精品解析：重庆市长寿实验中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

长寿实验中学校2024年秋九上半期试题 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 图中，不能由一个基本图形通过旋转而得到的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的过程观察各选项从基本图形能否转成整体的图形． 【详解】A可以从基本图形转到整体图形； B可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形； C不可以通过旋转得到整体图形； D可以通过旋转将基本图形旋转成整体图形． 故选C. 2. 下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，根据一元二次方程的定义逐项判断即可得解． 【详解】解：A、，属于一元二次方程，故符合题意； B、中含有两个未知数，故不是一元二次方程，故不符合题意； C、的最高次数是3次，故不是一元二次方程，故不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：A． 3. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；因此此题可根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选B． 4. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 5. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口方向向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线与轴交点坐标为 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．根据，可知该抛物线开口方向向上，即可判断选项A；根据抛物线解析式可知其对称轴为直线，再结合该抛物线开口方向向上，即可判断选项B、C；令，可有，即抛物线与轴交点坐标为，即可判断选项D． 【详解】解： A. 因为，所以该抛物线开口方向向上，本选项正确，不符合题意； B. 因为该抛物线的对称轴为直线，且该抛物线开口方向向上，当时，随的增大而减小，本选项不正确，符合题意； C. 抛物线的对称轴为直线，本选项正确，不符合题意； D. 当时，可有，即抛物线与轴交点坐标为，本选项正确，不符合题意． 故选：B． 6. 宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据利润＝房价的净利润×入住的房间数即可得解，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 【详解】∵房价定为x元，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用， ∴每间房的利润为元， ∵当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房， ∴可住间房， ∵宾馆当天的利润为10890元， ∴． 故选：A． 7. 一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想分析问题，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解题关键．根据图像，观察一次函数在二次函数图像下方时所对应的自变量取值范围，即为该不等式的解集． 【详解】解：由图像可知， 关于的不等式的解集为或． 故选：B． 8. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 9. 如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点A在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质并结合题意逐项判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：，， ∵对称轴是， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； 由图可得：当时，，故③错； 由图可得：当时，有最大值为， 故，即（m为实数），故④正确； 由图可得：当时，不一定大于0，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②④； 故选：D． 10. 定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（ ） A. 若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B. 若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C. 若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D. 若，则方程M与方程N都有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式即可判断A；根据一元二次方程的解即可判断B、C；根据解一元二次方程即可判断D，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、方程的根的判别式为，方程的根的判别式为， ∴若方程M有实数根，则方程N也有实数根，故A选项正确，不符合题意； B、若6是方程M的一个根，则有， 若是方程N的一个根，则有，即，故B选项正确，不符合题意； C、若方程M和方程N有一个相同的根，则， ∴， ∴或，故C选项错误，符合题意； D、方程M的根为， ， 若，则， 方程的根为：，， 若，则，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后的解析式为______（最后结果写为顶点式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后的解析式为， 故答案为：． 12. 若是关于的方程的解，则的值是______． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、一元二次方程的解等知识，理解并掌握一元二次方程的解得定义是解题关键．将代入关于的方程并整理，可得，然后整体代入并求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2021． 13. 若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k＜且k≠﹣1 【解析】 【分析】一元二次方程（k+1）x2-（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根的条件是：①二次项系数不等于0；②根的判别式△=b2-4ac＞0． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k+1）x2-（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=[-（2k-3）]2-4（k+1）（k+1）=-20k+5＞0， 解得k＜； 又∵k+1≠0， ∴k的取值范围是：k＜且k≠-1． 故答案为k＜且k≠-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 14. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由直角三角形的性质结合勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若A(－，y1)、B(－，y2)、C(3，y3)为二次函数y=－x2－4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是_________（用“＜”连接）． 【答案】< 【解析】 【分析】先求出二次函数对称轴，再根据二次函数的增减性从点到对称轴的距离的大小考虑求解． 【详解】对称轴为直线 ∵a=−1<0， ∴当x<−2时，y随x的增大而增大， 当x>−2时，y随x的增大而减小， ∵ ∴< 故答案为< 【点睛】考查抛物线上点的坐标特征以及二次函数的性质，求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性进行求解即可． 16. 如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高______时，水柱落点距O点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，利用待定系数法求出，，从而可得设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为，代入计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，水柱落点距O点时，可设， 将代入解析式可得：， ∴， 当喷头高时，水柱落点距O点时，可设， 将代入解析式可得：， ∴， 联立①②可得：，， 设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴当喷头高时，水柱落点距O点， 故答案为：． 17. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、解分式方程，由题意可得二次函数对称轴为直线，开口向下，从而得出，求得，解分式方程得出，从而得出符合条件的的值为，，求和即可得解． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为直线，开口向下， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴， 解关于的分式方程可得：， ∵， ∴，即， ∴， ∵关于的分式方程的解是自然数， ∴符合条件的的值为，， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为：． 18. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 【答案】 ①. 3456 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出，进而得到，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出，再按照a从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵是一个“友谊数”， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴这个数为； ∵是一个“友谊数”， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴是整数，即是整数， ∴是13的倍数， ∵都是不为0的正整数，且， ∴， ∴当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时不满足是13的倍数，不符合题意； 当时，，此时可以满足是13的倍数，即此时，则此时， ∵要使M最大，则一定要满足a最大， ∴满足题意的M的最大值即为； 故答案为：3456；． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式、完全平方公式去括号，再合并同类项即可得解； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，再约分即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法，如直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． （1）将原式整理为，利用因式分解法求解即可； （2）将原式整理为，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴，． 21. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）；；；； 【解析】 【分析】（1）利用基本作图作的平分线和作一条线段等于已知线段即可； （2）先证明，则利用，可判断四边形为平行四边形，然后加上邻边相等可判断四边形是菱形． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 22. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的“长征二号F遥十二”运载火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取20名学生的测试成绩（满分100分，90分及以上为优秀）进行整理描述和分析，以下是部分信息： 七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图： A：100分：B：90﹣99分C：80﹣89分：D：80分以下 其中C等级的学生分数为： 85，87，84，80，88，86，89，80，83，85． 八年级20名学生的测试成绩整理如表： 分数 73 80 82 85 89 90 93 95 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示： 年级 平均分 众数 中位数 优秀率 七年级 88 91 a 40% 八年级 88 b 89.5 c 据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级掌握航天知识更好？请说明理由； （3）为鼓励学生继续关注航天知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“航天小达人”荣誉称号．已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名． 【答案】（1），95，；（2）八年级，理由见解析；（3）1350． 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图的制作方法可求出“ABC组”的人数，再根据中位数意义可求出a、由八年级成绩表和众数的意义可求出的值；再根据90分及以上为优秀，求得优秀率； （2）统计表中的数据，通过中位数、众数、优秀率进行分析得出答案； （3）根据样本中的优秀率，求出总体中的优秀人数． 【详解】解：（1）七年级20名学生的测试成绩中A组人数 为 ， B组人数为 ， C组成绩由低到高排列为80，80，83，84，85，85，86，87， 88，89． 故第10个、第11个数分别是80、83，故； 八年级20名学生的测试成绩表可知95分人数为4人，人数最多，故八年级众数为b=95； 八年级优秀率． 故答案为：，95，； （2）八年级学生掌握航天知识更好，理由：八年级的90分以上人数所占百分比大于七年级，八年级学生的中位数、众数大于七年级，故八年级学生掌握航天知识更好； （3）统计表可知，七年级成绩优秀率为40%，八年级成绩优秀率为50%， 参加此次测试活动成绩优秀的学生有（人）． 故参加此次测试活动成绩优秀的学生大约有1350人． 【点睛】本题考查了条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23. 某公司2月份销售新上市的A产品25套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到36套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利3万元，则平均每月可售30套．为了减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降1万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利100万元，则每套A产品需降价多少？ 【答案】（1）该公司销售A产品每次的增长率为 （2）每套A产品需要降价1万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该公司销售A产品每次的增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设每套A产品需要降价万元，根据总利润每套利润套数得出一元二次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设该公司销售A产品每次的增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该公司销售A产品每次的增长率为； 【小问2详解】 解：设每套A产品需要降价万元， 由题意得：， 解得：，， ∵为了减少库存， ∴， ∴每套A产品需要降价1万元． 24. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 【答案】（1）关于的函数表达式为； （2） 函数的图象如图所示， 由图可得，当，随的增大而增大 （3）． 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，二次函数的图象的性质及求一次函数， （1）分当时，点在上，点在上，和当时，点在上，点在上，两种情况，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据解析式可画出函数图象，并得到图象的性质； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是长方形， ∴，， 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴， ∴； 当时，点在上，点在上， ∵点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动， ∴，， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图可得，当，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵， ∴的顶点为，对称轴为，最大值为， 结合图象可得当直线在两条虚线之间（不包括最高点，包括最低点）时，与图象有两个交点， 当过时，，解得：； 当过时，，解得：； ∴结合函数图象，当函数与上述函数的图象有两个交点时的取值范围为． 25. 如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以，，，为顶点的四边形为矩形的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，待定系数法求出直线的解析式为：，作轴交于，设，则，求出，再表示出，结合二次函数的性质即可得解； （3）求出新抛物线解析式得到新抛物线的对称轴为直线，设，，则，，，若以，，，为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形，再分三种情况：当以点为直角顶点时，；当以点为直角顶点时，；当以点为直角顶点时，，分别利用勾股定理并结合矩形的性质计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象交轴于点，， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 作轴交于， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； 【小问3详解】 解：， ∵将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线， ∴将抛物线先向左平移个单位，在向上平移个单位，即， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设，，则，，， 若以，，，为顶点的四边形为矩形，则为直角三角形， 当以点为直角顶点时，， ∴， 解得：， 此时， 由矩形的性质可得， 解得：，即此时； 当以点为直角顶点时，， ∴， 解得：， 此时， 由矩形的性质可得：， 解得：，即此时； 当以点为直角顶点时，， ∴， 解得：或， 此时或， 由矩形的性质可得：或， 解得：或，即此时或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、二次函数综合—特殊四边形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． 26. 如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，连接，若，，求的面积； （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可得都得等腰直角三角形，由此可求出的值，由此即可求解； （2）如图2中，过点B作交的延长线于点T．根据直角三角形的性质可证，可得，再证得，可得，由此可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （3）根据折叠的性质性质得到，，，可证是等边三角形，得到，，从而得到，推出；设，可求出，连接，可得是等边三角形，再结合勾股定理可求出，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T， ∵， ， ∵， ， ， ， ∴， 平分， ， 又 ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ，， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵，， 当时， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ， ∴，， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中， ， 如图，连接， ∵， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理的运用，等腰三角形、等边三角形的判定和性质等知识的综合，掌握勾股定理，添加合适的辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长寿实验中学校2024年秋九上半期试题 数学试题 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 图中，不能由一个基本图形通过旋转而得到的是(　　) A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（    ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，应将其变形为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 抛物线开口方向向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 抛物线与轴交点坐标为 6. 宾馆有60间房供游客居住，当每间房每天定价为170元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出15元的费用，当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为元．则有（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点A在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ） A. ①③④⑤ B. ①②⑤ C. ①②③④ D. ①②④ 10. 定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一元二次方程的一对“颠倒方程”．如的“颠倒方程”是，则下列结论不正确的是（ ） A. 若方程M有实数根，则方程N也有实数根 B. 若6是方程M的一个根，则方程N一定有一个根是 C. 若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是1 D. 若，则方程M与方程N都有实数根 二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后的解析式为______（最后结果写为顶点式）． 12. 若是关于的方程的解，则的值是______． 13. 若关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 14. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，则______． 15. 若A(－，y1)、B(－，y2)、C(3，y3)为二次函数y=－x2－4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是_________（用“＜”连接）． 16. 如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高______时，水柱落点距O点． 17. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，且关于的分式方程的解是自然数，则符合条件的整数的和为______． 18. 一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________． 三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 19. 化简： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 已知四边形是平行四边形，． （1）利用尺规作图作的角平分线交于点，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ① ， ∵平分， ∴ ∴ ② ， ∴ 又∵， ∴ ③ ， 又∵ ④ ， ∴四边形为平行四边形， 又∵ ⑤ ， ∴四边形是菱形． 22. 北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的“长征二号F遥十二”运载火箭，在酒泉卫星发射中心准时点火发射，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，此举激发了广大青少年了解航天知识的热情，因此某校组织了航天知识的相关讲座和课程，并进行了测试．现从该校七、八年级各随机选取20名学生的测试成绩（满分100分，90分及以上为优秀）进行整理描述和分析，以下是部分信息： 七年级20名学生测试成绩的扇形统计图如图： A：100分：B：90﹣99分C：80﹣89分：D：80分以下 其中C等级的学生分数为： 85，87，84，80，88，86，89，80，83，85． 八年级20名学生的测试成绩整理如表： 分数 73 80 82 85 89 90 93 95 96 100 人数 1 3 2 3 1 3 1 4 1 1 两组数据的平均数，众数，中位数，优秀率如表所示： 年级 平均分 众数 中位数 优秀率 七年级 88 91 a 40% 八年级 88 b 89.5 c 据以上信息，解答下列问题： （1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级掌握航天知识更好？请说明理由； （3）为鼓励学生继续关注航天知识，该校对测试成绩大于等于90分的同学颁发“航天小达人”荣誉称号．已知该校七、八年级各有1500名学生，请你估计这两个年级得到该荣誉称号的学生一共有多少名． 23. 某公司2月份销售新上市的A产品25套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到36套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售A产品每次的增长率； （2）若A产品每套盈利3万元，则平均每月可售30套．为了减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降1万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利100万元，则每套A产品需降价多少？ 24. 如图，在长方形中，，，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，点从点以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，连接，．设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数的图象，请直接写出该函数图象与直线有两个交点时的取值范围：． 25. 如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值； （3）将抛物线沿射线方向平移单位得到新的抛物线，点是新抛物线对称轴上一点，点为平面直角坐标系内一点，直接写出所有以，，，为顶点的四边形为矩形的点的坐标． 26. 如图，已知在直角中，，E为边上一点，连接，过E作，交边于点D． （1）如图1，连接，若，，求的面积； （2）如图2，作的角平分线交于点F，连接，若，求证：； （3）如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点G，连接，点E在边上运动的过程中，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $