月25日和9月26日的销量较前一天的平均增长率相同． （1）求25日、26日的销量较前一天的增长率． （2）某线下实体店每个吉祥物的进价为13元，售价为每个14元时，每天可售出220个，经调查，每个吉祥物涨价1元，每天将少销售20个．若销售单价不低于进价且不高于18元，则销售单价定为多少时，该实体店每天所获的利润最大？最大利润为多少？ 18. 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． （1）将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． （2）连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． （3）请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 19. 如图，夜晚路灯下，小明在点D处测得自己影长，在点G处测得自己影长，E、D、G、B在同一条直线上，已知小明身高为，求灯杆的高度． 20. 如图所示，有一块三角形余料，它的边长，高．要把它加工为矩形零件． （1）如果使矩形的长为宽的两倍，且长边在上，其余两个顶点分别在上，则加工成矩形零件的长和宽分别是多少？ （2）如果要使加工的矩形零件面积最大，求矩形零件面积达到最大时的两边长． 21. 在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题： （1）如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长； （2）如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径． 22. （1）问题发现：如图1，在等腰直角中，．将边绕点B顺时针旋转90度得到线段，连接，则的面积为．（请用含a的式子表示的面积．） （2）类比探究：如图2，在一般的中，．将边绕点B顺时针旋转90度得到线段，连接，则（1）中的结论是否成立，若成立请说明理由． （3）拓展应用：如图3，在等腰中，．将边绕点B顺时针旋转90度得到线段，连接，试直接用含a的式子表示的面积．（不写探究过程．） 23. 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为2，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、 都是“基准偶和点”． （1）下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是 ；（填序号） ①；②；③； （2）已知抛物线 （m、n均为常数） 与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式； （3）抛物线 （a、b均为常数，） 的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令 是否存在一个常数t，使得当时，w有最小值恰好等于，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $