精品解析：四川省南充市阆中市 阆中中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

阆中中学校2024年秋初2022级期中学习质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：90分钟） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】一元二次方程是指含一个未知数，且未知数的最高次数为2的多项式方程，据此来判断即可． 【详解】解：A选项，当是，原方程是一次方程，不符合题意； B选项符合一元二次方程的定义； C选项有两个未知数，也不符合题意； D选项是分式方程，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 下列函数中，图象形状、开口方向都相同的是（ ） ①； ②； ③； ④； A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次项系数相等时，两个二次函数的图象形状、开口方向都相同，判断即可． 【详解】解：∵只有二次项系数相等时，两个二次函数的图象形状、开口方向都相同， ②与 ③二次项系数都是， ∴②③图象形状、开口方向都相同， 故选：B． 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 4. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意得：△=， 则方程有两个不相等的实数根． 故选：B 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，一元二次方程有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0，根的判别式的值应大于或等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且， 故选：C 6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 当时，y随x的增大而减小 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的开口向上 D. 图象的顶点坐标是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 二次函数的一般形式中的顶点式是：（，且，，是常数），它的对称轴是，顶点坐标是． 【详解】解：∵ ， ∴图像开口向下，对称轴为：，顶点坐标为， A．在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确， B．当，，∴图象与y轴的交点坐标为：，故此选项错误， C．，∴函数的开口向下，对称轴是，故此选项错误， D．∵这个函数的顶点是，故此选项错误， 故选A． 7. 在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【详解】解： A.由一次函数y=kx+k的图象可得：k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象应该开口向上，错误； B.由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y=kx2﹣kx的图象顶点应在y轴的负半轴，错误； C.由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误； D.正确． 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数和二次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标． 8. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和图形中的数据可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题． 【详解】解：设路宽为xm， 由题意得，（40-2x）（70-3x）=40×70×（1-）． 即（40-2x）（70-3x）=2450． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 9. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y=﹣2（x+1）2+3 C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3 【答案】D 【解析】 【详解】解：将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后 所得到的抛物线为y=﹣2（x﹣1）2+3， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，利用数形结合思想解题是关键． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点在该函数图象上，则；其中正确的结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】观察图象得：二次函数的图象与x轴有2个交点，可得，故（1）正确；再由二次函数的图象的对称轴为直线，可得，故（2）正确；观察图象得：当时，，可得，故（3）错误；再由二次函数的图象和性质可得二次函数的图象上的点离对称轴越远，函数值越小，从而得到，故（4）错误；即可求解． 【详解】解：观察图象得：二次函数的图象与x轴有2个交点， ∴，故（1）正确； ∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， 即，故（2）正确； 观察图象得：当时，， ∴，即，故（3）错误； ∵二次函数的图象的对称轴为直线，二次函数开口向下， ∴二次函数的图象上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故（4）错误； 故选：B 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及增减性并灵活运用数形结合的思想解决问题． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 关于的函数是二次函数，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为____________． 【答案】##111度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，得出，再根据即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ， 又， ． 故答案为：． 13. 某校九年级举行篮球赛（每两班比赛一场），共比赛了15场，则九年级共有______个班． 【答案】6 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），x个班比赛总场数=x（x-1）÷2，即可列方程求解． 【详解】解：设九年级共有x个班级． 依题意得：x（x-1）=15． 解得：x1=6，x2=-5（不合题意舍去）． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键． 14. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量x的取值范围就是二次函数的图象落在直线下方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得出：当或时，， 故答案为：或． 15. 关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为_________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及两个实数根互为相反数计算可得答案. 【详解】解：设方程两根为,, 根据根与系数的关系得+=2a-a,又由题意可知+=0,所以2a-a=0,解得a=0或a=2.当a=2时, 方程化为x+1=0,显然不成立.故a=2舍去.故a=0. 故答案：0. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数.其中，. 16. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意知，，，，将转化为代值计算即可得出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的题目选择不同的方法，难度不大． （1）移项，配方，开方，即可得到两个一元一次方程，求解即可； （2）移项后提取公因式即可化为一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ，． 18. 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x﹣3m＝0的一个根，求m的值及方程的另一个根． 【答案】m＝﹣2，方程的另一个根是3． 【解析】 【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出2+a=-（2m-1），2a=-3m，求出组成的方程组的解即可． 【详解】设方程的另一个根为a， 则根据根与系数的关系得：2+a＝﹣（2m﹣1），2a＝﹣3m， 解得：a＝3，m＝﹣2， 即m＝﹣2，方程的另一个根是3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系和解二元一次方程组，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：如果x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2=-，x1•x2=． 19. 已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 【答案】（1） （2）有最小值，最小值为1 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，二次函数的图像与性质，解题的关键是确定顶点是抛物线的最高点或者最低点． （1）已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势,则,进而求解； （2），故抛物线有最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势， 则抛物线开口向上，， 由，则， 则抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：，抛物线有最小值， 当时，， 即二次函数有最小值，这个最小值为1． 20. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了3万辆，第三季度销售了4.32万辆：求该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率． 【答案】该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为，根据第一季度和第三季度的销售数量，列方程求解即可． 【详解】解：设该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：或（舍）， 答：该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率为． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 22. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，求点P的坐标．（写出详细的解题过程） 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）P（﹣4，5）或P（2，5）． 【解析】 【分析】（1）设交点式y=a（x-1）（x+3），然后把C（0，-3）代入求出a的值即可； （2）首先算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标． 【详解】（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+3）， 把C（0，﹣3）代入得a•（﹣1）•3＝﹣3，解得a＝1， 所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），即y＝x2+2x﹣3； （2）∵A（1，0），B（﹣3，0）， ∴AB＝4， 设P（m，n）， ∵△ABP的面积为10， ∴AB•|n|＝10， 解得：n＝±5， 当n＝5时，m2+2m﹣3＝5， 解得：m＝﹣4或2， ∴P（﹣4，5）或P（2，5）； 当n＝﹣5时，m2+2m﹣3＝﹣5，即m2+2m+2＝0， ∵△＝22﹣4×1×2＜0， ∴n＝﹣5不存在， 故P（﹣4，5）或P（2，5）． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求k的值及此时方程的两个根． 【答案】（1） 证明：一元二次方程的判别式 所以一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）或，当时，方程的根为：，；当时，方程的根为：，． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，求证即可； （2）根据根与系数的关系可得：，，而，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：， ，即 化简可得： 解得或 当时，方程为 此时方程的根为：， 当时，方程为： 此时方程的根为：，． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，根与系数的关系，一元二次方程的求解，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根；若是一元二次方程的两个根，则，． 24. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． （1）求与之间的函数表达式； （2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 【答案】（1） （2）17元或18元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，熟知待定系数法的一般步骤是解决（1）的关键，根据题意列出利润与定价的函数关系式是解决（2）的关键． （1）利用待定系数法即可求出y与x的函数表达式； （2）列出利润W关于定价x的函数关系式，然后根据二次函数的性质及自变量x的范围即可求出最大利润． 【小问1详解】 解：依题意，设与的函数关系式为 则：， 解得： 即与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设利润为元， 则由题意知： ∵ ∴抛物线开口向下 ∵，且是整数 ∴或18 即当定价为17元或18元，汽车清洗店每天获利最大． 25. 如图，抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E． （1）求抛物线的解析式： （2）若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由： （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点的坐标是，四边形的面积的最大值是16 （3）存在，点的坐标或或或或 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过点、，且对称轴为，列方程组得，解方程组求出、、的值，即得到抛物线的解析式为； （2）作轴于点，交于点，设，求得直线的解析式为，则，所以，则，可求得，则当时，，此时，； （3）设，则，，，再分三种情况讨论，一是，则；二是，则；三是，则，解方程求出相应的的值，再求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过点、，且对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 如图1，作轴于点，交于点，设， 点与点关于直线对称， ，， 设直线的解析式为，则， 解得， ， ， ， ， ， 当时，，， 点的坐标是，四边形的面积的最大值是16． 【小问3详解】 解：存在，设， ，， ，，， 当时，则， 解得， ； 当时，则， 解得，， ，； 当时，则， 解得，， ，， 综上所述，点的坐标或或或或． 【点睛】此题重点考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阆中中学校2024年秋初2022级期中学习质量检测 数学试题 （满分：150分 时间：90分钟） 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，图象形状、开口方向都相同的是（ ） ①； ②； ③； ④； A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 3. 用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 当时，y随x的增大而减小 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的开口向上 D. 图象的顶点坐标是 7. 在同一直角坐标系中，函数y=kx2﹣k和y=kx+k（k≠0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在长70m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的观赏路（阴影部分），要使观赏路面积占总面积的八分之一，则路宽x应满足的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣2（x+1）2﹣1 B. y=﹣2（x+1）2+3 C. y=﹣2（x﹣1）2+1 D. y=﹣2（x﹣1）2+3 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点在该函数图象上，则；其中正确的结论有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 关于的函数是二次函数，则的值是_____． 12. 如图，把绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为____________． 13. 某校九年级举行篮球赛（每两班比赛一场），共比赛了15场，则九年级共有______个班． 14. 如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是______． 15. 关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为_________． 16. 已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=___________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 已知x＝2是关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x﹣3m＝0的一个根，求m的值及方程的另一个根． 19. 已知抛物线在对称轴右侧呈上升趋势，其中． （1）求抛物线的对称轴． （2）二次函数有最大值还是最小值？请求出这个最值． 20. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了3万辆，第三季度销售了4.32万辆：求该品牌汽车第二、第三两个季度销售量的平均增长率． 21. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，求点P的坐标．（写出详细的解题过程） 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求k的值及此时方程的两个根． 24. 某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）． （1）求与之间的函数表达式； （2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？ 25. 如图，抛物线与y轴交于点，与轴交于点A和点B，其中点A的坐标为，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与直线交于点E． （1）求抛物线的解析式： （2）若点F是直线上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不存在，请说明理由： （3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $