抽象函数讲义-2025届高三数学二轮复习

抽象函数 1， 抽象函数周期性的常用结论 （1）的周期为T; （2）的周期； （3）的周期； （4）两线对称型：如果定义在R上的函数f(x)有两条对称轴x=a，x=b，【f(x+a), f(x+b)均为偶函数】则f(x)是周期函数，其中一个周期； （5）两点对称型：如果定义在R上的函数f(x)关于两点（a,0）,(b,0)成中心对称【f(x+a), f(x+b)均为奇函数】，则f(x)是周期函数，其中一个周期； （6）一点一线对称型：如果定义在R上的函数f(x)关于点成中心对称，且关于直线成轴对称【f(x+a)为奇函数，f(x+b)为偶函数】，则f(x)是周期函数，其中一个周期. 2，函数对称性常用结论 ①轴对称 关于对称. 推论1：关于对称； 推论2：关于对称； 推论3：关于对称. ②中心对称 关于点对称； 推论1：关于点对称；（24年高考） 推论2：关于点对称； 推论3：关于点对称. 3，函数的奇偶性 （1）.若函数（）为奇函数，则 （2）.若函数（）为偶函数，则 4，原函数与其导函数，在对称性与周期性的关联 （1） 周期相等 （2） 原函数有对称轴，导函数有对称中心（a,0） （3） 原函数有对称中心（a,0）,导函数有对称轴 注意：由导函数性质无法推导出原函数的性质 5、抽象函数的赋值法 赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： （1）、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； （2）、通过的变换判定单调性； （3）、令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性； （4）、换为确定周期性． 6、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或 考点：函数自身周期，对称性，对称中心之间的关系 1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 2.（2022年新高考2卷08）已知函数的定义域为R，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 3.（2023年新高考1卷11）（多选）已知函数的定义域为，， 则（ ） A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 4.（2024•九省联考真题）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A B. C. 函数是偶函数 D. 函数是减函数 5.（2024·海南海口·统考模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（ ） A． B． C．0 D． 6．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意的，都有，则称为类周期函数，为的类周期.则（    ） A．函数为类周期函数 B．函数为类周期函数 C．若函数为类周期函数，则函数为周期函数 D．若函数为类周期函数，则常数 考点：相关联的两个函数，在周期，对称轴，对称中心的关系 1.（2022•全国）设是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数．若，则（2）　　． 2.（2022•乙卷）已知函数，的定义域均为，且，．若的图像关于直线对称，（2），则　　． 3.(24永州一模) 已知函数与定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ） A. 4为的一个周期 B. C. D. 4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义在R上函数满足：，，，设，则（      ） A．的图象关于直线x=2022对称 B．的图象关于点（2022，0）中心对称 C． D．为偶函数 5．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，设，则（    ） A．函数的周期为 B． C．是偶函数 D． 考点：原函数与导函数的关系 1. （2022年新高考1卷12）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知函数及其导数的定义域为，记，且都为奇函数．若，则（ ） A．0 B． C．2 D． 3，（2024·广东惠州·统考三模改编）（多选）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定不正确的是（ ） A．是奇函数 B．函数的图象关于点对称 C．点（其中）是函数的对称中心 D． 4.（2024·福建漳州·一模）已知可导函数的定义域为，为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则　　． 5．（2024·浙江绍兴·模拟预测）设定义在上的函数的导函数分别为 ，若，且为偶函数，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的图象关于对称 C． D．函数为周期函数，且周期为8 6．（2024·广东深圳·校考二模）已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抽象函数答案 考点：函数自身周期，对称性，对称中心之间的关系 1． B 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知.故选：B. 2.A 【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． 3.ABC 【解析】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 4.ABD 【解析】令、，则有， 又，故，即，令、，则有，即，由，可得，又，故，故A正确； 令，则有，即，故函数是奇函数，有，即，即函数是减函数，令，有，故B正确、C错误、D正确.故选：ABD. 5. A 【解析】因为为偶函数，所以，所以， 因为，故，即，所以， 故，故函数的一个周期，故， 中，令得，，因为，所以， 故.故选：A 6． CD 【详解】解：对A，，，故不是类周期函数，即A错误； 对B，，，故B错误； 对C，令，则 ， 函数是类周期为的类周期函数，， ， 函数为周期函数，故C正确；对D，若为类周期函数， 即存在非零常数，对任意的，都有， 即, 即，令，得① 令，得，化简得：②，由①+②得：，又,故，即D正确.故选：CD. 考点：相关联的两个函数周期，对称轴，对称中心的关系 1.． 【解析】由是定义域为的奇函数，可得（2）； 由是定义域为的偶函数，可得（2）． 若，则（2）（2），① 又（2）（2）．② ①②可得（2），即有（2）．故答案为：． 2. 【解析】的图像关于直线对称，则， ，，，故为偶函数， （2），（2），得．由，得，代入，得，故关于点中心对称， （1），由，，得， ，故，周期为4， 由（2），得（2），又（3）（1）， 所以（1）（2）（3）（4）， 故答案为： 3. ACD 【详解】由于为偶函数，图象关于轴对称， 所以图象关于对称，所以， 所以①，而②， 两式相加得，则③， 所以， 所以是的一个周期，A选项正确. 由③令得，由①令得， 由②令得，则， 所以， 所以，C选项正确. 由①令得， 由，得， 两式相减得，即， 且关于对称，，所以④， 所以， 所以是周期为的周期函数，所以，所以B选项错误. 由④令得，所以， 由于，所以 所以，所以D选项正确.故选：ACD 4．BCD 【详解】，函数为奇函数，图象关于原点对称， 又，∴，， ∴是周期函数，4是它的一个周期，函数图象关于中心对称， 由得函数的图象关于直线x=1轴对称， ，∴图象关于（2022，0）中心对称，B正确，A错误； 又，C正确； ，则，所以是偶函数，D正确故选：BCD． 5，ACD 【详解】由，以替换得， 结合得，由于是偶函数，所以， 则，所以，C选项正确. 由令得，A选项正确. 由令得， 由令得，B选项错误. 由令得，所以， 由得，， ，，所以， 由于是周期为的周期函数，所以，D选项正确.故选：ACD 6． ABD 【详解】对于A：因为，所以是周期为的函数，故A正确； 对于B：因为的周期为，所以，所以，，所以，故B正确； 对于C：因为，所以是奇函数，故C错误； 对于D：因为，所以， 所以， 因为， ， ，故D正确. 故选：ABD． 考点：原函数与导函数的关系 1，BC 【解析】因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. 2,C 【解析】因为为奇函数，则，即，可知的图象关于点对称，可得，即， 可知的图象关于对称，则，又因为为奇函数，则，可得，可知的周期为4，所以.故选：C． 3. ABD 【解析】对于A，因为为奇函数，所以， 所以的图象关于中心对称；又因为，所以，又因为，所以， 所以，令，得，所以，所以，所以，所以关于对称，所以，所以一定不是奇函数，故A错误；对于B，因为，两边求导得，即，所以的图象关于对称，故错误；对于C，由A可知，关于对称，又因为为奇函数，，所以的一个对称中心为，又因为， 所以，所以的图象关于对称，则点（其中）是函数的对称中心，故正确；对于D，因为，关于对称，所以，又因为的图象关于中心对称，所以的周期为，所以，故， 所以 而的值不确定，故错误.故选：ABD． 4，【答案】 【解析】因为为奇函数，则，即，两边求导得，则，可知关于直线对称， 又因为为奇函数，则，即，可知关于点对称，令，可得，即， 由可得，由，可得，即，可得，即， 令，可得；令，可得； 且，可知8为的周期， 可知， 所以.故答案为： 5．AD 对于D项，根据找到与的关系，根据A项的表达式得到的周期；对于C项，根据的表达式，令特值求解即可. 对于B项，根据，且为偶函数求出一个周期内仅有的两条对称轴，得结果. 【详解】对于A 项，为偶函数 令，则 ，故A正确；对于D 项， 用代替原来的得：① 又是偶函数用代替原来的得：② 由①②结合得：③又 用代替原来的得：④由③④联立得：⑤ 用代替原来的得：⑥ ⑥⑤得：,所以函数为周期函数，且周期为8， 用代替原来的得：⑦ 用代替原来的得：⑧ 用代替原来的得：⑨ 结合⑦⑧⑨得，用代替原来的得：， 所以函数为周期函数，且周期为8，故D正确；对于C 项，为满足题意的一组解，但，故C错误. 对于B项，因为 为满足题意的一组解，但不关于对称，所以B错误.故选：AD 6．AD 【详解】解：已知为偶函数，可知关于对称， 所以关于对称，因为是奇函数，可知关于对称，所以关于对称，又因为，则，即，所以与关于对称，因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，而关于对称，，又， 则，，， 即是周期为4的偶函数，故C选项错误； 由关于直线对称，，关于对称，， 则，，所以，即是周期为4的偶函数，由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数， 同理，由于是周期为4的偶函数，则， 等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数， 所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确； 由于关于对称，，，则， 所以，故A选项正确； ，故B选项错误；故选：AD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$