精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列四组函数中，与表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 8. 已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知全集，，，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的不同子集的个数为 11. 设为实数，已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是偶函数 B. 当时，的最小值为 C. 若在上单调递减，则的取值范围为 D. 若存在，对于任意的，则的可能值共有3个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______. 13. 设，若，则的值是______. 14. 设，函数在上的最小值为，在区间上的最小值为，若存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 16. 设为实数，已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 17. 如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且. （1）若，求关于的解析式； （2）求面积的最大值及相应的值. 18. 设为实数，已知函数为上的偶函数. （1）求的值； （2）设函数. ①用定义证明：在上单调递增； ②解关于x的不等式. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好都存在个不同的实数，使得，则称为的“型函数”. （1）判断是否为的“1型函数”，并说明理由； （2）设为实数，若为的“2型函数”，求的取值范围； （3）设为给定的正整数.定义为实数的小数部分，为不超过的最大整数，如.若为的“型函数”，求的取值范围（结果用含的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，解得，所以， 又，所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案. 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：C 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据均值不等式，可知当时，成立，可验证充分性；根据举特值法可判断必要性. 【详解】当时，，当且仅当即时取等号，所以充分性成立； 当时，成立，不满足，所以必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 4. 下列四组函数中，与表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数相等的充要条件逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，，对应法则不同，故A错误； 对于B，的定义域分别为，定义域不同，故B错误； 对于C，的定义域分别为，定义域不同，故C错误； 对于D，的定义域均为，且，即对应法则相同，故D正确. 故选：D. 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 6. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B. 7. 若，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用1的代换结合基本不等式可求最小值. 【详解】.. 当且仅当，即时取等号. 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解. 【详解】由得关于对称， 由得， 即， 所以也关于对称， 因此两函数图象交点也是对称的， 假设点与点对称， 则，所以推理可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】判断所给选项能否推出，能推出，则是充分条件. 【详解】对于A，若，满足，但得不到， 所以不是的充分条件，故A错误； 对于B，若，则，则，即， 所以是的充分条件，故B正确； 对于C，若，满足，但得不到， 所以不是的充分条件，故C错误； 对于D，若，则，则， 所以是的充分条件，故D正确. 故选：BD. 10. 已知全集，，，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的不同子集的个数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】解不等式可求得全集，作出图后，依次判断各个选项即可. 【详解】由得：，； 根据已知可作出图如下图所示， ，A正确；，B错误；，C正确； 中有个元素，的不同子集有个，D正确. 故选：ACD. 11. 设为实数，已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 当时，是偶函数 B. 当时，的最小值为 C. 若在上单调递减，则的取值范围为 D. 若存在，对于任意的，则的可能值共有3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断A；分类去绝对值符号，结合图象可求得最小值判断B；利用单调性求得判断C；由关于对称可知函数图象具有对称性求出的值判断D. 【详解】若，则， 所以，故A对； 若，则，如图： 故，故B正确； 在上，若，则，使函数在单调递减，则即，又，所以，故C错误； 若，则关于对称，所以由C可知与均能满足题意， 此外由B可知要满足题意则中间部分必须水平， 所以或时，或要为0，即，共有3个，故D对． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，求解即可. 【详解】解：由题意可得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 设，若，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的关系先求解出的值，由此可求的值. 【详解】因为， 所以， 又，所以， 故答案为：. 14. 设，函数在上的最小值为，在区间上的最小值为，若存在两个不同的，使得成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由对勾函数性质进行讨论即可得解. 【详解】分以下三种情形讨论即可： ①时，函数在上单调递减，在单调递减，在上单调递增， 所以， 即； ②时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即； ③时，函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递增， 所以， 即； 所以要想存在两个不同的使得相同， 则必须一个，另一个， 即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 设为实数，已知集合. （1）若，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接化简集合，结合并集的概念即可得解； （2）对进行分类讨论，由包含关系列不等式即可求解. 【小问1详解】 时，，故； 【小问2详解】 ①时，，满足题意； ②时，，要满足题意则有，即； ③时，，与已知矛盾，舍； ④时，，与已知矛盾，舍； ⑤时，，一定满足题意. 综上所述，的取值范围是. 17. 如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且. （1）若，求关于的解析式； （2）求面积的最大值及相应的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由全等三角形性质、勾股定理列方程即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由已知得，易得和全等，所以， 由勾股定理得，即，其中； 【小问2详解】 ， 当且仅当时取等，面积最大值为. 18. 设为实数，已知函数为上的偶函数. （1）求的值； （2）设函数. ①用定义证明：在上单调递增； ②解关于x的不等式. 【答案】（1） （2）①由（1）得， 任取，且， 所以 因为，且，所以且， 所以，即， 因此在上单调递增； ② 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义求解参数即可； （2）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 ， 由偶函数的定义得， 解得； 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以为奇函数，由①可知在单调递增， 因此由，可得，进而有， 所以得，即，此外由定义域得，解得， 综上不等式的解集为. 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好都存在个不同的实数，使得，则称为的“型函数”. （1）判断是否为的“1型函数”，并说明理由； （2）设为实数，若为的“2型函数”，求的取值范围； （3）设为给定的正整数.定义为实数的小数部分，为不超过的最大整数，如.若为的“型函数”，求的取值范围（结果用含的式子表示）. 【答案】（1） 不是“1型函数”，理由如下： 因为，所以的值域为， 因为，又，所以可求得的值域为， 所以不存在满足，故不是“1型函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“1型函数”判断即可； （2）求得的值域为的值域为，根据“2型函数”求的取值范围； （3）求得的值域为，进而求的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知得的值域为的值域为，因此要满足题意首先需要， 此外要存在两个不同的实数， 则要满足，即，但时，只有一解，与已知矛盾， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 由已知得的值域为，即可视为一个周期函数， 要满足题意则需，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题是函数的新定义题，关键是对新定义的正确理解，结合条件判断计算求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $