北京市海淀区中关村中学2024～2025学年八年级上学期期中数学试卷

北京市中关村中学2024—2025学年第一学期期中调研初二数学 本试卷共6页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 一、选择题（本大题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国电信 C. 中国网通 D. 中国联通 2. 在平面直角坐标系中，已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每对数值中，是方程的解的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个等腰三角形两边长分别为3，7，那么它的周长是（　　） A. 17 B. 13 C. 13或17 D. 10或13 7. 如图，已知，下列条件中，不能使的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，Rt△ABC≌Rt△DEF，∠E＝55°，则∠A的度数为（　　） A. 25° B. 35° C. 45° D. 55° 9. 点在的平分线上（不与点重合），于点，是边上任意一点，连接．若，则下列关于线段的说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 存在无数个点使得 10. 已知长方形可以按图示方式分成九部分，在，变化的过程中，下面说法正确的有（ ） ①长方形的长宽之比可能为2 ②图中存在三部分的周长之和恰好等于长方形的周长 ③当长方形为正方形时，九部分都为正方形 ④当长方形的周长为60时，它的面积可能为100 A. ②③ B. ①③ C. ②③④ D. ①③④ 第二部分 二、填空题（本大题共16分，每小题2分） 11. 如果关于的方程的解为负数，那么的取值范围是__________． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 13. 计算：_______． 14. 如果等腰三角形的一个内角是，那么这个等腰三角形的顶角度数是_____． 15. 如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，则的周长是_____． 16. 如图，是等边三角形，，是边上一点，于点．若，则的长为______． 17. 在平面直角坐标系中，点，，若是等腰直角三角形（点在第一象限），且，则点的坐标是______． 18. 已知三角形三边为，，（其中三边均不相等且为最长边，为最短边），若，，满足，则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为，，，因为，且，所以这个三角形为“不均衡三角形”．若“不均衡三角形”三边分别为，，，直接写出的整数值为_______． 三、解答题（本大题共54分，第19~25题每题5分，第26~27题6分，第28题7分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 解不等式组：并写出所有整数解． 22. 化简求值：当时，求代数式的值． 23. 如图，点在线段上，，，．求证：． 24. 下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程． 已知：△ABC． 求作：△ABC中BC边上的高线AD． 作法：如图， ①以点B为圆心，BA的长为半径作弧，以点C为圆心，CA的长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E； ②连接AE交BC于点D． 所以线段AD是△ABC中BC边上的高线． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：∵ =BA， =CA， ∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）． ∴BC垂直平分线段AE． ∴线段AD是△ABC中BC边上的高线． 25. 如图，在中，，为边中线，平分，交于点．若，求的度数． 26. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． （1）图1是年月份的月历，我们用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的个数（如图1中的阴影部分），将位置，上的数相乘，位置，上的数相乘，再相减，例如：_______（请完成填空），______，不难发现，结果都等于_______； （2）设“”字型框架中位置上的数为，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为，那么中间位置上的数______． 27. 在中，，点在的内部，，． （1）如图1，延长线段的交于点，且． ①求的度数； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，直接写出结果； （2）如图2，点在线段的延长线上，连接交射线于点，若为的中点．求证：． 28. 在平面直角坐标系中，点，分别在线段，上，如果存在点使得，且（点，，逆时针排列），则称点是线段的“完美点”．如图1，点是线段的“完美点”． （1）已知点，． ①在，，，中，其中是线段的“完美点”的是______； ②如图2，若点，点与点重合，则线段的“完美点”的坐标是______． （2）如图3，已知，，当点与点重合，点在线段上运动时（点不与点重合），若点是线段的“完美点”，连接．求证：． 北京市中关村中学2024—2025学年第一学期期中调研初二数学 本试卷共6页，100分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 一、选择题（本大题共30分，每小题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 第二部分 二、填空题（本大题共16分，每小题2分） 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】2 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】或或或 三、解答题（本大题共54分，第19~25题每题5分，第26~27题6分，第28题7分） 【19题答案】 【答案】 【20题答案】 【答案】 【21题答案】 【答案】-1<x＜3，整数解为0，1，2 【22题答案】 【答案】， 【23题答案】 【答案】 证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【24题答案】 【答案】 （1）图形如图所示： （2）AB；EC；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【25题答案】 【答案】 【26题答案】 【答案】（1）；； （2） 证明：设“”字型框架中位置上的数为，则，，，四个数依次为，，，，依题意得， ； （3） 【27题答案】 【答案】（1）①；② （2） 证明：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点N，过点作于点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【28题答案】 【答案】（1）①，；② （2） 证明；如图3，在轴上截取，连接，， ∵，，点是线段的“完美点”， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $